Fiche de mathématiques

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Polynômes : exercices d'entraînement

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

exercice 1

Quatre cubes ont respectivement pour arêtes, mesurées en centimètres, $x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2, \hspace{10pt} x + 3$ , où $x$ est un nombre entier naturel.
Déterminer $x$ pour que le contenu des trois cubes d'arêtes $x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2$ remplisse exactement le cube d'arête $x + 3$ .

exercice 2

Soit une fonction polynôme P et soit $\Delta$ (P) la fonction polynôme : x $\mapsto$ P(x + 1) - P(x).

1. Calculer $\Delta$ (P) lorsque P est un polynôme de degré 0, de degré 1, de degré 2.
Comparer deg $\Delta$ (P ) et deg P sur ces trois cas particuliers.
Formuler un résultat général reliant deg $\Delta$ (P) et deg P si deg P $\ge$ 1 et démontrer ce résultat.

2. Montrer que $\Delta$ ²(P) = $\Delta$ ( $\Delta$ (P)) est la fonction polynôme :
x $\mapsto$ P(x + 2) - 2P(x + 1) + P(x).
Donner une expression analogue pour $\Delta$ ³(P) = $\Delta$ ( $\Delta$ ( $\Delta$ (P))).

3. Que peut-on dire de $\Delta$ ³(P) lorsque deg P = 2, puis lorsque deg P = 3 ?

4. Montrer que pour toute fonction polynôme P de degré 3, on a pour tout réel x :
P(x + 4) + 6P(x + 2) + P(x) = 4[P(x + 3) + P(x + 1)].

5. Application.
Existe-t-il une fonction polynôme P de degré 3 vérifiant :
P(-3) = P(-1) = P(1)
P(-2) = P(0).

exercice 3

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre.
exemple : f (x) = x⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1
Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0$ , pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ .

1. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).

2. Montrer que si $x_0$ est solution de (E), alors $\dfrac{1}{x_0}$ est solution de (E).

3. Montrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation (E') : $x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$ .

4. Calculer $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2$ .

5. En posant $X = x + \dfrac{1}{x}$ , montrer que l'équation (E') se ramène à une équation du second degré.

6. Résoudre l'équation du second degré, puis en déduire les solutions de l'équation (E).

exercice 4

Soit P une fonction polynôme de degré n, n $\ge$ 1.

1. Montrer que si P a n racines distinctes a₁, .... a_n, alors il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, on ait : P(x) = (x - a₁)(x - a₂)...(x - a_n) Q (x).

2. En déduire que toute fonction polynôme de degré n a au plus n racines distinctes.

3. La fonction f : x $\mapsto$ sin x est-elle polynomiale ?

4. Existe-t-il une fonction polynôme P non nulle telle que pour tout x $\neq$ 0, x⁵P $\sqrt{\text{x}^{2}+1}$ = P(x-1) et telle que 1 soit racine de P ?
Pour répondre à la question, on montrera que :
si P existe, deg P $\le$ 5 ;
$\left(\dfrac{1}{\text{x}}\right)$ et $\dfrac{1}{2}$ sont racines de P ;
il existe six racines distinctes de P.

exercice 5

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre.
Exemple : f (x) = 3x⁴ + x³ - x² + x + 3.
Nous allons voir des méthodes permettant de résoudre l'équation f(x) = 0.

1. Degré 2. Soit : f: x $\mapsto$ ax² + bx + a, avec a et b réels et a $\neq$ 0.
Résoudre l'équation f (x) = 0 et dans le cas où f admet deux racines distinctes. Démontrer que leur produit est égal à 1.

2. Degré 3. Soit : f: x $\mapsto$ ax³ + bx² + bx + a, avec a et b réels et a $\neq$ 0.
    a) Montrer que 0 n'est pas racine de f et que si x₁ est racine de f, alors $\dfrac{1}{\text{x}_1}$ est aussi racine de f.
    b) Trouver une solution évidente x₀ de l'équation f(x) = 0.
Pourquoi cette solution ne permet-elle pas d'en trouver une autre en utilisant la question a. ?
Utiliser x₀ pour factoriser f(x).
    c) Application
f: x $\mapsto$ 7x³ - 43x² - 43x + 7.
Résoudre l'équation f(x) = 0 et factoriser f(x).

