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Verification de limite

Posté par
olive_68 28-02-09 à 23:30

5$Bonsoir,


J'aimerais savoir si la limite que j'ai calculé est juste :


         \red \fbox{\lim_{x\to 0} (cos(x)+sin(x))^{\frac{1}{x}}=e

J'ai utilisé un taux de variation :

\fbox{(cos(x)+sin(x))^{\frac{1}{x}}=e^{ln(cos(x)+sin(x))^{\frac{1}{x}}}


5$Merci 5$d'avance

Posté par
Narhmre : Verification de limite 28-02-09 à 23:46

Bonsoir,

Je trouve comme toi, en écrivant que     3$ (\cos(x)+\sin(x))^{\fr{1}{x}}=\exp{(\fr{1}{x}\ln(cos(x)+sin(x)))}   et en usant les DL usuelles à l'ordre 1.

Posté par
olive_68re : Verification de limite 28-02-09 à 23:52

Ok cool j'éspère que ce n'est pas qu'un hasard

Euh justement je ne sais pas encore utiliser les DL, j'y travail ^^'

Vu que c'est une composée de fonction, les composées avec les DL fonctionnent de la même manière qu'avec les fonctions?

Merci encore pour ta réponse

Posté par
Narhmre : Verification de limite 01-03-09 à 00:02

Ce n'est pas un hasard, je viens de vérifier via Maple.

Pour les Dl :
Si tu veux un DL_n en 0 d'une composée g\circ f quand tu connais celui de f et de g en 0 et que f(0)=0, alors il suffit de composer les parties régulières du DL_n de f et de g pour obtenir celui de la composée.

Tu peux regarder ici pour plus d'info : Formules de Taylor et développements limités

Sinon, il est vrai qu'on peut se passer de Dl pour ton probleme, de simple limite suffise.

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 00:10

Ok Merci beaucoup pour l'information

Merci pour la fiche mais je l'est déja lu et relu ^^ Mais les notations sont encore un peu mystèrieuse pour moi et expliqué comme tu la fais je comprends mieux .

Je vais essayer de le faire je posterais ma réponse dans les prochaines \fbox{20 minutes} je pense, je le post dans un nouveau topic ou tu pourrais vérifier ?

Posté par
Narhmre : Verification de limite 01-03-09 à 00:12

Pas de probleme pour moi, post ici

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 00:26

Euh je pense avoir trouvé .. A toi de me dire si c'est juste


Le DL en 0 d'ordre 1 de cos(x) est 1
De même le DL en 0 d'ordre 1 de sin(x) est x
Or par composée on as ln(1+x) or d'après le DL en 0 d'ordre 1 de ln(1+x) vaut x.

Puis après e^{(\frac{1}{x}.x)}=e donc la limite de la bête vaut e

Je suis désolé la rédaction est \fbox{ridicule} mais c'est le premier DL que je calcul ^^
Et je n'est jamais vu une résolution rédigé..

( J'aurais une autre question , comment sait-on quel ordre utiliser pour le DL ? )

3$Merci

Posté par
Narhmre : Verification de limite 01-03-09 à 01:02

En fait, les Dl ca demande pas mal de pratique pour bien les apprivoiser ^^

En gros, un Dl ça s'exprime en un point par un polynôme et un reste. Quand tu écris un Dl tout doit y figurer :
Le DL(0) à l'ordre 3 de sinus par exemple c'est :
4$ \sin(x)=\underbrace{x-\fr{x^3}{3!}}_{\text{partie reguliere}} \ \ + \ \ \underbrace{x^3\epsilon(x)}_{\text{Reste}}.

ou 3$ \epsilon(x)\mapsto_{x\to 0} 0.

Le premier terme du Dl , le coefficient devant x^0, correspond à la valeur vers laquelle tend ta fonction en 0, le coefficient suivant à la dérivée de ta fonction en 0.
Donc pour avoir la limite que tu cherches, on peut se baser sur un DL à l'ordre 1 ( et non pas 0, car on voit l'influence du (1/x) qui va nous embêter ).

