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Niveau Maths sup
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fonctions C1 et C0 par morceaux

Posté par
moimeme
02-02-07 à 19:00

Bonjour,

j'ai du mal à voir comment une fonction peut ne pas etre continue par morceaux...à mouins que ce ne soit une succession de point.
-> ca me pose le problème suivant : pour moi , toutes les fonctions sont continues par morceaux, puisqu'il duffit de faire des intervalles suffisemment petit... je me trompe ??

une autre petite question : le th de Dirichlet , pour les séries de Fourier à par hypothèse que f est continue par morceau ET C1 par morceaux
mais une fonction C1 par morceaux n'est elle pas continue par morceaux ??

Merci d'avance

Posté par
Rouliane
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:05

Bonjour,

La fonction définie sur [0;1] par :

f(x)=0 si x=0
f(x)= 1/x sinon

n'est pas continue par morceaux.

Posté par
moimeme
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:08

pourquoi n'est elle pas continue sur ]0,1] ?

Posté par
Rouliane
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:08

si mais elle n'admet pas de limite quand x tend vers 0+

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:08

Bonsoir moimeme

Citation :
-> ca me pose le problème suivant : pour moi , toutes les fonctions sont continues par morceaux, puisqu'il duffit de faire des intervalles suffisemment petit... je me trompe ??


Attention à ce type de raisonnement. Même si c'est vraiment très louche, je t'assure qu'il existe des fonctions qui ne sont pas continues par morceaux et même encore pire que ça.
Par exemple, la fonction indicatrice de \Large{\mathbb{Q}} n'est pas continue par morceaux.

Citation :
une autre petite question : le th de Dirichlet , pour les séries de Fourier à par hypothèse que f est continue par morceau ET C1 par morceaux
mais une fonction C1 par morceaux n'est elle pas continue par morceaux ??

Effectivement !
Il y est vraiment précisé continue par morceaux ?
Juste pour voir : quelle est la conclusion qui est écrite dans ton cours ? que la série de Fourier converge simplement vers la régularisée de la fonction ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:09

Salut Rouliane

Posté par
Rouliane
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:09

Salut Kaiser

Posté par
moimeme
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:15

"quelle est la conclusion qui est écrite dans ton cours ? que la série de Fourier converge simplement vers la régularisée de la fonction ?"
quelque chose comme ca...si mes souvenirs sont bons.
mais j'ai bien écrit continue par morceaux et C1 par morceaux... peut etre le prof a t il ecrit ca pour qu'on vérifie d'abord si elle est continue ou seulement par morceaux et eventuellement voir si on peut appliquer la convergence normale si elle est continue sur R ???

ett si j'ai bien compris , pour qu'une fonction soit continue par morceaux sur un intervalle , même ouvert, il fo=aut que les limites à droite et à gauche soient finies ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:21

Citation :
mais j'ai bien écrit continue par morceaux et C1 par morceaux... peut etre le prof a t il ecrit ca pour qu'on vérifie d'abord si elle est continue ou seulement par morceaux et eventuellement voir si on peut appliquer la convergence normale si elle est continue sur R ???


Je pense qu'il voulais simplement insister sur les hypothèses parce que dans la pratique, bien sûr, on n'aura pas tout le temps des fonctions continues.


Citation :
ett si j'ai bien compris , pour qu'une fonction soit continue par morceaux sur un intervalle , même ouvert, il fo=aut que les limites à droite et à gauche soient finies ?


pas seulement.
C'est un peu plus complet que ça !

Kaiser

Posté par
moimeme
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:24

"pas seulement.
C'est un peu plus complet que ça !"

c'est a dire ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : fonctions C1 et C0 par morceaux 02-02-07 à 19:57

On dit qu'une fonction f est continue par moprceaux sur un segment [a,b] s'il existe une subdivision \Large{(x_{i})_{0\leq i\leq n}} de ce segment avec \Large{a=x_{0} < x_{1} < ... < x_{n+1}=b} tel que pour tout entier compris entre 1 et n, la restriction de f à l'intervalle \Large{]x_{i},x_{i+1}[} est continue, tel que pour tout entier i compris entre 0 et n et tout j compris entre 1 et n+1 \Large{\lim_{x\to x_{i}^{+}f(x)}} et \Large{\lim_{x\to x_{j}^{-}}f(x)} existent et sont finies.

Maintenant, on dit que f est continue par morceaux sur un intervalle I si f est continue par morceaux sur tout segment inclus dans I.

Kaiser



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