Bonjour,

A mon avis c'est vrai. Preuve basique :
L'inverse de A, s'il existe, est (1/det(A))*trans(cofact(A))
Le terme trans(cofact(A)) (transposée des cofacteurs de A) existe toujours. L'inverse n'existe donc que ssi det(A) 0, donc 0 non solution de det(A-xI) = 0, donc 0 non v.p. de A.

A confirmer, et certainement à montrer de façon plus élégante...

NB J'ai en fait montré "A inversible ssi 0 n'est pas v.p. de A", ce qui me semble équivalent à ta question de départ.

oki merci bcp

Bonjour,
c'est trivialement vrai si tu es dans un corps. Il suffit tout simplement de revenir à la définition même d'une valeur propre ...
Il existe un v non nul et un a tel que
Mv=av.
Si 0 est valeur propre alors Mv=0 avec v non nul et M est non injective ...
Réciproquement, si M est non inversible, alors M est non injective, donc il existe un v non nul dans le noyau, donc Mv=0.v et 0 est valeur propre.

Si tu n'es pas dans un corps le résultat sera faux. Tu peux avoir une matrice ayant des valeurs propres non nulles et non inversibles. Il suffit de considérer par exemple la matrice 2.I qui n'est pas inversible dans l'anneau des entiers et dont la seule valeur propre est 2. Je pense qu'une condition nécessaire et suffisante dans ce cas serait que det(M) soit inversible dans l'anneau.