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vecteur propre

Posté par
marcellus 29-01-09 à 10:41

Salut, j'ai une petite question qui m'ennuie, la voici :

Soit E un e.v. de dimension n, f et g sont deux endomorphismes de E tels que g o f = f o g.

On suppose que g admet n valeurs propres distinctes.

Montrer que tout vecteur propre de g est vecteur propre de f.

Merci de votre aide

Posté par
raymond Correcteurre : vecteur propre 29-01-09 à 12:17

Bonjour.

L'hypothèse g a n valeurs propres distinctes signifie que g est diagonalisable dans une base B de vecteurs g-propres.

2$\textrm B = (e_1,...,e_n) ; \forall i , g(e_i) = \lambda_i.e_i

Utilisons la commutation :

2$\textrm\forall i , g(f(e_i)) = f(g(e_i)) = f(\lambda_i.e_i) = \lambda_i.f(e_i)

L'égalité : 2$\textrm\forall i , g(f(e_i)) = \lambda_i.f(e_i) signifie que f(ei) est vecteur g-propre et qu'il appartient au sous-espace propre E(i) qui est la droite vectorielle IK.ei.

Cela entraine qu'il existe s IK tel que f(ei) = s.ei

Donc, pour tout i, ei est un vecteur f-propre.

Posté par
marcellusre : vecteur propre 29-01-09 à 18:12

Ok, merci raymond !

Posté par
raymond Correcteurre : vecteur propre 29-01-09 à 18:21

Bonne soirée. RR.


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