3. Degré 4. Soit : f: x $\mapsto$ ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a, avec a, b et c réels et a $\neq$ 0.
    a) Même question que 2. a).
    b) Soit y = x + $\left(\dfrac{1}{\text{x}}\right)$ .
Calculer y² et en déduire l'expression de g(x) = $\dfrac{\text{f}(\text{x})}{\text{x}^2}$ en fonction de a, b, c, y et y² (ceci pour x $\neq$ 0).
Montrer que résoudre f (x) = 0 revient à résoudre successivement au plus trois équations du second degré.
Montrer que si b² < 4a(c - 2a), f(x) = 0 n'a pas de solution.
    c) Application
Résoudre l'équation : 12x⁴ + 11x³ - 146x² + 11x + 12 = 0.

exercice 6

1. Trouver une fonction polynôme $P$ , de degré $\le$ 2, telle que
$P(-1) = 14$ , $P(2) = 5$ , $P(3) = 18$ .
$P$ est-elle unique ? Si oui, pourquoi ? Sinon, trouver toutes les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 vérifiant les mêmes conditions.

2. Reprendre la question 1. pour les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 qui vérifient :
$P\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{2}$ et $P(-3) = -5$ .

3. Soient $a$ , $b$ , $c$ , $d$ quatre réels donnés.
Montrer que s'il existe une fonction polynôme $P$ de degré 3 vérifiant $P(-2) = a$ , $P\left(\dfrac{1}{2}\right) = b$ , $P\left(\sqrt{2}\right) = c$ et $P(100) = d$ , alors elle est unique.

4. Montrer qu'il existe quatre réels $\alpha, \hspace{5pt}\beta , \hspace{5pt}\gamma, \hspace{5pt}\delta$ tels que la fonction polynôme $P$ définie par :
$P(x) = \alpha \left(x - \dfrac{1}{2}\right)\left(x - \sqrt{2}\right)(x - 100) + \beta(x + 2)(x - \sqrt{2})(x - 100) + \gamma(x + 2)(x - \sqrt{2})(x - 100) + \delta(x + 2)\left(x - \dfrac12\right)(x - \sqrt{2})$ soit la solution du problème.
Le polynôme obtenu s'appelle le polynôme d'interpolation de Lagrange.

5. Généraliser les questions 3. et 4. en remplaçant $-2$ , $\dfrac{1}{2}$ , $\sqrt{2}$ , $100$ par des valeurs quelconques $x_1, x_2, x_3, x_4$ deux à deux distinctes.

6. Généraliser à la recherche des fonctions polynômes $P$ de degré $\le n$ vérifiant
$P(x_1) = a_1, P(x_2) = a_2, ..., P(x_{n+1}) = a_{n+1}$ où $x_1, ..., x_{n+1}$ sont des réels donnés deux à deux distincts et où $a_1, ..., a_{n+1}$ sont des réels donnés quelconques.

exercice 7

Dossier d'Interpol (utiliser l'exercice 6).
La société secrète du «troisième degré» se livre à de redoutables activités et ses membres se reconnaissent grâce à un code numérique qui change chaque mois suivant une formule connue d'eux seuls.
A Interpol, le commissaire Lagrange n'a pas beaucoup d'éléments pour son enquête : il sait seulement que les codes pour les 3^e, 5^e, 6^e et 8^e mois étaient respectivement 729, 1313, 901 et 1014.
Néanmoins, le nom de la société secrète lui donne une idée. Il va découvrir la formule, et connaissant le code pour le 10^e mois, il va s'infiltrer dans la société et arrêter peu à peu tous ses membres.
Quelle est la formule ? Quel est le code du 10^e mois ?

Correction

exercice 1

Le volume d'un cube de coté $x$ a pour valeur $x^3$ .
Additionnons les volumes des trois cubes ayant pour arêtes $x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2$ et appelons V ce volume :
$\text{V} = x^3 + (x + 1)^3 + (x + 2)^3\\ \text{V} = x^3 + (x^2 + 2x + 1)(x + 1) + (x^2 + 4x + 4)(x + 2)\\ \text{V} = x^3 + x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 + x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 8x + 4x + 8\\ \text{V} = 3x^3 + 9x^2 + 15x + 9$

Calculons le volume V' du cube ayant pour arête $x + 3$ :
$\text{V'} = (x + 3)^3\\ \text{V'} = (x^2 + 6x + 9)(x + 3)\\ \text{V'} = x^3 + 3x^2 + 6x^2 + 18x + 9x + 27\\ \text{V'} = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

