Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths 1^ère > Fonctions : généralités

Polynomes : définition, identification, factorisation, équations

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

exercice 1

Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?

1. f: $x \mapsto 4x^2 + x + 1$ ;

2. g: $x \mapsto \dfrac{x^2 - 6x + 9}{x-3}$ ;

3. h: $x \mapsto \sqrt{x^2+4x}$ .

exercice 2

Indiquer parmi ces fonctions celles qui sont des fonctions polynômes. Donner alors leur degré.
a) $f(x) = (3x^2+1)(2x^2-5)$
b) $g(x) = \frac{x^2-5x}{x}$
c) $h(x) = \frac{x^3+3x}{x^2+3}$

exercice 3

Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, on ait:
$3x^3-2x^2+4x-5 = (x-1)(ax^2+bx+c)$

exercice 4

Factorisation de polynômes.
On donne une fonction polynôme $f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6$ .
    a) Calculer $f(1)$ .
    b) On peut factoriser $f(x)$ .
Sachant que $f(x) = (x - 1)g(x)$ .
Avec $g$ , polynôme du troisième degré : $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ .
Calculer $g(x)$ par identification.
    c) Calculer $g(3)$ . Conclusion ?
    d) Factoriser encore $f(x)$ .

exercice 5

1. Soit p: x $\mapsto$ x³ - 3x² - 13x +15.
Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation p(x) = 0.

2. Soit p: x $\mapsto$ 4x³ - 8x² - 47x + 105. Calculer p(3) et en déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l'équation p(x)=0.

3. Même travail avec p: x $\mapsto$ x³ + 7x² + 12x + 10 et p(-5).

4. Soit p: x $\mapsto$ 9x⁴ - 12x³ - 83x² - 50x - 8. Calculer p(4) et en déduire une première factorisation de p(x). Chercher une racine évidente de p, puis résoudre p(x) = 0.

exercice 6

1. Soit $p(x)=x^3-3x^2-13x+15.$
Chercher une racine évidente de p puis résoudre dans R l'équation $p(x)=0$

2. Soit $p(x)=4x^3-8x^2-47x+105$ .
Calculer $p(3)$ et en déduire dans R la résolution de l'équation $p(x)=0$ .

3. Même travail avec $p(x)=x^3+7x^2+12x+10$ et le calcul de $p(-5)$ .

4. Soit $p(x)=9x^4-12x^3-83x^2-50x-8$ .
Calculer $p(4)$ et en déduire une première factorisation de $p(x)$ . Chercher une racine évidente de p, puis résoudre dans R l'équation $p(x)=0$ .

Correction

exercice 1

f(x) est la somme de 3 monômes ; c'est une fonction polynôme de degré 2.
g(x) n'est pas définie sur R ; en effet 3 n'a pas d'image ; g n'est donc pas une fonction polynôme.
$h(x) = (x²+4x)^{\frac 1 2}$ ; l'exposant 1/2 n'est pas un entier naturel ; h n'est pas une fonction polynôme

exercice 2

a) $f(x)=(3x^2+1)(2x^2-5) =6x^4 -13x^2-5$
$f$ est une fonction polynôme de degré 4

b) $g(x)=\dfrac{x^2-5x}{x} =\dfrac{x(x-5)}x}$ , définie sur $\mathbb{R}^*$
$g$ n'est pas une fonction polynôme, car g n'est pas définie pour $x=0$ .

c) $h(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2+3}=\dfrac{x(x^2+3)}{x^2+3}=x$ définie sur $\mathbb{R}$
$h$ est une fonction polynôme de degré 1

exercice 3

Deux polynômes P et Q sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux
Développons : $(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$
Pour tout $x$ réel, $3x^3-2x^2+4x-5=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$
équivaut à dire : $\begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=(-a+b) \\4=(-b+c)\\-c=-5\end{array} & \left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=-a+b \\4=-b+c\\c=5\end{array} & \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b=-2+3 \\b=-4+5\\c=5\end{array} & \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b =1\\c=5\end{array} \end{array}$
Conclusion : $3x^3-2x^2+4x-5=(x-1)(3x^2+x+5)$

exercice 4

$f(x) = x^4 - 3x³ + x² - 5x + 6$
a. $f(1) = 1-3+1-5+6 = 0$

b. $f(x) = (x-1) g(x) = (x-1)(ax³ + bx² + cx + d)$ déterminons les coefficients de g(x)
$f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx - ax³ - bx² - cx - d = ax^4 + (b-a)x³ + (c-b)x² + (d-c)x ?d$
par identification des coefficients, on établit le système à résoudre :
$\left\lbrace\begin{matrix} a & = &1 \\ b-a& = & -3\\ c-b& = & 1\\ d-c& = &-5\\ -d&= & 6 \end{matrix}\right.$
par la résolution du système, on trouve $a=1 \quad b = -2 \quad c= -1 \quad d = -6$
ainsi $g(x) = x³ - 2x² - x - 6$

