Bonjour

L'espace propre associé à 0 est de dimension 1, puisque 0 est racine simple. La diagonabilité se joue sur la dimension de E_-1 si c'est 2 c'est oui, si c'est 1 c'est non.

Maintenant (sans avoir vérifié les calculs) si les éléments de E_-1 vérifient x-y+2z=0 pour avoir une base on choisit deux tels vecteurs linéairement indépendants. Par exemple (1,1,0) et (0,2,1) conviennent (il n'y a pas unicité).

Si tu veux une base sur laquelle la matrice est diagonale, il te faut aussi un vecteur non nul de E₀.

Bonjour,

l'espace propre associé à -1 est de dimension 2, il est en somme directe avec l'espace propre associé à 0 qui est au moins de dimension 1.Conclusion: ce dernier est exactement de dimension 1 et ces deux espaces propres sont supplémentaires, ce qui implique que f est diagonalisable.

De plus pour trouver une base du premier espace propre, il suffit de trouver deux vecteurs indépendants dont les coordonnées vérifient x-y+2z=0 pour chacun d'entre eux.

(e=(1,1,0) , f=(0,2,1)) par exemple convient.

Salut Camélia.

Salut Tigweg (on se fait piquer le prénom?)

Oh, cela peut sans doute se voir dans les deux sens!

mais est ce qu'il ne serait pas plus facile de dire que f est diagonalisable parce qu'il est de dimension 3 et qu'on aussi trois racines vu que -1 est double?

donc si j'ai bien compris a chaque qu'on a 0 comme valeur propre, ce n'est pas la peine de calculer l'espace propre?

et par rapport au choix des vecteurs pour la base de E_-1: pourquoi deux vecteurs et trois par exemple?

enfin une dernière question: 0 est valeur propre et il faut un vecteur non nul de E₀ pour montrer que f est diagonale. Au debut j'avais calculé kerf et j'ai trouver (4,5,1) comme base, je peut reprendre cette même base en tant que de base E₀ non? puisque résoudre un système avec 0 en valeur propre c'est la même que celle pour trouver une base de kerf.

dsl si ca fait trop de question à la fois...

je n'avais pas vu le poste de tigweg... comment tu sais que l'espace propre associé à -1 est de dimension 2?

Attention!
Voilà une matrice qui a le même polynôme caractéristique et qui n'est pas diagonalisable!



Pour une base de E_-1 dans ton exo on prend deux vecteurs pour une base, parce qu'il est de dimension 2.

(4,5,1) n'est pas dans le noyau de ta matrice!

x-y+2z=0 est l'équation d'un plan, l'espace associé à la valeur propre -1 est donc bien de dimension 2...

Ou alors tu peux dire que le rang de A+I vaut 1 et utiliser le théorème du rang.