exercice 1
Calculer x
1² + x
2² et x
13 + x
23
où x
1 et x
2 sont les deux racines de ax² + bx + c.
exercice 2
Résoudre dans
le système :
En déduire les solutions du système :
exercice 3
La somme des âges de deux amis est 53 ans. Dans cinq ans, le produit de leurs âges sera 990.
Quels sont leurs âges ?
exercice 4
Somme et produit des racines
1. Résoudre mentalement les équations suivantes :
a) 3x² + 7x - 10 = 0
b) 2x² + 9x + 7 = 0
2. Vérifier que 2 est racine de l'équation : x² + 11x - 26 = 0.
Quelle est l'autre racine ?
3. Écrire une équation du second degré admettant les nombres 3 et -5 pour racines.
4. Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? si oui, les calculer.
exercice 1
on sait que
(identité remarquable), d'où
or,
et
étant les racines du trinôme, on a :
donc
par ailleurs, on sait que
ainsi,
exercice 2
1)
Résolution du système
on pose et résout l'équation x
2 - Sx + P = 0,
soit
on vérifie rapidement : il ne s'agit pas d'une identité remarquable, pas de racine évidente,
pas de factorisation évidente non plus :
on va résoudre à l'aide du discriminant.
donc deux racines distinctes.
vérification : la somme des 2 racines est 15; leur produit est 56.
on conclut : l'ensemble des solutions du système est S={(7,8);(8,7)}.
2)
En déduire les solutions de
ce système est équivalent à
en reprenant les couples de solutions du système précédent,
on en déduit que (7,-8) et (8,-7) sont solutions.
vérification : 7-(-8) = 15 et 7 x (-8)=-56
et 8-(-7) = 15 et 8 x (-7)=-56
exercice 3
définition des variables :
soit x et y les âges actuels des 2 amis, ce que l'on cherche.
dans 5 ans, leur âge respectif sera donc x+5 et y+5.
l'énoncé permet de poser le système d'équations suivant :
les couples de solutions du système sont solutions de l'équation
donc deux racines distinctes.
vérification :
aujourd'hui : 25+28 = 53 ans
dans 5 ans : 30 x 33 = 990 ans
exercice 4
1. Résoudre mentalement les équations suivantes :
a)
b)
2. Vérifier que 2 est racine de l'équation
On remplace
par 2, si le polynôme s'annule 2 est bel et bien une racine de l'équation ci-dessus.
Quelle est l'autre racine ?
Dans le cas d'un polynôme du second degrès de type
, le produit des deux racines et de
vaut
, autrement dit :
.
Ici on a
, par conséquent
3. Écrire une équation du second degrès admettant les nombres 3 et -5 pour racines.
Le polynôme recherché admet pour racines
et
, il est alors factorisable en
, avec
un autre polynôme de degrès Deg(P)-2 . Ici comme le polynôme P est de degrès 2, on peut le mettre sous la forme :
, soit
. Par exemple avec
, on a :
. Et 3 et -5 sont des racines évidentes de cette équation.
4. Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? Si oui, les calculer.
On doit résoudre le système d'équations suivant :
On isole une des deux variables de la deuxième équation, puis on la remplace dans la première, ce qui aboutit à une équation du deuxième degrès que l'on pourra résoudre :
On remplace
dans la première ligne du système :
On remarque que ce polynôme aurait bien pu admettre comme variable
, après avoir effectuer le discriminant, on aura 2 racines qui correspondront à
et
(peu importe).
On en conclut que le couple
est associé au couple de solution (-5 ; 14).