Fiche de mathématiques
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Second degré : somme et produit de racines

(exercices relatifs à cette fiche de cours)

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exercice 1

Calculer x1² + x2² et x13 + x23
où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c.



exercice 2

Résoudre dans \mathbb{R} le système : \left \lbrace \begin{array}{l} x+y=15 \\ xy=56 \\ \end{array} \right.
En déduire les solutions du système : \left \lbrace \begin{array}{l} x-y=15 \\ xy=-56 \\ \end{array} \right.



exercice 3

La somme des âges de deux amis est 53 ans. Dans cinq ans, le produit de leurs âges sera 990.
Quels sont leurs âges ?



exercice 4

Somme et produit des racines
1. Résoudre mentalement les équations suivantes :
    a) 3x² + 7x - 10 = 0
    b) 2x² + 9x + 7 = 0

2. Vérifier que 2 est racine de l'équation : x² + 11x - 26 = 0.
Quelle est l'autre racine ?

3. Écrire une équation du second degré admettant les nombres 3 et -5 pour racines.

4. Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? si oui, les calculer.







exercice 1

on sait que (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \white{ww} (identité remarquable), d'où x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2  - 2x_1x_2


or,  x_1 et  x_2 étant les racines du trinôme, on a : x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} \quad et \quad x_1\times x_2 = \dfrac{c}{a}
donc x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2c}{a}

par ailleurs, on sait que (x_1 + x_2)^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)

ainsi, \quad x_1^3 + x_2^3  = \left(\dfrac{-b}{a}\right)\left(\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2c}{a}- \dfrac{c}{a}\right)  = \left(\dfrac{-b}{a}\right)\left(\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{3c}{a}\right) =  \dfrac{-b^3}{a^3} + \dfrac{3bc}{a^2}



exercice 2


1)

Résolution du système  $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + y & 15 \\ x \times y & 56 \end{array} \right


on pose et résout l'équation x2 - Sx + P = 0, soit x² - 15x + 56 = 0 \quad\quad\quad  a = 1\quad   b = -15 \quad  c = 56

on vérifie rapidement : il ne s'agit pas d'une identité remarquable, pas de racine évidente, pas de factorisation évidente non plus :
on va résoudre à l'aide du discriminant.

\Delta  = b^2 - 4ac = 15^2 - 4\times1\times56 = 1 > 0 donc deux racines distinctes.

x_ 1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{15-1}{2} = 7\quad\quadet \quad\quad x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{15+1}{2} = 8

vérification : la somme des 2 racines est 15; leur produit est 56.
on conclut : l'ensemble des solutions du système est S={(7,8);(8,7)}.

2)

En déduire les solutions de  $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x - y & \quad15 \\ x \times y &\quad -56 \end{array} \right
ce système est équivalent à  $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + (-y) & \quad15 \\ x \times (-y) &\quad -56 \end{array} \right

en reprenant les couples de solutions du système précédent, on en déduit que (7,-8) et (8,-7) sont solutions.

vérification : 7-(-8) = 15 et 7 x (-8)=-56
et 8-(-7) = 15 et 8 x (-7)=-56



exercice 3


définition des variables :
soit x et y les âges actuels des 2 amis, ce que l'on cherche.
dans 5 ans, leur âge respectif sera donc x+5 et y+5.
l'énoncé permet de poser le système d'équations suivant :  $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + y \quad & \quad 53 \\ (x+5)(y+5)\quad & \quad990 \end{array} \right

 $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + y \quad & \quad 53   \\ xy + 5x + 5y + 25\quad & \quad990 \end{array} \right

 $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + y \quad & \quad 53   \\ xy + 5(x+y) \quad & \quad965 \end{array} \right

 $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + y \quad & \quad 53   \\ xy + 5\times 53 \quad & \quad965 \end{array} \right

 $\left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x + y \quad & \quad 53   \\ x\timesy \quad & \quad700 \end{array} \right

les couples de solutions du système sont solutions de l'équation x^2 - 53x + 700 = 0 \quad\quad    a = 1 \quad  b = -53  \quad c = 700

\Delta  = b^2 - 4ac = 53^2 - 4\times1\times700 = 9 = 3^2 > 0 donc deux racines distinctes.

x_ 1= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{53-3}{2} = 25\quad\quadet  \quad\quad x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} = \dfrac{53+3}{2} = 28

vérification :
aujourd'hui : 25+28 = 53 ans
dans 5 ans : 30 x 33 = 990 ans



exercice 4

1. Résoudre mentalement les équations suivantes :
a) 3x^2+7x-10=0
\boxed{x=1}
b) 2x^2+9x+7=0
\boxed{x=-1}

2. Vérifier que 2 est racine de l'équation x^2+11x-26=0
On remplace x par 2, si le polynôme s'annule 2 est bel et bien une racine de l'équation ci-dessus.
(2)^2+11\times2 -26 \\ =4+22-26 \\ =0
Quelle est l'autre racine ?
Dans le cas d'un polynôme du second degrès de type ax^2+bx+c , le produit des deux racines et de a vaut c , autrement dit : \alpha_{1} \times \alpha_{2} \times a = c .
Ici on a \alpha_{1}=2, a=1, c=-26, par conséquent \boxed{\alpha_{2}=-13}

3. Écrire une équation du second degrès admettant les nombres 3 et -5 pour racines.
Le polynôme recherché admet pour racines a et b, il est alors factorisable en P(x)=(x-a)(x-b)g(x) , avec g(x) un autre polynôme de degrès Deg(P)-2 . Ici comme le polynôme P est de degrès 2, on peut le mettre sous la forme : k(x-3)(x+5) , soit kx^2+2kx-15k=0 . Par exemple avec k=1, on a : x^2+2x-15=0 . Et 3 et -5 sont des racines évidentes de cette équation.

4. Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? Si oui, les calculer.
On doit résoudre le système d'équations suivant :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x+y & 9  \\  x\times y & -70 \\ \end{array} \right.
On isole une des deux variables de la deuxième équation, puis on la remplace dans la première, ce qui aboutit à une équation du deuxième degrès que l'on pourra résoudre :
x\times y = -70 \\ x=\dfrac{-70}{y} On remplace x dans la première ligne du système :
\dfrac{-70}{y}+y=9 \\ \dfrac{y^2-70}{y}=9 \\ y^2-70=9y \\ y^2-9y-70=0
On remarque que ce polynôme aurait bien pu admettre comme variable x , après avoir effectuer le discriminant, on aura 2 racines qui correspondront à x et y (peu importe).
\Delta = b^2-4ac \\ \Delta = (-9)^2-4(1\times -70) \\ \Delta=81+280 \\ \Delta=361
\alpha_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \alpha_{1}=\dfrac{9-19}{2}
\boxed{\alpha_{1}=-5}
\alpha_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \alpha_{2}=\dfrac{9+19}{2}
\boxed{\alpha_{2}=14}
On en conclut que le couple (x;y) est associé au couple de solution (-5 ; 14).

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