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Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe

Posté par
Ciborea 27-10-09 à 15:51

Bonjour à tous,
j'aimerais une méthode pour montrer que Z[i] et Z[X]/(X²+1) sont isomorphes.
Merci d'avance !

Posté par
infophilere : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 15:57

Bonjour

Ce sont deux corps de rupture de X²+1 donc isomorphes (ça se démontre avec le théorème d'isomorphisme).

Posté par
robby3re : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 15:58

Salut,
tu prends une application linéaire qui va de Z[X] dans Z[i] dont le noyau est X²+1...puis le théorème de factorisation te permet de conclure.
sauf erreurs.

Posté par
robby3re : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 15:58

oups!
salut Kévin.

Posté par
infophilere : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:00

Salut robby

Posté par
MatheuxMatoure : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:37

bonjour

Citation :
Ce sont deux corps de rupture de X²+1 donc isomorphes

ha bon ? [i] serait une extension de corps ?
maisalor... serait un corps ?
on ne me dit jamais rien !

MM

Posté par
MatheuxMatoure : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:38

Ciborea : quand tu parles d'isomorphisme... tu parle de quelle structure ? isomorphisme de quoi ??
MM

Posté par
infophilere : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:40

Mince j'ai lu K ! merci alain !

Posté par
MatheuxMatoure : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:42

(pas grave... c'était juste une boutade !)

je pense que notre ami(e) parle d'isomorphisme d'anneau... [i] représentant, je pense, le plus petit anneau contenant à la fois et i...

Posté par
Ciboreare : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:44

c'est par rapport aux anneaux.

Posté par
Ciboreare : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:55

en fait j'aimerais un exemple de résolution pour pouvoir le refaire moi-même sur d'autres exemples.

Posté par
Camélia Correcteurre : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 16:57

Bonjour

C'est bien en tant qu'anneaux...et Robby a donné la solution.

Regarde f:Z[X]\to Z[i] définie par f(P)=P(i)

Posté par
MatheuxMatoure : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 17:02

tu prends
: [X][i] ; P(X) R(i)
où R(X) est le reste de la division de P(X) par (X²+1)

tu montres que est un isomorphisme d'anneau

puis que son noyau est l'idéal engendré par (X²+1)

Cela permet de construire l'isomorphisme cherché

Posté par
MatheuxMatoure : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 17:03

(bonjour Camélia... oui, tu as raison, ta formulation est plus simple et revient au même)

Posté par
MatheuxMatoure : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 17:04

et j'ai écrit "isomorphisme" pour en voulant dire "homomorphisme".

pardon

Posté par
Ciboreare : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 17:49

Merci beaucoup à tous!
c'est beaucoup plus clair à présent!

Posté par
esta-fettere : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 27-10-09 à 17:54

bonjour...

Citation :
j'aimerais une méthode pour montrer que Z[i] et Z[X]/(X²+1) sont isomorphes.
Merci d'avance !


ou alors ça se montre directement sans passer par de grands théorèmes...

un élèment de Z s'écrit a+ ib.
un élèment de Z[X]/(X²+1) s'écrit  classe(a + bX)

et c'est trivial de voir qu'il y a isomorphisme d'anneau

Posté par
infophilere : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 28-10-09 à 01:14

Ciborea > pour la culture, Z[i] est l'anneau (euclidien) des entiers de Gauss.

Posté par
infophilere : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 28-10-09 à 01:14

Ciborea > pour la culture, Z[i] est l'anneau (euclidien) des entiers de Gauss.

Posté par
Ciboreare : Z[i] et Z[X]/(X²+1) isomorphe 28-10-09 à 09:57

Merci infophile! mon prof de cours me l'avait indiqué ^^


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