Salut,

plus généralement, si t'as n vecteurs en dimension n, ils généreront E si et seulement si la famille des n vecteurs est libre (et donc, la famille est une base)

Par contre, dans ton exemple, les vecteurs semblent indiquer que tu es en dimension 2 (2 coordonnées), non ?

oui mais la dimension des vecteurs on s'en moque un peu finalement , vu que ya 3 vecteurs , ils génèrent donc un espace de dimension 3 , non ?

ensuite tu dis "si ils sont libres" , peu importe qu'ils soient libres ou pas , l'important c'est qu'ils génèrent E , des vecteurs générateurs et une base c'est différent non ?

Non non non. Par exemple, dans , les vecteurs (1,0) (0,1) (1,1) engendre un espace de dimension 2 ( tout entier) et non un espace de dimension 3.

De même (1,0) (-1,0) (2,0) engendre un espace de dimension 1, puisqu'ils sont tous colinéaire ...

donc c'est très intéressant ça , donc j'ai une question précise :

quelles conditions faut il pour que sur des vecteurs pour qu'ils génèrent R³ :

quelle dimension ? non colinéarité ? ( qui se traduit comment en systeme d'equations ? )...?

qu'ils soient libres et trois !

je demande pas une base attention , je demande juste qu'ils soient générateurs , libre c'est pour la base .

Déjà, tu comprends bien qu'il faut que les vecteurs soient de dimension 3 (c'est à dire avec 3 coordonnées).

Ensuite, l'idée est de prouver que ta famille engendre en prenant un vecteur de quelconque (x, y, z) et tu essaies de l'écrire comme combinaison linéaire de ta famille de vecteur (ce qui reviendra à résoudre un système).

Ou alors, si tu montres que tu as 2 vecteurs non colinéaire (ils engendrent donc un plan), et si tu montres qu'un autre vecteur de ta famille n'est pas dans ton plan, tu sauras alors que l'ensemble des 3 vecteurs est "libre" et donc engendre tout

on ne génère que ce qu'on peut
si on veut tout il en faut 3 car dim R^3 = 3

50 vecteurs de R^3 peuvent ne générer qu'une droite ... si ils sont tous colinéaires

mais alors je comprends plus rien ( bien que je comprenne ce que tu as dis tealc ) c'est quoi la différence entre des vecteurs générateurs et une base ?

quelqu'un a une petite idée de la différence entre des vecteurs générateurs d'un espace et d'une base ?


merci

Une famille génératrice peut ne pas etre libre, donc ne sera pas une base.

Par exemple (1,0) (0,1) (1,1) est génératrice de mais n'est pas une base (car elle n'est pas libre)

quand on dit pas libre on veut dire colinéaire ?

colinéairelié mais pas le contraire (à partir de 3 vecteurs

si tu prends (1,0) (0,1) (1,1) , ils sont pas colinéaires et pourtant ils sont liés carpediem...

c'est bien ce que je disais
(1,1) et (2,2) sont liés car ils sont colinéaires
mais (1,0), (0,1) et (1,1) sont liés mais pas colinéaires

ok merci bcp carpediem et tealc .