Fiche de mathématiques
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Activités numériques

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exercice 1

x désignant un nombre réel quelconque, on donne : \phi(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2}
Démontrer que, pour tout réel x, -1 \leq \phi(x) \leq 1.



exercice 2

x est un réel de l'intervalle [-2 ; +\infty[, on donne : f(x) = \sqrt{1 + x + x^2}    et    g(x) = 1 +\dfrac{x}{2}.
Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle [-2 ; +\infty[, g(x) \leq f(x).



exercice 3

n désignant un nombre entier naturel non nul, on donne : f(n) = \dfrac{n^2 - 1}{n^2 + 2n}    et    g(n)= \dfrac{n + 1}{n + 2}.
Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, f(n) < g(n).



exercice 4

x étant un nombre réel de l'intervalle [3 ; 5]. On donne : \phi(x) = \dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}.
Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5], \dfrac14 \leq \phi(x) \leq \dfrac56.



Comment comparer deux nombres ?

Première méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une méthode consiste :
   à calculer la différence de ces deux nombres,
   puis à étudier le signe de cette différence.

Deuxième méthode
Pour comparer deux nombres a et b de même signe, avec, par exemple, des radicaux, une autre méthode consiste à comparer leurs carrés. (attention au signe de a et b)

Troisième méthode
Pour comparer deux nombres a et b strictement positifs, une troisième méthode consiste à calculer le quotient \dfrac{a}{b}, puis comparer ce quotient à 1.

Quatrième méthode
Pour comparer deux nombres a et b, une quatrième méthode consiste à utiliser le sens de variation d'une fonction usuelle f.





exercice 1

Démontrons que, pour tout réel x, -1 \leq \phi(x) \leq 1 :
Pour montrer que -1 \leq \phi(x) \leq 1, montrons que 1 - \phi(x) \geq 0 et \phi(x) + 1 \geq 0.
Pour tout réel x, on a :
1 - \phi(x) = 1 - \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2} = \dfrac{1 + x^2 - (1 - x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^2}{1 + x^2}
Or, pour tout réel x, 2x^2 \geq 0 et 1 + x^2 > 0
D'où 1 - \phi(x) \geq 0,
D'où 1 \geq \phi(x).

POur tout réel x, on a :
\phi(x) + 1 = \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2} + 1 = \dfrac{1 - x^2 + 1 + x^2}{1 + x^2} = \dfrac{2}{1+x^2}
Or, pour tout réel x, 2 > 0 et 1 + x^2 > 0.
D'où \phi(x) + 1  \geq 0, d'où \phi(x) \geq -1.
On en déduit donc que -1 \leq \phi(x) \leq 1.



exercice 2

Démontrons que, pour tout réel x de l'intervalle [-2 ; +\infty[, g(x) \leq f(x) :
Pour comparer f et g, on va comparer leur carré.
Si x \geq -2, alors f(x) et g(x) sont de même signe et on a :
(f(x))^2 - (g(x))^2 = 1 + x + x^2 - (1 +  \dfrac{x}{2})^2 = 1 + x + x^2 - (1 + x + \dfrac{x^2}{4}) = x^2 - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{3x^2}{4}
Or x^2 \geq 0, donc (f(x))^2 \geq (g(x))^2
D'où pour tout réel x de l'intervalle [-2 ; +\infty[, f(x) \geq g(x).



exercice 3

Démontrons que pour tout entier naturel n non nul, f(n) < g(n) :
Pour comparer f(n) et g(n), on va étudier le signe de g(n) - f(n).
Pour tout entier naturel n non nul, on a :
g(n) - f(n) = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n^2-1}{n^2+2n} = \dfrac{n(n+1)-(n^2-1)}{n^2+2n} = \dfrac{n+1}{n(n+2)}
Or, pour tout entier naturel n non nul, n + 1 > 0, n > 0 et n + 2 > 0
D'où : pour tout entier naturel n non nul, g(n) > f(n).

On peut aussi étudier le rapport \dfrac{g(n)}{f(n)} car f(n) et g(n) sont strictements positifs.
On a :
\dfrac{g(n)}{f(n)} = \dfrac{\dfrac{n+1}{n+2}}{\dfrac{n^2-1}{n^2+2n}} = \dfrac{n^2+1}{n^2-1}
Or, pour tout entier naturel n non nul, n^2 + 1 > n^2 - 1, donc \dfrac{g(n)}{f(n)} > 1
D'où : pour tout entier naturel n non nul, g(n) > f(n).



exercice 4

Démontrons que pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5], \dfrac14 \leq \phi(x) \leq \dfrac56 :
La fonction f est continue et dérivable sur [3 ; 5].
Pour tout x de [3 ; 5], on a :
f'(x) = \dfrac{-2}{(x-1)^2} + \dfrac{1}{(x+1)^2} = \dfrac{-(x^2+6x+1)}{(x^2-1)^2}
Or sur [3 ; 5], x^2 + 6x + 1 \geq 0 et (x^2-1)^2 > 0
Donc f'(x) \leq 0
D'où f est décroissante sur [3 ; 5].
Donc f(5) \leq f(x) \leq f(3)
D'où \dfrac13 \leq f(x) \leq \dfrac34
Or \dfrac14 \leq \dfrac13 et \dfrac34 \leq \dfrac56, on a donc pour tout réel de l'intervalle [3 ; 5] : \dfrac{1}{4} \leq f(x) \leq \dfrac{5}{6}.
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