On a : 3$ \cos(x)=1+x\epsilon(x)  ,   3$ \sin(x)=x+x\epsilon(x), 3$ \ln(1+x)=x+\epsilon(x) en 0 à l'ordre 1.
On en tire 3$ \cos(x)+\sin(x) = 1+x+x\epsilon'(x) ou 3$ \epsilon'(x)\mapsto_{x\to 0} 0,

On constate qu'on peut composer notre DL avec celui de ln puisque 3$ \cos(x)+\sin(x)-1 \mapsto_{0} 0 d'ou :

3$ \ln(\cos(x)+\sin(x)) = \ln(1+x+x\epsilon'(x)) = x+x\epsilon^{''}(x) , dès lors on a que

3$ \fr{1}{x}\ln(\cos(x)+\sin(x)) = \fr{1}{x}(x+x\epsilon^{''}(x)) = 1+ \epsilon^{''}(x).

Il ne reste qu'à composer par exponentielle ou passer directement à la limite. Puisque ca signifie que 3$ \lim_{x\to 0} \fr{1}{x}\ln(\cos(x)+\sin(x)) = 1 car '' tend vers 0.
Finalement f(x) tend vers exp(1) en 0.

Je ne sais pas si j'ai été très clair, demande si ça ne l'est pas.


Plus généralement, comment savoir l'ordre d'un DL ?
C'est au cas par cas, il faut voir ce qui va nous gêner et ce que l'on souhaite obtenir, c'est à dire au final, quel est l'ordre qu'on veut. Pour les opérations basiques , somme , soustraction, multiplication, inverse, on se base sur les mêmes ordres.

Si tu veux plus de précision, prends un bon cours avec des exemples et surtout entraine toi

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 01:17

Wow génial !!

Nan c'est super comme ça, je pense avoir bien compris c'est très bien détaillé.

Juste un passage que je ne comprends pas vraiment :

Pourquoi dire que cos(x)+sin(x)-1 tend vers 0 ? C'est pour dire que cos(x)+sin(x) tend vers 1 et donc que le ln tend vers 0 ? (biensur quand x tend vers 0)

5$ Merci   5$beaucoup pour cette explication ! encore un topic à mettre dans mes favoris

Posté par
Narhmre : Verification de limite 01-03-09 à 01:26

Je voulais juste etre en cohérence avec ce que j'ai dit precedemment :
Je t'ai dit qu'on pouvait composer les DL en 0( g°f et tout ) si f(0)=0, or nous connaissons très bien le DL de ln(1+x) en 0.
Ainsi si on veut un DL de ln(1+f(x)) en 0, il faut que f->0 en 0. J'ai donc juste adapter les choses pour la cohérence : si f(x) = cos(x)+sin(x)-1, alors f(0)->0 et on peut composer avec ln(1+x) qui sera finalement le DL de ln(1+f(x))=ln(1+cos(x)+sin(x)-1)=ln(cos(x)+sin(x)).

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 01:26

Et euh si tu as une limite de base à calculer avec un DL je veux bien essayer de la faire et de la rédiger correctement ^^

En tous cas Merci encore de ton intervention

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Verification de limite 01-03-09 à 01:30

Bonsoir ;

Bien vu le taux de variation olive_68

3$\fbox{\frac{1}{x}\ell n(cosx+sinx)\;\displaystyle\to_{x\to0}\;\left(\ell n(cos+sin)\;\right)^'(0)=\left(\frac{cos-sin}{cos+sin}\right)(0)=1}

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 01:30

Ah mais oui !! je n'est pas pensé à chercher jusque là ^^

C'est fou ce que les gens connaissent en maths sur se forum..

