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valeurs propres
Bonjour,
je suis à nouveau sur un exercice sur lequel je bloque.
E un espace vectoriel de dimension finie, muni d'une norme x-> ||x||, et L(E) (l'espace des applications linéaire sur E) de la norme |a| = sup(||a(x)||) où x est de norme 1.
1. Soit G un sous groupe linéaire de E tel que, pour tout x différent de 0 appartenant à E, inf(||g(x)||) >0 (strictement !!). Montrer que les valeurs propres de tout g appartenant à G sont de module 1.
supposons qu'il existe un g dont une des valeurs propres est de module strictement inférieur à 1.notons a cette valeur propre et x le vecteur qui lui est associé.
alors g^n(x)=a^n x, ensuite par passage au module j'ai envie de faire tendre n vers l'infini. Possible ou non ?
Merci par avance pour votre. après avoir résolu cette question j'aimerais passer au reste .
Bonjour 
gn appartient à G pour tout n et par homogénéité la norme de anx est |a|n||x|| qui tend donc vers 0 quand n tend vers l'infini, ce qui signifie que pour tout e>0 il existe n tel que ||gn(x)|| < e d'où l'inf est égal à 0.
De plus, s'il existe un g qui possède une valeur propre strictement supérieure à 1 (en valeur absolue), son inverse en possède une strictement inférieure à 1 donc on est ramenés au cas précédent.
Fractal 
Merci Fractal.
Je vous donne la suite :
On suppose G irréductible, cela signifie que les seul sous espaces de E stables par G sont E ou {0}.
on souhaite établir la réciproque la propriété précédente.
Supposons que tous les éléments de G aient des valeurs popres de module égal à 1.On se place dans le cas où G est irréductible.
a. Montrer que G est borné. j'ai pris la norme sup des modules des valeurs
propres et j'ai utiliser l'équivalence des normes en dimension finie.
b. établir alors la réciproque ie : inf(g(x)) pour g parcourant G est strictement positif .
Merci par avance
E c'est un espace vectoriel sur un corps algébriquement clos?
Parce que sinon les éléments de G ne possèdent pas toujours de valeurs propres.
Fractal
E est un C espace vectoriel. Donc oui c'est clos !
(au passage aurais-tu une idée pour démontrer que l'application A-> t(A) où t(A) qui vérifie t(A)(B) = tr(AB) est bijectif de L(E) dans L(E)*.)
Pour la bijection de ton dernier post, l'injectivité suffit car on a la même dimension de chaque côté, donc soit A dans le noyau de t, on a tr(AB) = 0 pour tout B. Prends B qui parcourt les Eij et tu trouveras que tous les coefficients de A sont nuls, d'où le résultat.
Pour l'autre je ne sais pas encore.
Fractal
Hum, normalement non.
Si A = 
aklEkl, alors AB = aklEklEij = akl
liEkj de trace akllikj = aij, et ce pour tous i et j
Fractal
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