exercice 1
désignant un nombre réel quelconque, on donne :
Démontrer que, pour tout réel
,
.
exercice 2
est un réel de l'intervalle [-2 ; +
[, on donne :
et
.
Démontrer que, pour tout réel
de l'intervalle [-2 ; +
[,
.
exercice 3
désignant un nombre entier naturel non nul, on donne :
et
.
Démontrer que pour tout entier naturel
non nul,
.
exercice 4
étant un nombre réel de l'intervalle [3 ; 5]. On donne :
.
Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5],
.
Comment comparer deux nombres ?
Première méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une méthode consiste :
à calculer la différence de ces deux nombres,
puis à étudier le signe de cette différence.
Deuxième méthode
Pour comparer deux nombres a et b de même signe, avec, par exemple, des radicaux, une autre méthode consiste à comparer leurs carrés. (attention au signe de a et b)
Troisième méthode
Pour comparer deux nombres a et b strictement positifs, une troisième méthode consiste à calculer le quotient
, puis comparer ce quotient à 1.
Quatrième méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une quatrième méthode consiste à utiliser le sens de variation d'une fonction usuelle f.
exercice 1
Démontrons que, pour tout réel , :
Pour montrer que
, montrons que
et
.
Pour tout réel
, on a :
Or, pour tout réel
,
et
D'où
,
D'où
.
POur tout réel
, on a :
Or, pour tout réel
, 2 > 0 et
.
D'où
, d'où
.
On en déduit donc que
.
exercice 2
Démontrons que, pour tout réel de l'intervalle [-2 ; +[, :
Pour comparer
et
, on va comparer leur carré.
Si
, alors
et
sont de même signe et on a :
Or
, donc
D'où pour tout réel
de l'intervalle [-2 ; +
[,
.
exercice 3
Démontrons que pour tout entier naturel non nul, :
Pour comparer
et
, on va étudier le signe de
.
Pour tout entier naturel
non nul, on a :
Or, pour tout entier naturel
non nul,
,
et
D'où : pour tout entier naturel n non nul,
.
On peut aussi étudier le rapport
car
et
sont strictements positifs.
On a :
Or, pour tout entier naturel n non nul,
, donc
D'où : pour tout entier naturel
non nul,
.
exercice 4
Démontrons que pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5], :
La fonction
est continue et dérivable sur [3 ; 5].
Pour tout
de [3 ; 5], on a :
Or sur [3 ; 5],
et
Donc
D'où
est décroissante sur [3 ; 5].
Donc
D'où
Or
et
, on a donc pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5] :
.