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 01:32

Bonsoir elhor_abdelali

Merci c'est gentil ça fait plaisir

Posté par
Narhmre : Verification de limite 01-03-09 à 01:33

Allez, juste pour s'amuser, tu peux regarder ca :
3$ Dl_2(0) \ : \ (1+x)^{\fr{1}{x}} \\ Dl_3(0) \ : \ \ln(2+sin(x)) \\ \lim_{x\to 0} \ \fr{1}{\sin^2(x)}-\fr{1}{x^2} \\ \lim_{x\to 0} \ \fr{1}{x}-\fr{1}{\ln(1+x)}

Et vive les taux de variation ( c'est vrai qu'on peut faire beaucoup de choses et simplement juste avec ca )


Bonne nuit à tous !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Verification de limite 01-03-09 à 01:33

le plaisir est pour moi

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 01:51

Merci beaucoup je posterais ça demain car je doute que quand j'ai fini il y ait encore quelqu'un pour corriger.

J'ai rédiger la sur un autre topic et on m'a indiqué qu'il y a des erreurs de rédactions et comme j'aimerais progresser en rigueur je me permet de vous demander si on pourrais me les indiquer ?

Je ne vous en voudrais pas,après une longue journée ça ce comprends! ^^

En tous cas Information : Développements limités.. ^^ Début de page 3

5$Merci 5$beaucoup et 5$bonne 5$nuit si vous allez vous coucher

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 02:59

Les 2 premières sont vite résolues sans DL ^^ mais je vais les faires avec sinon sa sert a rien ^^

Les 2 dernières posent déjà plus de problème

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 04:36

                                   \fbox{\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e}

       \fbox{\lim_{x\to 0} ln(2+sin(x))=ln(2)} ? ^^

                                 \fbox{\lim_{x\to 0} \frac{1}{sin^2(x)}-\frac{1}{x^2}=-\infty}

             \fbox{\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}-\frac{1}{ln(x+1)}=0 }

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 04:58

Euh non la 3^{eme} est moisie j'ai rien dis..

Posté par
J-Rre : Verification de limite 01-03-09 à 10:27

bonjour,

que veux tu faire : résoudre ces limites avec DL? équivalent ? de façon élémentaire ?

Posté par
moulagre : Verification de limite 01-03-09 à 13:36

Bonjour,
j'ai une limite a calculer et j'aimerais juste savoir si je me trompe pas dans la demarche a suivre.

limx->0 [ecosx - exp(1-x²)] / x4

DL a l'ordre 4 en 0 de exp(u) avec u=dl de cosx
Dl a l'ordre 4 en 0 de exp(v) avec v=1-x²

soustraction des 2 DL
division par x4

et le 1er terme du DL est la limite

merci d'avance

Posté par
Narhmre : Verification de limite 01-03-09 à 13:42

olive_68> Tu voulais des exercices pour pouvoir utiliser les DL, donc usons les ! En effet, ce sont des limites que tu as peut-être déjà rencontrées ou qui sont simples à trouver mais l'objectif n'est-il pas les DL ?

Posté par
J-Rre : Verification de limite 01-03-09 à 13:55

en même temps c'est pas avec des limites, que l'on peut résoudre à coup d'équivalents, qu'on va savoir faire des DL.

au contraire, il faut faire des limites qui te permettent de chopper les méthodes, les réflexes ... parce que tout le monde sait faire des DL, ça ya pas de problème (c'est vrai d'un coté c'est niais), mais ce qu'il y a "d'intéressant" c'est plutôt de savoir à quel ordre il suffit de le faire... et pas d'y aller bourinement.

enfin voilà.

je pense que le net peut te donner ce genre de limite.

@+

Posté par
gui_toure : Verification de limite 01-03-09 à 14:09

Bonjour,

J-R, les équivalents ce sont des DL "tronqués" donc quitte à traîner un o(..) ..