On recherche $x$ tel que V = V', soit :
$3x^3 + 9x^2 + 15x + 9 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\\ 2x^3 - 12x - 18 = 0\\ x^3 - 6x - 9 = 0 (1)$
3 est une racine évidente de $x^3 - 6x - 9$ , donc $x^3 - 6x - 9$ s'écrit également $(x - 3)(ax^2 + bx + c)$ car l'écriture polynômiale est unique.
Développons $(x - 3)(ax^2 + bx + c)$ :
$(x - 3)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c = ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b) - 3c$
Identifions les coefficients :
a = 1
b - 3a = 0 $\Longleftrightarrow$ b = 3
-3c = -9 $\Longleftrightarrow$ c = 3
c - 3b = 3 - 3 × 3 = -6
On en déduit : $x^3 - 6x - 9 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3)$
Factorisons $x^2 + 3x + 3$ par la méthode du discriminant :
$\Delta$ = b² - 4ac = 9 - 4 × 1 × 3 = -3
$\Delta$ étant négatif, $x^2 + 3x + 3$ est toujours du signe de a : positif. Ce polynôme n'admet pas de racine réelle.
(1) peut s'écrire : $(x - 3)(x^2 + 3x + 3) = 0$ ,
ce qui équivaut à $x = 3$ .
Pour que le contenu des trois cubes d'arêtes $x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2$ remplisse exactement le cube d'arête $x + 3$ , il faut que $x$ soit égal à 3.

exercice 2

1. Si $P$ est un polynôme de degré $0$ , alors il est de la forme $P(x)=a$ où $a$ est un réel non-nul.

Dans ce cas, $\Delta (P) (x) ~=~ P(x+1)-P(x)~=~a-a~=~0$ , c'est un polynôme de degré $-\infty$ (par convention)

Si $P$ est de degré $1$ , alors il est de la forme $P(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels, et $a\ne 0$
Dans ce cas, $\Delta (P(x) ~=~ P(x+1)-P(x) ~=~ a(x+1)+b-(ax+b)~=~ax+a+b-ax-b~=~a$ , c'est un polynôme de degré $1$ car $a\ne 0$

Si $P$ est de degré $2$ , alors il est de la forme $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a,b,c$ sont des réels et $a\ne 0$
Alors :
$\Delta (P)(x) ~=~P(x+1)-P(x) ~=~ a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)$
$=~a(x^2+2x+1)+b(x+1)+c-ax^2-bx-c ~=~ ax^2+2ax+a+bx+b+c-ax^2-bx-c$
$~=~ 2ax+a+b$
$\Delta (P)$ est de degré 1

On remarque que si $\deg(P)\ge 1~,$ alors $\deg(\Delta(P))=\deg(P)-1$

Démonstration :

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2.
$\forall x\in \R\;\;,$
$\Delta^2(P)(x)~=~\Delta(\Delta(P)(x))~=~\Delta(P)(x+1)-\Delta(P)(x)~=~P((x+1)+1)-P(x+1)-(P(x+1)-P(x))\\[3pt]=~P(x+2)-2P(x+1)+P(x)$

$\Delta^3(P)(x)~=~\Delta(\Delta^2 (P))(x)~=~\Delta^2 (P)(x+1)-\Delta^2 (P)(x)\\[3pt]=~P((x+1)+2)-2P((x+1)+1)+P(x+1)-(P(x+2)-2P(x+1)+P(x))\\[3pt]=~P(x+3)-2P(x+2)+P(x+1)-P(x+2)+2P(x+1)-P(x)\\[3pt]=~P(x+3)-3P(x+2)+3P(x+1)-P(x)$

3. Si $\deg(P)=2$ alors $\deg(\Delta(P))=1$ et $\deg(\Delta^2(P))=0$
Finalement, on déduit que $\Delta^3(P)$ est le polynôme nul

Si $\deg(P)=3$ , alors de la même façon que précédemment on déduit que $\deg(\Delta^3(P))=0$ , donc c'est un polynôme constant

4. Si $P$ est de degré $3$ alors on sait que $\Delta^3(P)$ est un polynôme constant
On en déduit que $\Delta^4(P):=\Delta(\Delta^3(P))$ est le polynôme nul

De plus,

$\Delta^4(P)(x)~=~\Delta^3(P)(x+1)-\Delta^3(P)(x)\\[3pt]=~P\big((x+1)+3\big)-3P\big((x+1)+2\big)+3P\big((x+1)+1\big)-P(x+1)-\Big(P(x+3)-3P(x+2)+3P(x+1)-P(x)\Big)\\[3pt]=~P(x+4)-3P(x+3)+3P(x+2)-P(x+1)-P(x+3)+3P(x+2)-3P(x+1)+3P(x)\\[3pt]=~P(x+4)-4P(x+3)+6P(x+2)-4P(x+1)+P(x)$

