Bonsoir, DTB

Je connais la réponse à ta question.
Mais dans un précédent topic, je n'ai pas eu de réponse sur la suggestion que je t'avais faite.
Donc, je vais attendre un petit peu.

Si c'est à propos de la famille liée, il n'y avait plus grand chose à dire (à part merci)... ton message donnais directement la réponse...(et j'avais dis merci juste un peu plus haut)...

"On sait que les vecteurs propres de M sont les vecteurs propres de A"

ce n'est pas tout à fait exact .


Sinon pour le reste essaie de penser en terme dedimension d'espaces vectoriels.

lolo217 a raison. Il faut préciser ta phrase concernant les vecteurs propres.

Cette précision étant faite, plaçons-nous dans une base commune de vecteurs propres de M et de A. Notons:

(e_i), 1 inférieur à i inférieur à n, cete base de vecteurs propres
Ae_i= a_i e_i
Me_i=m_i e_i


L'égalité  A=P(M) est équivalente à   a_i=P(m_i)  pour i compris entre 1 et n.
Et maintenant, on peut penser au polynôme d'interpolation de Lagrange.

la phrase exacte est "tout vecteur propre de M est vecteur propre de A"

par contre je ne vois pas comment on obtient A=P(M)...

pour conclure j'imagine que l'existence des Lk ce fait par l'existence de P...

Ae_i=a_i e_i
mais comment calcule-t-on P(M)?
P(M)=Lo+L1.M+...+Ln-1.M^n-1 ?

Pour la piste avec les espaces vectoriels :
1) l'ensemble des matrices qui commutent à M  est un espace vectoriel
2) le polynôme minimal de M  est de degré n  et tout polynôme en  M  commute à M
3) l'espace des matrices commutant à M  est de dimension égale à n

merci lolo217 mais j'ai déja du mal avec la méthode de perroquet, alors je ne vais peut etre pas me lancer dans une autre

Id(e_i)=e_i
Me_i= b_ie_i

...


Donc

donc on obtient pour les bi distincts P(bi)=ai car P(M) et A coincident sur les ei...et on conclue?

Oui, en utilisant les polynômes d'interpolation de Lagrange

merci bien perroquet pour ce guidage...