désignant un nombre réel quelconque, on donne : Démontrer que, pour tout réel , .
exercice 2
est un réel de l'intervalle [-2 ; +[, on donne : et .
Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [-2 ; +[, .
exercice 3
désignant un nombre entier naturel non nul, on donne : et .
Démontrer que pour tout entier naturel non nul, .
exercice 4
étant un nombre réel de l'intervalle [3 ; 5]. On donne : .
Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5], .
Comment comparer deux nombres ?
Première méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une méthode consiste :
à calculer la différence de ces deux nombres,
puis à étudier le signe de cette différence.
Deuxième méthode
Pour comparer deux nombres a et b de même signe, avec, par exemple, des radicaux, une autre méthode consiste à comparer leurs carrés. (attention au signe de a et b)
Troisième méthode
Pour comparer deux nombres a et b strictement positifs, une troisième méthode consiste à calculer le quotient , puis comparer ce quotient à 1.
Quatrième méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une quatrième méthode consiste à utiliser le sens de variation d'une fonction usuelle f.
Démontrons que, pour tout réel , : Pour montrer que , montrons que et .
Pour tout réel , on a :
Or, pour tout réel , et D'où ,
D'où .
POur tout réel , on a :
Or, pour tout réel , 2 > 0 et .
D'où , d'où .
On en déduit donc que .
exercice 2
Démontrons que, pour tout réel de l'intervalle [-2 ; +[, : Pour comparer et , on va comparer leur carré.
Si , alors et sont de même signe et on a :
Or , donc D'où pour tout réel de l'intervalle [-2 ; +[, .
exercice 3
Démontrons que pour tout entier naturel non nul, : Pour comparer et , on va étudier le signe de .
Pour tout entier naturel non nul, on a :
Or, pour tout entier naturel non nul, , et D'où : pour tout entier naturel n non nul, .
On peut aussi étudier le rapport car et sont strictements positifs.
On a :
Or, pour tout entier naturel n non nul, , donc D'où : pour tout entier naturel non nul, .
exercice 4
Démontrons que pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5], : La fonction est continue et dérivable sur [3 ; 5].
Pour tout de [3 ; 5], on a :
Or sur [3 ; 5], et Donc D'où est décroissante sur [3 ; 5].
Donc D'où Or et , on a donc pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5] : .
Publié par /Joelz
le
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désignant un nombre réel quelconque, on donne :  = \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2})
 \leq 1)
.
[, on donne :  = \sqrt{1 + x + x^2})
et  = 1 +\dfrac{x}{2})
.
 \leq f(x))
.
désignant un nombre entier naturel non nul, on donne :  = \dfrac{n^2 - 1}{n^2 + 2n})
et = \dfrac{n + 1}{n + 2})
.
 < g(n))
.
 = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1})
.
 \leq \dfrac56)
.
 \geq 0)
et  + 1 \geq 0)
.
 = 1 - \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2} = \dfrac{1 + x^2 - (1 - x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^2}{1 + x^2})
et 
)
.
 + 1 = \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2} + 1 = \dfrac{1 - x^2 + 1 + x^2}{1 + x^2} = \dfrac{2}{1+x^2})
 + 1 \geq 0)
, d'où  \geq -1)
.
et 
, on va comparer leur carré.
, alors )
et )
sont de même signe et on a :
)^2 - (g(x))^2 = 1 + x + x^2 - (1 + \dfrac{x}{2})^2 = 1 + x + x^2 - (1 + x + \dfrac{x^2}{4}) = x^2 - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{3x^2}{4})
, donc )^2 \geq (g(x))^2)
 \geq g(x))
.
)
et )
, on va étudier le signe de  - f(n))
.
 - f(n) = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n^2-1}{n^2+2n} = \dfrac{n(n+1)-(n^2-1)}{n^2+2n} = \dfrac{n+1}{n(n+2)})
, 
et 
 > f(n))
.
}{f(n)})
car }{f(n)} = \dfrac{\dfrac{n+1}{n+2}}{\dfrac{n^2-1}{n^2+2n}} = \dfrac{n^2+1}{n^2-1})
, donc }{f(n)} > 1)
 = \dfrac{-2}{(x-1)^2} + \dfrac{1}{(x+1)^2} = \dfrac{-(x^2+6x+1)}{(x^2-1)^2})
et ^2 > 0)
 \leq 0)
 \leq f(x) \leq f(3))
 \leq \dfrac34)
et 
, on a donc pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5] :  \leq \dfrac{5}{6})
.Publié par /Joelz
le
, puis comparer ce quotient à 1.
Voir la correction
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