on pose et résout l'équation x2 - Sx + P = 0,
soit
on vérifie rapidement : il ne s'agit pas d'une identité remarquable, pas de racine évidente,
pas de factorisation évidente non plus : on va résoudre à l'aide du discriminant.
donc deux racines distinctes.
vérification : la somme des 2 racines est 15; leur produit est 56.
on conclut : l'ensemble des solutions du système est S={(7,8);(8,7)}.
2)
En déduire les solutions de
ce système est équivalent à
en reprenant les couples de solutions du système précédent,
on en déduit que (7,-8) et (8,-7) sont solutions.
vérification : 7-(-8) = 15 et 7 x (-8)=-56
et 8-(-7) = 15 et 8 x (-7)=-56
exercice 3
définition des variables :
soit x et y les âges actuels des 2 amis, ce que l'on cherche.
dans 5 ans, leur âge respectif sera donc x+5 et y+5.
l'énoncé permet de poser le système d'équations suivant :
les couples de solutions du système sont solutions de l'équation
donc deux racines distinctes.
vérification :
aujourd'hui : 25+28 = 53 ans
dans 5 ans : 30 x 33 = 990 ans
exercice 4
1.Résoudre mentalement les équations suivantes : a) b)
2.Vérifier que 2 est racine de l'équation On remplace par 2, si le polynôme s'annule 2 est bel et bien une racine de l'équation ci-dessus.
Quelle est l'autre racine ? Dans le cas d'un polynôme du second degrès de type , le produit des deux racines et de vaut , autrement dit : .
Ici on a , par conséquent
3.Écrire une équation du second degrès admettant les nombres 3 et -5 pour racines. Le polynôme recherché admet pour racines et , il est alors factorisable en , avec un autre polynôme de degrès Deg(P)-2 . Ici comme le polynôme P est de degrès 2, on peut le mettre sous la forme : , soit . Par exemple avec , on a : . Et 3 et -5 sont des racines évidentes de cette équation.
4.Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 9 et pour produit -70 ? Si oui, les calculer. On doit résoudre le système d'équations suivant :
On isole une des deux variables de la deuxième équation, puis on la remplace dans la première, ce qui aboutit à une équation du deuxième degrès que l'on pourra résoudre :
On remplace dans la première ligne du système :
On remarque que ce polynôme aurait bien pu admettre comme variable , après avoir effectuer le discriminant, on aura 2 racines qui correspondront à et (peu importe).
On en conclut que le couple est associé au couple de solution (-5 ; 14).
Publié par malou/carita
le
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le système : 
^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \white{ww})
(identité remarquable), d'où
^2 - 2x_1x_2)
et 
étant les racines du trinôme, on a :
^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2))
\left(\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2c}{a}- \dfrac{c}{a}\right) = \left(\dfrac{-b}{a}\right)\left(\dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{3c}{a}\right) = \dfrac{-b^3}{a^3} + \dfrac{3bc}{a^2} )
donc deux racines distinctes.
 & \quad15 \\ x \times (-y) &\quad -56 \end{array} \right)
(y+5)\quad & \quad990 \end{array} \right)
 \quad & \quad965 \end{array} \right)
donc deux racines distinctes.
par 2, si le polynôme s'annule 2 est bel et bien une racine de l'équation ci-dessus.
^2+11\times2 -26 \\ =4+22-26 \\ =0)
, le produit des deux racines et de 
vaut 
, autrement dit : 
.
, par conséquent 
, il est alors factorisable en =(x-a)(x-b)g(x))
, avec )
un autre polynôme de degrès Deg(P)-2 . Ici comme le polynôme P est de degrès 2, on peut le mettre sous la forme : (x+5))
, soit 
. Par exemple avec 
, on a : 
. Et 3 et -5 sont des racines évidentes de cette équation.
On remplace 
(peu importe).
^2-4(1\times -70) \\ \Delta=81+280 \\ \Delta=361)
)
est associé au couple de solution (-5 ; 14).
Voir la correction
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