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Valeurs et sous-espaces propres
Bonjour,
Je bloque sur une question :
Trouver, sans calcul, les valeurs et sous-espaces propres de la matrice
J = 1 0 1
0 3 0
1 0 1
Alors, sans plus ou moins de calcul, j'arrive à trouver les valeurs propres, en effectuant des combinaisons linéaires du déterminant de J - 
I. J'obtiens Sp(J) = {0 ; 2 ; 3 }.
Mais ensuite, pour les sous-espaces propres, je ne vois pas comment les trouver sans calcul ! Avec calcul, je trouve :
JX = 0 
E0 = Vect (1, 0, -1)
JX = 2X E2 = Vect (1, 0, 1)
JX = 3X E3 = Vect ((1, 0, 2);(0, 1, 0)).
Pourriez-vous m'aider ? Merci.
Bonjour Luna_,
Il s'agit bien sur de ne faire aucun calcul compliqué mais de "voir" ce qui se passe simplement en observant bien ta matrice.
Par exemple, tu vois facilement que te renvoie evidement la deuxieme colonne de J qui vaut
.
Donc 3 est une valeur propre.
De même, tu observes que n'est autre que
puisque c'est la somme des colonnes C1 et C3=C1.
Donc 2 est valeur propre.
Comme les colonnes C1 et C3 sont les mêmes, la matrice J n'est pas inversible et 0 est la dernière valeur propre.
En passant, on a donc trouvé une base de E2 et E3. Je te laisse trouvé, sans calcul encore, une base de E0.
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