c. $g(3) = 27-18-3-6 = 0 \quad \text{ donc } 3 \text{ est racine de } g$
il existe donc une fonction h telle que $h(x)= a'x²+b'x+c'$ , de degré 2, avec $g(x) = (x-3)h(x)$
par identification, on trouve $a' = 1\;,\; b' = 1\;, \;c' = 2$ , soit $h(x) = x²+x+2$
h n'a pas de racine (discriminant $\Delta < 0$ ), on ne peut pas factoriser davantage g(x)

d. d'où la factorisation $f(x) = (x-1) g(x) = (x-1)(x-3)h(x) = (x-1)(x-3)( x²+x+2)$

exercice 5

$p(x) = x^4 +ax³ - 2x² + bx - 3$ avec a et b réels représentant les coefficients manquants.

$1 \text{ racine de }p\Longleftrightarrow (-1)^4 + a(-1)³ - 2(-1)² + b(-1) - 3 = 0 \Longleftrightarrow 1 - a - 2 - b - 3 = 0 \\ \phantom{1 \text{ racine de }p} \Longleftrightarrow a+b = - 4 \quad \text{ (première équation)}$

$3 \text{ racine de }p\Longleftrightarrow (3)^4 + a(3)³ - 2(3)² + b(3) - 3 = 0 \Longleftrightarrow 81+27a-18+3b-3= 0 \\ \phantom{1 \text{ racine de }p }\Longleftrightarrow 27a+3b=-60 \Longleftrightarrow 9a+b = - 20 \quad \text{ (deuxième équation)}$

d'où le système à résoudre $\left\lbrace\begin{matrix} a+b& =&-4 \\ 9a+b& =&-20 \end{matrix}\right.$
dont l'unique solution est le couple (-2 ;-2)

ainsi $p(x) = x^4 - 2x³ - 2x² - 2x - 3$

exercice 6

1. $p(x) = x³ - 3x² - 13x + 15$
la somme des coefficients est égale à 1, donc 1 est racine évidente : p(1)=0
il existe une fonction q avec $q(x) = ax²+bx+c$ , telle que $p(x) = (x-1)q(x)$ déterminons les réels a, b et c
$(x-1)q(x) = (x-1) (ax²+bx+c) = ax³ + bx² + cx - ax² - bx - c = ax³ + (b-a)x² + (c-b)x - c$
par identification des coefficients, on établit le système :
$\left\lbrace\begin{matrix} a& =&1 \\ b-a& = & -3\\ c-b& = &-13 \\ -c & = & 15 \end{matrix}\right.$

après résolution, on trouve a = 1, b = -2, et c = -15

ainsi, $p(x) = (x-1)(x²-2x-15)$
résolvons x²-2x-15 = 0 par discriminant : $\Delta = b² - 4ac = 4 ? 4\times 1\times (-15) = 64 =8²$ ;
on obtient 2 racines distinctes $\dfrac{2-8}{2}=-3 \quad \text{et}\quad \dfrac{2+8}{2}=5$
une factorisation de $x²-2x-15 \text{ est } (x+3)(x-5)$

$p(x) = 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x²-2x-15)=0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+3)(x-5)=0 \Longleftrightarrow x=1 \text{ ou } x=-3 \text{ ou } x=5$
L'ensemble solution est $S=\lbrace -3 ; 1 ; 5 \rbrace$

2. $p(x) = 4x³ - 8x² - 47x + 105$
p(3) = 0 ; 3 est donc racine de p
il existe donc une fonction q avec $q(x) = ax²+bx+c$ , telle que $p(x) = (x-3)q(x)$
déterminons les réels a, b et c, etc.
selon la même méthode détaillée au 1), on arrive à la factorisation $p(x) = (2x+7)(2x-5)(x-3)$
l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est $S = \lbrace-3/2 ; 5/2 ; 3\rbrace$

3. $p(x) = x³ + 7x² + 12x + 10$
p(-5) = 0 ; 5 est donc racine de p
il existe donc une fonction q avec $q(x) = ax²+bx+c$ , telle que $p(x) = (x+5)q(x)$
déterminons les réels a, b et c, etc. (cf corrigé du 1) on trouve $q(x) = x²+2x+2$
Résolvons q(x) = 0 ; $\Delta <0$ donc pas de racine ; q(x) n'est pas factorisable
l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est donc $S = \lbrace-5\rbrace$

4. $p(x) = 9x^4 - 12 x³ -83x² - 50x -8$
p(4) = 0 donc 4 est racine de p.
racine évidente : -2
puis même méthode que pour 1 , 2, 3
l'ensemble des solutions de l'équation p(x)=0 est $S =\lbrace{-2 ; -1/3 ; 4\rbrace$

Publié par malou/carita le 12-02-2021

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