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Valeur propre
Bonjour,
L'énoncé de mon exo est le suivant:
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Trouver les matrices A
Mn(
) diagonalisables et telles que A3+A=2In
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Voici la correction proposée, qui me pose problème:
CN:
On suppose que A solution du problème
Alors P=X3+X-2 est un polynôme annulateur de A donc toute valeur propre 
de A est racine de P
Or dans [X], P=(X-1)(X²+X+2)
Ainsi la seule valeur propre possible de A est 1 et comme A est diagonalisable, on a A=In
CS: A=In convient
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Ma question est la suivante:
Pourquoi la seule valeur propre possible de A est 1? Certes, AMn() mais elle peut très bien posséder des vp complexes (non réelles) ce qui semble être le cas ici?
Merci de votre aide
Bonjour.
Le problème se situe dans IR, donc, on ne tien pas compte des racines complexes.
Il est possible que l'on te demande ensuite : que se passe-t-il dans ?
Merci beaucoup de votre réponse mais je ne suis pas tout à fait convaincu!
On recherche les matrices appartenant à Mn() diagonalisables, mais elles peuvent tout à fait être diagonalisables sur 
sans l'être sur (et ce, même si elles appartiennent à Mn())
En prenant l'exemple de cette matrice
qui est diagonalisable sur sans l'être sur
ce qui doit donner
alors elle appartient bien à Mn(), elle est diagonalisable mais ses valeurs propres sont complexes...
Certes cette matrice ne répond pas au problème mais pourquoi éliminer les valeurs propres complexes? Pour moi, ce corrigé aurait été tout à fait correct si l'énoncé avait été le suivant:
Trouver les matrices AMn() diagonalisables sur R et telles que A3+A=2In
Quand on travaille sur Mn(IR), la diagonalisation est supposée dans IR, sauf si l'on précise dans C.
Et évidemment, la matrice diagonale semblable (de mon exemple) était
(ça c'est si jamais quelqu'un repasse par là...)
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