Fiche de mathématiques
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Fonctions Polynômes : Exercices

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exercice 1

Calculer x1² + x2² et x13 + x23
où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c.



exercice 2

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0
indication : on pourra poser X = x^2



exercice 3

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0
indication : on pourra poser X = \sqrt{x}



exercice 4

Soit P une fonction polynôme de degré n, n \ge 1.

1. Montrer que si P a n racines distinctes a1, .... an, alors il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, on ait : P(x) = (x - a1)(x - a2)...(x - an) Q (x).

2. En déduire que toute fonction polynôme de degré n a au plus n racines distinctes.

3. La fonction f : x \mapsto sin x est-elle polynomiale ?

4. Existe-t-il une fonction polynôme P non nulle telle que pour tout x \neq 0, x5P\sqrt{\text{x}^{2}+1} = P(x-1) et telle que 1 soit racine de P ?
Pour répondre à la question, on montrera que :
si P existe, deg P \le 5 ;
\left(\dfrac{1}{\text{x}}\right) et \dfrac{1}{2} sont racines de P ;
il existe six racines distinctes de P.



exercice 5

Soient A, B, C trois villes telles que : d(A, B) = d(B, C). Deux voitures se rendent de A à C en passant par B.
La première va à la vitesse v de A à B, puis deux fois plus vite ensuite.
La deuxième va de A à B à 48 km/h de moyenne, puis roule à la vitesse (v + 20) entre B et C.
Les deux voitures mettent le même temps : calculer v.



exercice 6

Le livre de mathématiques de première S a la forme d'un parallélépipède rectangle d'arêtes de longueurs a, b et c. Son volume vaut V = 792 cm3, la somme des aires de ses faces vaut S = 954 cm² et la somme des longueurs de ses arêtes vaut P = 170 cm.
Retrouver les dimensions du livre (on pourra développer le polynôme Q(x) = (x - a)(x - b)(x - c) et trouver l'épaisseur du livre comme racine évidente de Q).



exercice 7

Soit une fonction polynôme P et soit \Delta(P) la fonction polynôme : x \mapsto P(x + 1) - P(x).

1. Calculer \Delta(P) lorsque P est un polynôme de degré 0, de degré 1, de degré 2.
Comparer deg \Delta(P ) et deg P sur ces trois cas particuliers.
Formuler un résultat général reliant deg \Delta(P) et deg P si deg P \ge 1 et démontrer ce résultat.

2. Montrer que \Delta²(P) = \Delta(\Delta(P)) est la fonction polynôme :
x \mapsto P(x + 2) - 2P(x + 1) + P(x).
Donner une expression analogue pour \Delta3(P) = \Delta(\Delta(\Delta(P))).

3. Que peut-on dire de \Delta3(P) lorsque deg P = 2, puis lorsque deg P = 3 ?

4. Montrer que pour toute fonction polynôme P de degré 3, on a pour tout réel x :
P(x + 4) + 6P(x + 2) + P(x) = 4[P(x + 3) + P(x + 1)].

5. Application.
Existe-t-il une fonction polynôme P de degré 3 vérifiant :
P(-3) = P(-1) = P(1)
P(-2) = P(0).



exercice 8

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre.
exemple : f (x) = x4 - 5x3 + 6x² - 5x + 1
Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0, pour tout x appartenant à \mathbb{R}.

1. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).

2. Montrer que si x_0 est solution de (E), alors \dfrac{1}{x_0} est solution de (E).

3. Montrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation (E') : x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0.

4. Calculer \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2.

5. En posant X = x + \dfrac{1}{x}, montrer que l'équation (E') se ramène à une équation du second degré.

6. Résoudre l'équation du second degré, puis en déduire les solutions de l'équation (E).



exercice 9

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre.
Exemple : f (x) = 3x4 + x3 - x² + x + 3.
Nous allons voir des méthodes permettant de résoudre l'équation f(x) = 0.

