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Vecteurs, dimension.
Bonjour,
J'ai un petit problème (même deux!) et j'aurais besoin de votre aide.
Voici l'énoncé :
Montrer que vect({a, b}) = vect({a + b; a - b})[u][/u]
On sait d'après les questions précédentes que a et b sont linéairement indépendants et que a + b et a - b sont eux aussi linéairement indépendants.
Je ne sais pas du tout comment faire.
Un camarade m'a dit qu'il avait trouvé a = (1/2)(a + b) et b = (1/2) (a - b)
Je ne vois même pas comment il est arrivé à ce résultat!
J'ai ensuite une question que n'a pas grand chose à voir avec ça mais qui est dans le même chapitre :
Comment fait on pour montrer que dim vect ({a + b, a - b}) = 1 si a + b et a - b sont linéairement indépendant?
Merci pour votre aide.
Bonjour
Si tu sais déjà que (a,b) est une famille libre, c'est une base de V=vect({a,b}). Comme a+b et a-b sont tous les deux dans V, on voit que W=vect({a,b})
V. Si tu sais déjà que a+b et a-b sont linéairement indépendants, ces deux espaces sont tous deux de dimension 2, donc égaux.
Tu peux aussi remarquer (c'est probablement ce que voulait dire ton camarade) que
ce qui prouve que les combinaisons linéaires de a et b sont les mêmes que celles de a+b et a-b.
Comment fait on pour montrer que dim vect ({a + b, a - b}) = 1 si a + b et a - b sont linéairement indépendant?
C'est faux! Dans ce cas la dimension est 2!
Bonjour,
Merci.
Donc si je dis tous simplement que comme a et b sont linéairement indépendants et a + b et a - b sont aussi linéairement indépendants. alors dim vect ({a, b}) = dim vect ({a + b; a - b}) = 2. Donc vect ({a, b}) = vect ({a + b; a - b}).
Je peux dire ça?
Pour la deuxième question si je dis que a + b et a - b sont liés la dimension sera-t-elle 1?
Je n'ai pas trop compris comment on faisait pour prouver.
Merci
Donc si je dis tous simplement que comme a et b sont linéairement indépendants et a + b et a - b sont aussi linéairement indépendants. alors dim vect ({a, b}) = dim vect ({a + b; a - b}) = 2. Donc vect ({a, b}) = vect ({a + b; a - b}).
Je peux dire ça?
Non! Tu dois quand même justifier que l'un des espaces est contenu dans l'autre.
Pour la deuxième question si je dis que a + b et a - b sont liés la dimension sera-t-elle 1?
Je n'ai pas trop compris comment on faisait pour prouver.
Oui, sauf si a=b=0! Un vecteur non nul engendre un sous-espace de dimension 1.
Comme a+b et a-b sont tous les deux dans V, on voit que W=vect({a,b})
VJe ne comprend pas trop ça.
V = W?
a + b et a - b sont dans V ça je suis d'accord (est ce qu'il faut le justifier par une propriété?), mais je ne comprend pas pourquoi W = vect ({a, b}). W = vect ({a + b, a - b}).
Merci
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