Niveau maths spé

Variation de fonction

Posté par
matix 28-10-08 à 14:41

Bonjour,

Dans un exercice, on me demande de montrer que la fonction $h_n(x)= |u'_n(x)|$ est décroissante pour $x \in [1, + \infty[$ avec $\displaystyle u_n(x)=\frac{1}{1+x^n}$ .

J'ai calculé dans un premier temps $|u'_n(x)|$ , puis alors $h'_n(x)$ , et on trouve une expression plutôt compliquée, dont l'étude de signe est vraiment fastidieuse.
Pensez-vous qu'une autre méthode soit envisageable pour montrer la décroissance de $h_n$ ?

Pour info, je trouve $\displaystyle h'_n(x)= \frac{n(n-1)(1+x^n)x^{n-2}-2n^2x^{2(n-1)}}{(1+x^n)^3}$ .

Merci d'avance.

Posté par re : Variation de fonction 28-10-08 à 14:56

Bonjour

Si tu as les définitions nécessaires, tu peux aussi dire que u_n a sa concavité vers le haut, donc u''_n est positive, donc u'_n est croissante, et comme h_n=-u'_n...

Posté par re : Variation de fonction 28-10-08 à 15:40

Je n'ai pas les définitions nécessaires que tu évoques.. Et je n'ai encore jamais entendu parler de concavité pour une suite/fonction...

Posté par re : Variation de fonction 28-10-08 à 15:47

Alors je ne vois pas mieux que regarder le signe de l'horreur ci-dessus!

Posté par re : Variation de fonction 28-10-08 à 15:52

Ah...
Si tu vois une astuce en particulier, n'hésite pas à m'en faire part..!

Posté par re : Variation de fonction 28-10-08 à 16:15

bonjour
votre dérivée est exacte
vous factorisez par nx^(n-2)et vérifiez que le dernier facteur est négatif pour x1

Posté par re : Variation de fonction 28-10-08 à 19:20

Ok ça marche, merci!

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