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vecteurs prpres /valeur propres ex 3
Posté par theleader
soit A appartient a Mn(R) tq: (A-In)²(A+2In)<>0 et ((A-In)^3)(A+2In)=0
A est elle diagonalisable?
Bonsoir
Je dirais: non!
(A-I)3 (A+2I)= 0 te donne un polynome annulateur de A : (x-1)3(x+2). Ses racines sont 1 et -2.
Les valeurs propres possibles pour A sont donc uniquement 1 et -2.
A est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynome annulateur scindé à racines simples (théorème, en dimension finie, ce qui est le cas puisqu'on a des matrices). Ce polynome ne peut donc être que (x-1)(x+2), voire (x-1)ou (x+2).
Or (x-1)²(x+2)n'annule pas A par hypothèse. Donc aucun de ces 3 polynomes scindés simples possibles n'annule A, donc A n'est pas diagonalisable.
OK?
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