Fiche de mathématiques
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Exercices de Trigonométrie #2

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exercice 1


1. Résoudre, dans l'intervalle ]-\pi ; \pi], l'inéquation : \frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} en s'aidant du cercle trigonométrique.

2. Résoudre, dans l'intervalle [0 ; 2\pi[, l'équation \cos ( 2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Représenter ensuite les solutions sur le cercle trigonométrique.



exercice 2

1. Résoudre l'équation \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}
1.a. sur l'intervalle [0 ; \pi]
1.b. sur l'intervalle [-\pi ; \pi]
2. Résoudre l'équation \cos 2x = 0 \text{ sur } [-\pi ; \pi].

exercice 3


Résoudre sur l'intervalle I indiqué les équations suivantes :
1. \sin x = \cos ( x + \frac{\pi}{3}),   			I = ]0 ; \pi [
2. 2\cos x - \sqrt{3} = 0	, 		I = ]0 ; 4\pi[
3. \sin (3x - \frac{\pi}{6})  + \cos ( 2x - \frac{\pi}{3}) = 0, 	I = ]-\pi ; \pi[



exercice 4

Résoudre dans ]-\pi ; \pi] l'équation 4\cos ^2 x - 1 = 0 et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.



exercice 5

Résoudre dans R les équations suivantes :

1.2 \cos ^2 x - \cos x = 0

2.\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}






exercice 1

1. On trace sur le cercle trigonométrique les droites d'équation y = \frac{1}{2} \text{ et } y = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Exercices de Trigonométrie #2 : image 1


On en déduit donc que la solution, dans l'intervalle ]-\pi ; \pi], de l'inéquation \frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ est } ]\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}[\cup]\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{6}[.

2.
\cos ( 2x -\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow (2x - \frac{\pi}{4})  = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } (2x - \frac{\pi}{4})  = -\frac{\pi}{4} + 2k'\pi,\quad	 k \in  \mathbb{Z} \quad k' \in  \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } 2x = 2k'\pi, \quad k \in  \mathbb{Z}, \quad k' \in  \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = k'\pi, 	\quad   k \in  \mathbb{Z}, \quad k' \in  \mathbb{Z}

Par conséquent l'ensemble solution de cette équation appartenant à l'intervalle [0 ; 2\pi[ est : {0 ; \frac{\pi}{4} ; \pi ; \frac{5\pi}{4}}



exercice 2

1. \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{3\pi}{4} + 2k'\pi,	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}
1.a. Donc sur l'intervalle [0 ; \pi] la solution est \frac{3\pi}{4}.
1.b. Donc sur l'intervalle [-\pi ; \pi] les solutions sont {\frac{3\pi}{4} ; -\frac{3\pi}{4}}.

2.
\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, 		 \quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, 		\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}

L'ensemble solution de l'équation sur l'intervalle [-\pi ; \pi] est donc {-\frac{3\pi}{4} ; -\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}}.



exercice 3


Résoudre sur l'intervalle I indiqué les équations suivantes :
1.
\sin x = \cos ( x + \frac{\pi}{3})  \\ \Leftrightarrow \cos ( \frac{\pi}{2}- x)  = \cos ( x + \frac{\pi}{3}) 	\\ \Leftrightarrow \frac{\pi}{2} - x = x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } \frac{\pi}{2} - x = -x - \frac{\pi}{3} + 2k\pi,	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow -2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } \frac{5\pi}{6} = 2k\pi \text{(impossible)},		\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{12} - k\pi,   	k \in  \mathbb{Z}

Sur I = ]0 ; \pi[ la solution est donc \frac{\pi}{12}.

2. 2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}  \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, 	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}

Sur I = ]0 ; 4\pi[ l'ensemble solution est donc {\frac{\pi}{6} ; \frac{11\pi}{6} ; \frac{13\pi}{6} \frac{23\pi}{6} }

3.
\sin (3x - \frac{\pi}{6})  + \cos (2x - \frac{\pi}{3})  = 0 \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3})  = - \sin (3x - \frac{\pi}{6}) \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3})  = \sin (\frac{\pi}{6} - 3x) \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3})  = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 3x) \\ \Leftrightarrow \cos (2x - \frac{\pi}{3})  = \cos (\frac{\pi}{3} + 3x) \\ \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{3}  = \frac{\pi}{3} + 3x + 2k\pi   \text{ ou } 2x - \frac{\pi}{3}  = -\frac{\pi}{3} - 3x + 2k'\pi,    \quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow -x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } 5x = 2k'\pi, 	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x = - \frac{2\pi}{3} - 2k\pi \text{ ou }  x = \frac{2k'\pi}{5},  	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}

Sur l'intervalle I = ]-\pi ; \pi[ l'ensemble solution est \lbrace \frac{-4\pi}{5} ; \frac{- 2\pi}{3} ; \frac{-2\pi}{5} ; 0 ; \frac{2\pi}{5} ; \frac{4\pi}{5} \rbrace.

exercice 4

4cos^2 x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (2\cos x - 1)(2\cos x + 1) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0  \text{ ou }  2\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \text{ ou }  \cos x =  -\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow x =  \frac{\pi}{3} + 2k\pi  \text{ ou }  x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi  \text{ ou }  x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi  \text{ ou }  x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi,	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}

L'ensemble solution est donc {-\frac{2\pi}{3} ; -\frac{\pi}{3} ; \frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3} }
Exercices de Trigonométrie #2 : image 2




exercice 5

1.
2\cos ^2 x - \cos x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos x (2\cos x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \cos x = 0 \text{ ou } \cos x = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ ou } x = -\frac{\pi}{2} + 2k'\pi \text{ ou } x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi  \text{ ou }  x = -\frac{\pi}{3} + 2k'\pi,	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}

2.
\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } 2x = \frac{3\pi}{4} + 2k'\pi, 	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + k\pi \text{ ou }  x = \frac{3\pi}{8} + k' \pi, 	\quad k \in  \mathbb{Z}\, \quad k' \in  \mathbb{Z}
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