On déduit alors que pour tout $x\in \R,$

$P(x+4)-4P(x+3)+6P(x+2)-4P(x+1)+P(x)=0$

ce qui est équivalent à

$P(x+4)+6P(x+2)+P(x)~=~4\Big[P(x+3)+P(x+1)\Big]$

5. Supposons qu'une fonction $P$ polynôme de degré 3 vérifiant ces conditions existe. En utilisant la relation précédemment démontrée avec $x=-3$ , on déduit :

$P(1)+6P(-1)+P(-3)~=~4(P(0)+P(-2))$

Et comme on a les égalités $P(-3)=P(-1)=P(1)$ et $P(-2)=P(0)$ , alors :

$P(1)+6P(1)+P(1)~=~4P(0)+4P(0)\\[3pt]\Leftrightarrow 8P(1)=8P(0)\\[3pt]\Leftrightarrow P(0)=P(1)$

Et finalement, $P(-3)=P(-2)=P(-1)=P(0)=P(1)$ .

Si on pose le polynôme $Q(x)=P(x)-P(1)$ , alors $Q$ est aussi de degré 3
De plus, $Q$ admet comme racines $-3, -2, -1, 0, 1\qquad \text{car}\qquad Q(-3)=P(-3)-P(1)=0$ , etc.

Alors $Q$ est factorisable par $(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)$ . Mais alors $Q$ est au moins de degré 5, ce qui est absurde

D'après le raisonnement par l'absurde, il n'existe pas de telle fonction polynôme $P$

exercice 3

1. $0^4 - 5 \times 0^3 + 6 \times 0^2 - 5 \times 0 + 1 = 1 \neq 0$
0 n'est donc pas solution de l'équation (E).

2. $\dfrac{1}{x_0^4} - \dfrac{5}{x_0^3} + \dfrac{6}{x_0^2} - \dfrac{5}{x_0} + 1 = \dfrac{1 - 5x_0 + 6x_0^2 - 5x_0^3 + x_0^4}{x_0^4}$
Or, x₀ est solution de l'équation (E), donc : x₀⁴ - 5x₀³ + 6x₀² - 5x₀ + 1 = 0.
Donc : $\dfrac{1}{x_0^4} - \dfrac{5}{x_0^3} + \dfrac{6}{x_0^2} - \dfrac{5}{x_0} + 1 = 0$
D'où : si x₀ est solution de (E), alors $\dfrac{1}{x_0}$ est solution de (E).

3. x⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 1 = 0
équivaut à $x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$

4. $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 x \times \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2$

5. Posons $X = x + \dfrac{1}{x}$ , donc :
$x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$ équivaut à
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 5\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 6 = 0$
X² - 2 - 5X + 6 = 0
X² - 5X + 4 = 0

6. Résolvons l'équation X^2 - 5X + 4 = 0.
$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 = 3^2$
L'équation admet donc deux solutions :
$X_1 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$ et $X_2 = \dfrac{5 + 3}{2} = 4$
Or $X = x + \dfrac{1}{x}$ , donc :
$x + \dfrac{1}{x} = 1$ ou $x + \dfrac{1}{x} = 4$

$x + \dfrac{1}{x} = 1$ équivaut à $\dfrac{x^2 + 1 - x}{x} = 0$
soit : x² - x + 1 = 0
$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3$
L'équation n'admet donc pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

$x + \dfrac{1}{x} = 4$ équivaut à $\dfrac{x^2 + 1 - 4x}{x} = 0$
soit : x² - 4x + 1 = 0
$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 12$
L'équation n'admet donc deux solutions :
$x_1 = \dfrac{4 - \sqrt{12}}{2} = 2 - \sqrt{3}$ et $x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{12}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

D'où : $\boxed{S = \lbrace 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}\rbrace}$ .

exercice 5

= b² - 4a²
Si deltamaj

> 0 alors l'équation f(x) = 0 admet deux racines distinctes x' et x", avec
$x' = \dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a}$ $\;$ et $\;$ $x'' = \dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a}$
$x' \times x'' = \left( \dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a} \right)\times \left( \dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4a^{2}}}{2a} \right)$
$x' \times x'' = \dfrac{(-b)^{2}-(b^{2}-4a^{2})}{(2a)^{2}} = \dfrac{4a^{2}}{4a^{2}} = 1$

2.a. f(0) = a et a different

0 ; donc 0 n'est pas solution de l'équation f(x) = 0.
Si x₁ est solutionde f(x) = 0 alors f(x₁) = 0 et x₁ different

0.
$f(\frac{1}{x_{1}}) = a(\frac{1}{x_{1}} )^{3} + b (\frac{1}{x_{1}} )^{2} + b(\frac{1}{x_{1}} ) + a$
$f(\frac{1}{x_{1}}) = \dfrac{a + bx_{1} + b (x_{1})^{2} + a(x_{1})^{3}}{(x_{1})^{3}} = \dfrac{f(x_{1})}{(x_{1})^{3}} = 0$
Donc $\dfrac{1}{x_{1}}$ est solution de f(x) = 0.