Posté par
J-Rre : Verification de limite 01-03-09 à 14:12

euh oué d'accord...

mais justement on fait les DL quand on a une somme d'équivalent (là, rien à faire, l'élémentaire ne suit plus) donc les DL sont une issue non élémentaire (j'insiste).

c'est ce que je disais, si on a un quotient "pur" (sans somme d'équi.) ca "sert à rien" de faire un DL.

Posté par
J-Rre : Verification de limite 01-03-09 à 14:13

ah non oué je vois ce que tu veux dire...

nan moi je parlais des équivalents usuels, forcément qu'on obtiens les équivalents via les DL mais c'est des DL...

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 23:03

Bonsoir,
Je vais poster tout a l'heure les limites grace aux DL j'ai juste étudie hier la limite de ce tu m'as proposer (merci encore ) mais je voulais déjà voir j'arrive a les résoudre sans les DL, je sais tout a fais que le but de la manip' est de les utiliser sinon ma démarche n'a auc intérêt .

(pour info je suis en terminal J-R donc c'est tout de même encore mystérieux pour moi,donc si après que j'ai poster les DL proposé par Narhm je veux bien que tu me postes des DL ou "on chope les méthodes, les reflexes" je serais bien content de m'y coller .  )

En tout cas merci a vous d'intervenir


Olivier  

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 23:05

Oups je viens de voir le post de moulag ..  Je croîs que vos post etaient destiné pour lui xD  

Posté par
olive_68re : Verification de limite 01-03-09 à 23:31

Je viens de voir ton post de \fbox{10h27}.

Et oui j'aimerais bien commencer par savoir résoudre des DL de façon élémentaire pour commencer puis si j'y arrive à monter en régime niveau DL ^^


Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 00:00

Bon c'est parti pour le 1^{er} DL que tu m'as proposé

Tout d'abord (1+x)^{\fr{1}{x}}=e^{\frac{ln(1+x)}{x}}

A l'ordre 2,en 0 :

       \fbox{ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}   où o(x^2)0 quand x0

Ainsi \frac{1}{x}(ln(1+x))=1-\frac{x}{2}+o(x^2)  ( Doit-on appeller o(x^2) différement maintenant? )

Donc par passage à l'exponentielle on obtient e^{\(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)}

Ainsi \red \fbox{\lim_{x\to 0} (1+x)^{\fr{1}{x}}=\lim_{x\to 0} e^{\(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\)} = e}

Car \lim_{x\to 0} \ \frac{x^2}{2}=0   et \lim_{x\to +\infty} \ o(x^2)=0

6$Merci pour vos commentaires sur la rédaction du DL ( Manque de rigueur etc ^^ )
C'est super simpa de votre part de m'aider

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 00:20

Et voici le 2{eme}

En 0 à l'ordre 3 on a :

   sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) et o(x^3) tendant vers 0 quand x tend vers 0

Or en 0, x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) tend vers 0
On compose notre fonction avec ln(x+2),On obtient:

      ln\(2+sin(x)\)=ln\(2+x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)

Et \fbox{\lim_{x\to 0} \ ln\(2+sin(x)\) = \lim_{x\to 0} \ ln\(2+x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\) = ln(2)}

Voilà Voila

5$Merci  

Posté par
mriware : Verification de limite 02-03-09 à 01:39

Salut,
pourquoi tu poste ici et non pas dans le forum du Lycée?  

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 03:33

Salut,

Parce que les DL ne sont pas au programme du Lycée tous simplement

Posté par
Narhmre : Verification de limite 02-03-09 à 11:06

Bonjour Olive_68

Quand tu écris 3$ o(x^3) en 0, ca veut dire qu'il existe une fonction epsilon qui tend vers 0 quand x tend vers 0 tq 3$ o(x^3)=x^3\cdot\epsilon (x). Le tout tend bien sur vers 0 par construction de la notation, donc ca n'est pas la peine de le préciser. D'ou l'avantage de cette notation. Et tu comprends aussi qu'on a pas à changer la notation si on divise on multiplie par x le "petit o", on perd juste ou on ajoute juste une puissance à x.

