Dans chacun des exercices 1 à 6, f désigne une fonction définie sur l'intervalle I.
Montrer que f est bornée sur I.
exercice 1
I = [-3; 2] et f(x) = |x - 3|
exercice 2
I = [-4; 1] et f(x) = x²
exercice 3
I = [-2; 2] et f(x) = x² - 1
exercice 4
I = [-1; 2] et f(x) = |2 - x²|
exercice 5
I = [-1; 3] et f(x) = x² - 2x
exercice 6
I = [0; 3] et
exercice 7
On considère les fonctions
et
de
vers
définies par :
.
1. a) Montrer que pour tout nombre réel
,
b) Montrer que pour tout nombre réel
,
c) En déduire que pour tout nombre réel
,
.
2. La fonction
est elle bornée sur
?
3. Démontrer que la fonction
est bornée sur
.
4. Démontrer que la fonction
est bornée sur
et que pour tout nombre réel
,
.
exercice 1
f(x) = |x - 3|; I = [-3; 2]
Si x
I, alors :
.
D'où : f est bornée sur I.
exercice 2
f(x) = x²; I = [-4; 1]
Si x
I, alors :
D'où : f est bornée sur I.
exercice 3
f(x) = x² - 1; I = [-2; 2]
si x
I, alors :
Donc f est bornée sur I.
exercice 4
f(x) = |2 - x²|; I = [-1; 2]
Si x
I, alors :
Donc f est bornée sur I.
exercice 5
f(x) = x² - 2x; I = [-1; 3]
Si x
I, alors :
D'où : f est bornée sur I.
exercice 6
; I = [0; 3].
Si x
I, alors :
D'où : f est bornée sur I.
exercice 7
1. a) Pour tout réel x, on a :
1. b) Pour tout réel x, on a :
1. c) Pour tout réel x,
.
Or, pour tout x réel, x² et x² + 1 sont positifs, donc
est positif et par conséquent : g(x)
1.
Pour tout réel x,
.
Or, pour tout réel x,
, donc : g(x) < 2.
On a donc montré que g est bornée sur
2. f est une fonction linéaire, on a :
.
f ne peut donc pas être bornée sur
.
3. Pour tout réel x,
.
Comme g est bornée sur
et que f est bien définie sur
, alors
est bornée sur
.
4. Pour tout réel x,
Même raisonnement qu'au
1. :
Pour tout réel x,
.
Donc : pour tout réel x,
.
Donc : pour tout réel
D'où :
est bornée
.