1. Degré 2. Soit : f: x \mapsto ax² + bx + a, a \neq 0.
Résoudre l'équation f (x) = 0 et dans le cas où f admet deux racines distinctes, les comparer.

2. Degré 3. Soit : f: x \mapsto ax3 + bx² + bc + a, a \neq 0.
    a) Montrer que 0 n'est pas racine de f et que si x1 est racine de f, alors \dfrac{1}{\text{x}_1} est aussi racine de f.
    b) Trouver une racine évidente de f et en déduire une factorisation de f(x). Discuter alors le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0.
    c) Application
f: x \mapsto 7x3 - 43x² - 43x + 7.
Résoudre l'équation f(x) = 0 et factoriser f(x).

3. Degré 4. Soit : f: x \mapsto ax4 + bx3 + cx² + bx + a, a \neq 0.
    a) Même question que B. a).
    b) Soit y = x + \left(\dfrac{1}{\text{x}}\right) .
Calculer y² et en déduire l'expression de g(x) = \dfrac{\text{f}(\text{x})}{\text{x}} en fonction de a, b, c, y et y² (ceci pour x \neq 0).
Montrer que résoudre f (x) = 0 revient à résoudre successivement deux équations du second degré.
Montrer que si b² < 4a(c - 2a), f(x) = 0 n'a pas de solution.
    c) Application
Résoudre l'équation : 12x4 + 11x3 - 146x² + 11x + 12 = 0.



exercice 10

1. Trouver une fonction polynôme P, de degré \le 2, telle que
P(-1) = 14 , P(2) = 5, P(3) = 18.

P est-elle unique ? Si oui, pourquoi ? Sinon, trouver toutes les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 vérifiant les mêmes conditions.

2. Reprendre la question 1. pour les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 qui vérifient :
P\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{2} et P(-3) = -5.


3. Soient a, b, c, d quatre réels donnés.
Montrer que s'il existe une fonction polynôme P de degré 3 vérifiant P(-2) = a, P\left(\dfrac{1}{2}\right) = b, P\left(\sqrt{2}\right) = c et P(100) = d, alors elle est unique.

4. Montrer qu'il existe quatre réels \alpha, \hspace{5pt}\beta , \hspace{5pt}\gamma, \hspace{5pt}\delta tels que la fonction polynôme P définie par :
P(x) = \alpha \left(x - \dfrac{1}{2}\right)\left(x - \sqrt{2}\right)(x - 100) + \beta(x + 2)(x - \sqrt{2})(x - 100) +  \gamma(x + 2)(x - \sqrt{2})(x - 100) + \delta(x + 2)\left(x - \dfrac12\right)(x - \sqrt{2}) soit la solution du problème.
Le polynôme obtenu s'appelle le polynôme d'interpolation de Lagrange.

5. Généraliser les questions 3. et 4. en remplaçant -2, \dfrac{1}{2}, \sqrt{2}, 100 par des valeurs quelconques x_1, x_2, x_3, x_4 deux à deux distinctes.

6. Généraliser à la recherche des fonctions polynômes P de degré \le n vérifiant
P(x_1) = a_1, P(x_2) = a_2, ..., P(x_{n+1}) = a_{n+1}x_1, ..., x_{n+1} sont des réels donnés deux à deux distincts et où a_1, ..., a_{n+1} sont des réels donnés quelconques.



exercice 11

Dossier d'Interpol (utiliser l'exercice 10).
La société secrète du «troisième degré» se livre à de redoutables activités et ses membres se reconnaissent grâce à un code numérique qui change chaque mois suivant une formule connue d'eux seuls.
A Interpol, le commissaire Lagrange n'a pas beaucoup d'éléments pour son enquête : il sait seulement que les codes pour les 3e, 5e, 6e et 8e mois étaient respectivement 729, 1313, 901 et 1014.
Néanmoins, le nom de la société secrète lui donne une idée. Il va découvrir la formule, et connaissant le code pour le 10e mois, il va s'infiltrer dans la société et arrêter peu à peu tous ses membres.
Quelle est la formule ? Quel est le code du 10e mois ?



