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Vecteur propre

Posté par
alex742 04-10-09 à 16:14

Salut, j'ai un petit soucis pour démontrer la propriété :
Tout vecteur propre de A est vecteur propre de tcom(A).

Ce que j'ai essayé, j'ai posé x un vecteur propre de A et j'essaye de montrer que x appartient à Ker(tcom(A) - 'I) (que x est vecteur propre de tcom(A))

x vecteur propre de A signifie que xKef(A-I), mais j'avance pas beaucoup...ne sachant pas si j'utilise la bonne "définition" des vecteurs propres pour démontrer cette propriété?

Posté par
esta-fettere : Vecteur propre 04-10-09 à 16:20

Bonjour
que signifie ceci ,
^tcom(A).

je suppose transposé de matrice compagnon?
ou plutôt de la matrice des cofacteurs?

Posté par
alex742re : Vecteur propre 04-10-09 à 16:33

C'est la transposée de la comatrice (matrice des cofacteurs)

Posté par
esta-fettere : Vecteur propre 04-10-09 à 17:04

donc on a ceci: si A est inversible.....

    4$ A^{-1}=\frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A}

si 4$ A.u = \lambda u avec \lambda \neq 0

4$ \frac 1 \lambda . u = A^{-1}.u= \frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A}.u

donc

4$ {}^t{{\rm com} A}.u = k . u avec k = det A / lambda.

u est vecteur propre pour la matrice "cofactorisée"

reste à voir ce qui se passe quand A n'est pas inversible....

Posté par
alex742re : Vecteur propre 04-10-09 à 22:39

Merci!
Pour le cas ou A n'est pas inversible je n'ai pas tellement de piste...det(A) = 0 ?
Si quelqu'un peut encore m'éclairer, merci d'avance !

Posté par
esta-fettere : Vecteur propre 05-10-09 à 09:07

pour moi, c'est lointain....

mais si on remplace A par A - mI
que se passe-t-il pour la matrice des cofacteurs?
avec m tel que A-mI inversible ?
et I la matrice identité ?


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