2.b. $f(-1) = -a +b-b+a = 0$ ; donc -1 est solution de f(x) = 0.
On cherche à factoriser f(x) par (x+1) :
f(x) =a (x³+1) + bx (x+1) = a (x+1)(x²-x +1) + bx (x+1) = (x+1)(ax² - ax + a + bx) = (x+1)(ax² +(b-a)x + a)
ax² +(b-a)x + a est un polynôme de degré 2 car a est non nul.
deltamaj

= (b-a)² - 4a² = (b-a -2a)(b-a+2a) = (b-3a)(b+a)
Selon le signe de deltamaj

, l'équation aura 1,2 ou 3 solutions.
--> RQ : Attention en toute rigueur, il faudrait regarder si ces solutions sont égales à -1 ou pas.

2.c. f(x) =7x³ - 43x² - 43x + 7 = (x+1) (7x² - 50x + 7)
Le discriminant de 7x² - 50x + 7 est égal à 48².
On en déduit ses deux racines : -7 et -1/7.
Les solutions de l?équation f(x) = 0 sont donc -1, -7 et -1/7.

2.a. f(0) = a et a different

0 ; donc 0 n'est pas solution de l'équation f(x) = 0.
Si x₁ est solutionde f(x) = 0 alors f(x₁) = 0 et x₁ different

0.
$f(\frac{1}{x_{1}}) = a(\frac{1}{x_{1}} )^{4} + b (\frac{1}{x_{1}} )^{3} + c (\frac{1}{x_{1}} )^{2}+ b(\frac{1}{x_{1}} ) + a$
$f(\frac{1}{x_{1}}) = \dfrac{a + bx_{1} + c (x_{1})^{2} + b(x_{1})^{3} + a(x_{1})^{4} }{(x_{1})^{4}} = \dfrac{f(x_{1})}{(x_{1})^{4}} = 0$
Donc $\dfrac{1}{x_{1}}$ est solution de f(x) = 0.

2.b. $\;$ $y^{2} = \left(x+\dfrac{1}{x} \right)^{2} = x^{2} + 2 + \left(\dfrac{1}{x} \right)^{2}$ ; donc $x^{2} + \left(\dfrac{1}{x} \right)^{2} = y^{2} - 2$ .
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x^{2}} = ax^{2} + bx + c + b\times \dfrac{1}{x} + a\times \dfrac{1}{x^{2}}$
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x^{2}} = a\left( x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\right)+ b \left(x +\dfrac{1}{x} \right) + c = a(y^{2} - 2) + by + c$
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x^{2}} = ay^{2} + by + c-2a$
Résoudre f(x)=0 revient à résoudre d'abord cette équation de degré 2 : $ay^{2} + by + c-2a = 0$ .
Puis, si elle a des solutions, pour chacune de ses solutions $\;$ $y_0$ , il reste à résoudre $\left(x+\dfrac{1}{x} \right) = y_0$
L'équation $\left(x+\dfrac{1}{x} \right) = y_0$ $\;$ est équivalente à cette équation de degré 2 : $x^{2} - y_{0}x + 1 = 0$ .
Le discriminant de l?équation $ay^{2} + by + c-2a = 0$ $\;$ est b² - 4a(c-2a).
Il est négatif si b² < 4a(c-2a). L?équation f(x) = 0 n'a alors pas de solution.

3.c. f(x) = 12x⁴ + 11x³ -146x² + 11x + 12
On commence par résoudre 12y² + 11y -170 = 0.
On trouve 2 solutions réelles : -17/4 et 10/3.
On a ensuite à résoudre 2 équations de degré 2 :
x² - (-17/4)x + 1 =0
x² - (10/3)x + 1 =0
On en déduit que l'équation f(x) = 0 a quatre solutions réelles : 1/4, 4, 1/3 et 3.

Publié par malou/carita le 12-01-2022

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