Sinon, je suis ok pour ton Dl : 3$ \lim_{x\to 0} \ \ln\(2+\sin(x)\) = \lim_{x\to 0} \ \ln\(2+x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\) = \ln(2).
Peux-tu en donner un DL_3(0) de \ln\(2+\sin(x)\) histoire de les utiliser.
Tout comme pour ton post de 00h00 le 02/03/09, tu pouvais encore utiliser le DL de l'exponentielle.
Ceci dit c'est juste, j'ajoute juste ça parce que tu voulais t'entrainer avec les DL.

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 12:56

Bonjour

Merci beaucoup pour ces remarques je tâcherais de les appliquer la prochaine fois

Au ce n'est pas un DL d'ordre 3? Jhesitais entré deux notation je dois donc choisir celle avec un exposant 7 dans o(x^n) ?

Merci     

Posté par
Narhmre : Verification de limite 02-03-09 à 18:29

Citation :
Au ce n'est pas un DL d'ordre 3? Jhesitais entré deux notation je dois donc choisir celle avec un exposant 7 dans o(x^n) ?


Je suis désolé mais je n'ai pas compris, tu veux parler de quoi ? Quelle notation avec exposant 7 et ou ca ?
^^

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 18:58

Bonjour,


Mais tu m'as dis :

Citation :
Peux-tu en donner un DL_3(0) de ln(2+sin(x)) histoire de les utiliser.


Ce n'est pas à l'ordre 3 ce que j'ai fais dans mon post de \fbox{00h20}?

Car j'ai compris que l'ordre se lisait dans le o(x^n) et dans la formule des Dl il y a pour le sinus o(x^{(2n+1)}), je ne savais pas si je devais tronquer le tout a o(x^3) ou bien si je devais tout de même avoir alors o(x^{2.3+1)} soit o(x^7)

Posté par
Narhmre : Verification de limite 02-03-09 à 19:54

Comme on a déjà du te le dire, un développement limité est une manière d'exprimer localement une fonction en un point par le biais d'un polynôme ( la partie régulière ) et d'un reste ( la précision ).
Quand tu écris  : \ln\(2+sin(x)\) = \ \ln\(2+x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\) = ln(2) ou est la partie réguliere , le reste ?

L'ordre se lit effectivement dans l'écriture du reste, si il n'y a pas d'oubli de terme dans la partie régulière.
Pour le sinus par exemple : on a,
3$ Dl_1(0) \ \sin(x)=x+o(x) \\ Dl_2(0) \ \sin(x)=x+o(x^2) \\ Dl_3(0) \ \sin(x)=x-\fr{x^3}{6}+o(x^3) \\ Dl_4(0) \ \sin(x)=x-\fr{x^3}{6}+o(x^4)

Si jamais tu te retrouves, par le biais d'un produit de DL ou autre, à avoir 3$ f(x)= 1+ \fr{x}{189} + \fr{x^4}{13} - 3x^5 + o(x^5) alors le DL de f à l'ordre 3 revient à tronquer et donc supprimer les puissances en x supérieurs strictement à 3 et de poser o(x3)
Si tu veux un ordre n, tu dois avoir toutes les puissances en x inférieur ou égale à n (d'ou le probleme parfois ^^ )

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 20:46

Mais j'ai pas écris que  \ln\(2+sin(x)\) = \ \ln\(2+x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\) = ln(2) mais \lim_{x\to 0} \ln\(2+sin(x)\) =\lim_{x\to 0} \ \ln\(2+x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\) = ln(2)

Donc c'est bon non? où alors c'est que je n'est pas compris ..  

J'ai bien compris que un DL est composé d'une partie régulière et un reste ^^ ( j'ai du lire au moins 5 fois ton post où tu me l'as précisé , De plus Tigweg me l'a aussi expliqué Donc j'ai bien en tête le principe (enfin j'en ais l'impréssion))

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 20:49

Ps: Le Dl à l'ordre 3 de f(x) que tu m'as donné comme exemple serais donc f(x)=1+\frac{1}{189}+o(x^3) c'est ça ?