exercice 12

Déterminer le polynôme P(x) de degré 3 tel que :
P(1) = -\dfrac{3}{4}; P(2) = 1 ; P(3) = \dfrac{29}{4} et P(4) = 21.





exercice 2

Posons X = x^2, donc x^4 - 3x^2 - 4 = 0 équivaut à :
X^2 - 3X - 4 = 0
\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2
L'équation admet donc deux solutions :
X_1 = \dfrac{3 - 5}{2} = -1     et     X_2 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4
Or X = x^2, donc :
x^2 = -1     ou     x^2 = 4

x^2 = -1 n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
x^2 = 4 équivaut à x = 2 ou x = -2

D'où : \boxed{S = \lbrace-2; 2\rbrace}



exercice 3

Posons X = \sqrt{x}, x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 équivaut à :
X^2 - 5X - 36 = 0
Calculons le discriminant : \Delta = 25 + 4 \times 36 = 169 = 13^2
L'équation admet donc deux solutions :
X_1 = \dfrac{5 - 13}{2} = -4     et     X_2 = \dfrac{5 + 13}{2} = 9
Or X = \sqrt{x}, donc :
\sqrt{x} = -4     ou     \sqrt{x} = 9

\sqrt{x} = -4 n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
\sqrt{x} = 9 équivaut à x = 81

D'où : \boxed{S = \lbrace81\rbrace}



exercice 8

1. 0^4 - 5 \times 0^3 + 6 \times 0^2 - 5 \times 0 + 1 = 1 \neq 0
0 n'est donc pas solution de l'équation (E).

2. \dfrac{1}{x_0^4} - \dfrac{5}{x_0^3} + \dfrac{6}{x_0^2} - \dfrac{5}{x_0} + 1 = \dfrac{1 - 5x_0 + 6x_0^2 - 5x_0^3 + x_0^4}{x_0^4}
Or, x0 est solution de l'équation (E), donc : x04 - 5x03 + 6x0² - 5x0 + 1 = 0.
Donc : \dfrac{1}{x_0^4} - \dfrac{5}{x_0^3} + \dfrac{6}{x_0^2} - \dfrac{5}{x_0} + 1 = 0
D'où : si x0 est solution de (E), alors \dfrac{1}{x_0} est solution de (E).

3. x4 - 5x3 + 6x² - 5x + 1 = 0
équivaut à x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0

4. \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 x \times \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2

5. Posons X = x + \dfrac{1}{x}, donc :
x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0 équivaut à
x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 5\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 6  = 0
X² - 2 - 5X + 6 = 0
X² - 5X + 4 = 0

6. Résolvons l'équation X^2 - 5X + 4 = 0.
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 = 3^2
L'équation admet donc deux solutions :
X_1 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1     et     X_2 = \dfrac{5 + 3}{2} = 4
Or X = x + \dfrac{1}{x}, donc :
x + \dfrac{1}{x} = 1     ou     x + \dfrac{1}{x} = 4

x + \dfrac{1}{x} = 1 équivaut à \dfrac{x^2 + 1 - x}{x} = 0
soit : x² - x + 1 = 0
\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3
L'équation n'admet donc pas de solution dans \mathbb{R}.

x + \dfrac{1}{x} = 4 équivaut à \dfrac{x^2 + 1 - 4x}{x} = 0
soit : x² - 4x + 1 = 0
\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 12
L'équation n'admet donc deux solutions :
x_1 = \dfrac{4 - \sqrt{12}}{2} = 2 - \sqrt{3}     et     x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{12}}{2} = 2 + \sqrt{3}

D'où : \boxed{S = \lbrace 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}\rbrace}.
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