Fiche de mathématiques
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Fonctions bornées

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Dans chacun des exercices 1 à 6, f désigne une fonction définie sur l'intervalle I.
Montrer que f est bornée sur I.


exercice 1

I = [-3; 2] et f(x) = |x - 3|


exercice 2

I = [-4; 1] et f(x) = x²


exercice 3

I = [-2; 2] et f(x) = x² - 1


exercice 4

I = [-1; 2] et f(x) = |2 - x²|


exercice 5

I = [-1; 3] et f(x) = x² - 2x


exercice 6

I = [0; 3] et f(x) = \dfrac{1}{x + 1}





exercice 7

On considère les fonctions f et g de \mathbb{R} vers \mathbb{R} définies par : f(x) = 3x -5 \text{ et } g(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1}.

1. a) Montrer que pour tout nombre réel x, g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{x^2 + 1}
    b) Montrer que pour tout nombre réel x, g(x) = 2 - \dfrac{1}{x^2 + 1}
    c) En déduire que pour tout nombre réel x, 1 \leq g(x) \leq 2.

2. La fonction f est elle bornée sur \mathbb{R} ?

3. Démontrer que la fonction g \circ f est bornée sur \mathbb{R}.

4. Démontrer que la fonction f \circ g est bornée sur \mathbb{R} et que pour tout nombre réel x, -2 \leq (f \circ g)(x) < 1.



exercice 1

f(x) = |x - 3|; I = [-3; 2]
Si x \in I, alors :
-3 \leq x \leq 2\\ \text{Donc : } -6 \leq x - 3 \leq -1\\ \text{Donc : } 1 \leq |x - 3| \leq 6.
D'où : f est bornée sur I.


exercice 2

f(x) = x²; I = [-4; 1]
Si x \in I, alors :
-4 \leq x \leq 1\\ \text{Donc : } 0 \leq x^2 \leq 16
D'où : f est bornée sur I.


exercice 3

f(x) = x² - 1; I = [-2; 2]
si x\in I, alors :
-2 \leq x \leq 2\\ \text{Donc : } 0 \leq x^2 \leq 4\\ \text{Donc : } -1 \leq x^2 - 1 \leq 3
Donc f est bornée sur I.


exercice 4

f(x) = |2 - x²|; I = [-1; 2]
Si x \in I, alors :
-1 \leq x \leq 2\\ \text{Donc : } 0 \leq x^2 \leq 4\\ \text{Donc : } -4 \leq -x^2 \leq 0\\ \text{Donc : } -2 \leq 2 - x^2 \leq 2\\ \text{Alors :} 0 \leq |2 - x^2| \leq 2
Donc f est bornée sur I.


exercice 5

f(x) = x² - 2x; I = [-1; 3]
Si x \in I, alors :
-1 \leq x \leq 3\\ \text{Donc : } 0 \leq x^2 \leq 9 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} -2 \leq 2x \leq 6 \hspace{10pt} \text{ soit } \hspace{10pt} -6 \leq -2x \leq 2\\ \text{Donc : } -6 \leq x^2 - 2x \leq 11
D'où : f est bornée sur I.


exercice 6

f(x) = \dfrac{1}{x + 1}; I = [0; 3].
Si x \in I, alors :
0 \leq x \leq 3 \hspace{10pt} \text{et } \hspace{10pt} 1 \leq x + 1 \leq 4\\ \text{Alors : } \dfrac14 \leq \dfrac{1}{x + 1} \leq 1
D'où : f est bornée sur I.




exercice 7

1. a) Pour tout réel x, on a :
1 + \dfrac{x^2}{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 + 1 + x^2}{x^2 + 1} = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1} = g(x)

1. b) Pour tout réel x, on a :
2 - \dfrac{1}{x^2 + 1} = \dfrac{2(x^2 + 1) - 1}{x^2 + 1} = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1} = g(x)

1. c) Pour tout réel x, g(x) = 1 + \dfrac{x^2}{x^2 + 1}.
Or, pour tout x réel, x² et x² + 1 sont positifs, donc \dfrac{x^2}{x^2 + 1} est positif et par conséquent : g(x) \geq 1.

Pour tout réel x, g(x) = 2 - \dfrac{1}{x^2 +1 }.
Or, pour tout réel x, -\dfrac{1}{x^2 + 1} < 0, donc : g(x) < 2.
On a donc montré que g est bornée sur \mathbb{R} : \text{ pour tout reel x, } 1 \leq g(x) < 2

2. f est une fonction linéaire, on a : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.
f ne peut donc pas être bornée sur \mathbb{R}.

3. Pour tout réel x,
g \circ f(x) = g(3x - 5) = \dfrac{2(3x - 5)^2 + 1}{(3x - 5)^2 + 1}.
Comme g est bornée sur \mathbb{R} et que f est bien définie sur \mathbb{R}, alors g \circ f est bornée sur \mathbb{R}.

4. Pour tout réel x,
f \circ g(x) = f\left(\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1}\right)\\ \hspace{10pt} = 3 \times \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1} - 5\\ \hspace{10pt} = \dfrac{6x^2 + 3 - 5x^2 - 5}{x^2 + 1}\\ \hspace{10pt} = \dfrac{x^2^ - 2}{x^2 + 1}
Même raisonnement qu'au 1. :
Pour tout réel x, f \circ g(x) = \dfrac{x^2 + 1 - 3}{x^2 + 1} = 1 - \dfrac{3}{x^2 + 1}.
Donc : pour tout réel x, f \circ g(x) < 1
f \circ g(x) = \dfrac{x^2 + 1 - 3}{x^2 + 1} = \dfrac{3x^2 - 2x^2 + 1 - 3}{x^2 + 1} = \dfrac{3x^2 - 2x^2 - 2}{x^2 + 1} = \dfrac{3x^2 - 2(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = -2 + \dfrac{3x^2}{x^2 + 1}.
Donc : pour tout réel x, \, f \circ g(x) \geq -2
D'où : f \circ g est bornée \mathbb{R}.
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