C'est gentil de prendre de la peine pour m'expliquer Merci

Posté par
J-Rre : Verification de limite 02-03-09 à 20:52

si je peux me permettre,

si comme là on aborde des questions qui ne relèvent pas de la méthode mais de la rigueur, il faut faire quelques points de théorie en particulier notation de Landau.

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 20:52

Ah je crois comprendre ce que tu veux me dire !!

Il faut toujours exprimer un DL en tant qu'un somme !

Bien que ce que j'ai ecris est juste en lui même,non?

Posté par
J-Rre : Verification de limite 02-03-09 à 21:02

et pis quand aux exos pour s'entrainer tu peux aller voir :

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 21:10

Bonjour J-R,

Génial Merci pour les exercices

Posté par
Narhmre : Verification de limite 02-03-09 à 21:28

Bonjour J-R,

Effectivement on va sortir du cadre méthodique.
>Olive_68 Un dl s'est plutôt "comme un polynôme de degré n suivi d'un reste du même ordre". Ce que tu avais écris n'était pas faux, mais ça n'était pas un DL.

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 21:38

Ah bon , Ben je crois que je vais me trouver des lots d'exercice corrigés sur les Dl sur le net comme ça au bout d'un moment ça va rentrer

( Et comment faut-il l'écrire pour que ce soit un Dl? car j'ai éssayé d'isoler le reste mais sans réussir..)

Posté par
Narhmre : Verification de limite 02-03-09 à 22:01

Par exemple, pour ta limite : Donc en 0 :
3$ \ln\(2+sin(x)\) = \ \ln\(2+x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\) = \ln(2(1+\fr{x}{2}-\fr{x^3}{12}+o(x^3))) = \ln(2) + \ln(1+\fr{x}{2}-\fr{x^3}{12}+o(x^3)) \\ = \ln(2) + \fr{x}{2}-\fr{x^3}{12}-\fr{1}{2}(\fr{x}{2}-\fr{x^3}{12})^2+\fr{1}{3}(\fr{x}{2}-\fr{x^3}{12})^3+o(x^3) \ \text{ en utilisant le DL de ln(1+x)} \\ = \ln(2) + \fr{1}{2}x - \fr{1}{8}x^2 - \fr{1}{24}x^3 + o(x^3) \text{ en ne gardant que les termes en x de degre inferieur ou egale a 3. }

Et cette dernière expression est bien le Dl de ln(2+sin(x)) , on distingue bien la partie réguliere et le reste non ?

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 22:17

:O

Ca rend dingue tu fais ça tout easy ^^ J'avoue que je n'y aurais jamais pensé ..

Donc le 1^{er} "Dl" que j'ai fais n'est pas un Dl..
Je te posterais ce que je trouve si tu veux bien ^^

Posté par
olive_68re : Verification de limite 02-03-09 à 22:36

(1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}ln(x+1)}

A l'ordre 2, en 0 :

       ln(x+1)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

Donc \frac{1}{x}(ln(x+1))=1-\frac{1}{2}x+o(x)

Par passage à l'exponentiel on obtient:

   e^{\(1-\frac{1}{2}x+o(x)\)}=e \times e^{\(-\fr{1}{2}x+o(x)\)}

On constate que on peut utiliser le Dl de l'exponentiel en 0 d'ordre 1 ? car -\fr{1}{2}x+o(x) tend vers 0 en 0.

On a e(1-(-\frac{1}{2}x)+o(x))=e(1+\frac{1}{2}x)+o(x)=e+\frac{e}{2}x+o(x)

Donc Dl_2(0) (1+x)^{\frac{1}{x}}=e+\frac{e}{2}x+o(x)


C'est bon? je crains d'avoir fais un Dl d'ordre 1

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