Bonjour,

oui, remplace x par deux valeurs particulières et déduis-en que lambda = mu = 0.

Drôle d'idée de passer par le wronskien pour quelque chose d'aussi simple! Cette question vient-elle d'un exercice sur les équations différentielles?

non ca vient de l'algebre lineaire..mais ce que je comprend pas c'est que comment on peut prendre deux valeurs de x et montrer que lambda=mu=0?peut-etre que pour une troisieme valeurs on trouvera une absurdite non?
je sais pas si vous comprenez ce que je veux dire

au fait pour cet exo on trouve pas lambda=mu=0 car ils sont dependants..aucune fonction peut-etre multiple de l'autre non?
je m'excuse pour avant

je m'excuse j'ai dit une betise..ils sont independant..

Pour x = 0 on trouve mu = 0, pour x = pi/2 on trouve lambda = 0...pas de problème!

j'ai compri mais ce que je veux dire c'est que la definition dit qu'un groupe de vecteur et libres si il existe lambda et mu telle que:v1+v2=0 SEULEMENT POUR ==0.
Dans notre cas, on a trouve ==0, mais peut-etre que ya d'autres valeurs non?

par exmple pour trouver et tele que 3+x=cosx²+sinx²?
en evaluant en 0 on trouve =3
en evaluant en pi/2 tu trouve =3+pi/2
en evaluant en pi, tu trouve =3+pi ou 3=3+pi, ce qui est une contradiction.

peut-etre dans notre cas on trouve ==0 mais pour une autre valeur de x, on trouve different valeurs pour lambda et mu tu me comprend?

Tu confonds deux choses:

dans le deuxième exemple que tu donnes, le fait de tomber sur une contradiction prouve simplement qu'il n'existe aucun couple (lambda;mu) tel que 3+x soit combinaison linéaire de cos²x et sin²x, autrement dit que 3 + x n'est pas dans l'espace engendré par la famille {cos²x; sin²x}.

Comme {cos²x; sin²x} est libre, cela revient à dire que la famille {3+x; cos²x; sin²x} est libre dans F(R,R).

Ca veut dire que l'unique combinaison linéaire nulle de ces trois fonctions serait obtenue lorsque lambda = mu = nu = 0.

Dans le premier cas, il est impossible de tomber sur d'autres valeurs que lambda = mu = 0 en particularisant, sinon cela voudrait dire que pour certaines valeurs de x, on n'a plus 0.x + 0.cos(x) = 0, ce qui est faux.

C'est-à-dire que quelle que soit la valeur par laquelle tu remplaces x, il y aura toujours au moins la possibilité que lambda = mu = 0.

Salut, tu calcule le déterminant, et s'il est différent de 0, c'est un système de cramer donc il possède une unique solution trivial.

oui tigweg vous avez raison..on doit toujours avoir lambda=mu=0 car ici l'equation=0 donc on aura toujours lambda=mu=0 alors que dans mon exmeple, l'equation=3+x qui peut varier...donc on peut avoir d'autre valeurs
je te remerci
et gbsattif, ya pas de cramer ici..ya meme pas de systeme

Ok, désolé, parce que j'avais déja résolu un exercice similaire et il fallait s'y prendre de cette façon. a+

Oui, on peut aussi voir ça comme cela...

je te remerci

Je t'en prie.

Voila comment j'aurais ramené du cramer :
on pose G=a1f1+a2f2=0
G(x)=a1x+a2cosx=0
G'(x)=a1-a2sinx=0

et la tu ramène une matrice:
x    cosx
1    sinx

de déterminant xsinx-cosx 0
d'où l'unique solution a1=a2=0

mais je suis pas du tout sur qu'on peut s'y prend ainsi ! ( si quelqu'un peut m'indiquer si oui ou non ce serait cool)

oui c'est juste.Ce que tu a fait s'appele le determinant de wronskien..si il est different de 0 pour au moins une valeur de x, alors x et cos(X) sont independants..

Ok merci beaucoup, au moins je suis sur que ça marche maintenant
a+

Salut gbsatti,

ta démarche pourrait être correcte, à condition de voir x, cos x, 1 et sin x comme des éléments de l'anneau F(R,R).

Comme cet anneau n'est pas un corps, il suffit de démontrer que le déterminant est un élément inversible de cet anneau (non nul ne suffit pas).

Dans ta matrice, tu t'es trompé, c'est -sin x et non sin x, donc le déterminant est -x.sin x - cos x.

Cette fonction s'annule sur R, donc en fait on ne peut rien dire directement.

En fait, ta matrice correspond à une "application linéaire" sur l' "espace vectoriel" F(R,R) x F(R,R) à coefficients dans F(R,R), qui n'est qu'un anneau (dans ce cas, on parle de module et non d'espace vectoriel, et les propriétés qui valent sur un corps sont loin d'être toutes conservées).

On ne veut pas démontrer que Ker(M) est réduit à 0 (sinon il faudrait effectivement trouver un déterminant inversible), mais que le seul vecteur de Ker M dont les composantes sont des fonctions constantes est (0;0).

Ca devient bien compliqué de raisonner ainsi, comme tu le vois!

qwerty -> Non, ça n'a rien à voir avec un Wronskien!

Le Wronskien sert à voir si deux fonctions solutions d'une équation différentielle (assez régulière) sont linéairement indépendantes!

Ici, il n'y a pas d'équa diff!

D'accord Tigweg, tu as raison , comme j'ai fait une erreur en écrivant la matrice ça change tout. S'il existe une valeur de x telle que le déterminant soit nul ça devient bien trop compliqué (pour moi en tout cas :p).
Merci de m'avoir expliqué ça en tout cas.

Je t'en prie, mais ton erreur de matrice n'est pour rien dans tout ça: en effet, la fonction x.sin(x) - cos(x) s'annule aussi sur R!

Dans tous les cas, je pense qu'il est plus raisonnable de remplacer x par des valeurs particulières, c'est tellement plus simple!