Fiche de mathématiques
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Polynômes et fractions rationnelles

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exercice 1

Soit f la fonction définie par : f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} - \dfrac{3}{x^2 + x - 2}.

1. Déterminer l'ensemble de définition de f.

2. Factoriser chacun des polynômes x^2 - 1 \text{ et } x^2 + x - 2.

3. a) Déterminer un dénominateur commun aux fractions rationnelles \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} et \dfrac{3}{x^2 + x - 2} puis écrire f(x) à l'aide d'une fraction rationnelle, notée \dfrac{g(x)}{h(x)}.
    b) Déterminer une racine simple du polynôme g(x).
    c) Simplifier l'écriture de f(x) et résoudre l'équation f(x) = 0.



exercice 2

Quatre cubes ont respectivement pour arêtes, mesurées en centimètres, x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2, \hspace{10pt} x + 3, où x est un nombre entier naturel.
Déterminer x pour que le contenu des trois cubes d'arêtes x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2 remplisse exactement le cube d'arête x + 3.



exercice 1

1. f n'est pas définie si les dénominateurs s'annulent, c'est-à-dire : x^2 - 1 = 0 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x^2 + x - 2 = 0
x^2 - 1 = 0 \Longleftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Longleftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = -1
x^2 + x - 2 = 0
Calculons le discriminant : \Delta = b² - 4ac = 1 - 4 × (-2) = 9
Le polynôme admet donc deux racines : x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt9}{2} = -2 et x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt9}{2} = 1
Donc les deux valeurs interdites liées au polynôme x^2 + x - 2 sont -2 et 1.
D'où : Df = \mathbb{R} \backslash \lbrace -2; -1; 1 \rbrace

2. D'après la question précédente, nous pouvons en déduire :
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

3. a) Le dénominateur commun aux fractions rationnelles \dfrac{2x^2}{x^2-1} et \dfrac{3}{x^2+x-2} est donc : (x - 1)(x + 1)(x + 2), donc f s'écrit également :
f(x) = \dfrac{2x^2(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} - \dfrac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^2(x+2) - 3(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^3+4x^2-3x-3}{(x-1)(x+1)(x+2)}
Nous avons donc : g(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 3 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} h(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)

3. b) Une racine évidente de g est 1, car 2 + 4 - 3 - 3 = 0
g(x) est donc factorisable par (x - 1) et, comme l'écriture polynômiale est unique, g peut s'écrire : g(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)
Déterminons a, b et c :
(x - 1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c\\ = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c
Identifions les coefficients à l'aide des équations suivantes :
a = 2
b - a = 4 \Longleftrightarrow b = 4 + a \Longleftrightarrow b = 6
-c = -3 \Longleftrightarrow c = 3
Vérifions : c - b = 3 - 6 = -3
D'où : Pour tout réel x, g(x) = (x - 1)(2x^2 + 6x + 3)

3. c) On peut donc en déduire que f s'écrit :
Pour tout réel x appartenant à Df, f(x) = \dfrac{(x - 1)(2x^2 + 6x + 3)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}, soit f(x) = \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x + 1)(x + 2)}

Résolvons l'équation f(x) = 0 :
f(x) = 0 \Longleftrightarrow \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x+1)(x+2)} = 0
L'ensemble de définition de cette équation est \mathbb{R} \backslash \lbrace -1; -2 \rbrace.
2x^2 + 6x + 3 = 0 \Longleftrightarrow x^2 + 3x + \dfrac{3}{2} = 0
Utilisons la méthode du discriminant : \Delta = b² - 4ac = 9 - 4 × 1 × \dfrac{3}{2} = 9 - 6 = 3
Les deux racines sont donc : x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-3-\sqrt3}{2} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-3+\sqrt3}{2}.
Elles appartiennent toutes deux à l'ensemble de définition de l'équation.
D'où : les solutions de l'équation f(x) = 0 sont : \left \lbrace \dfrac{-3-\sqrt3}{2} ; \hspace{5pt} \dfrac{-3+\sqrt3}{2} \right \rbrace



exercice 2

Le volume d'un cube de coté x a pour valeur x^3.
Additionnons les volumes des trois cubes ayant pour arêtes x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2 et appelons V ce volume :
\text{V} = x^3 + (x + 1)^3 + (x + 2)^3\\ \text{V} = x^3 + (x^2 + 2x + 1)(x + 1) + (x^2 + 4x + 4)(x + 2)\\ \text{V} = x^3 + x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 + x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 8x + 4x + 8\\ \text{V} = 3x^3 + 9x^2 + 15x + 9

Calculons le volume V' du cube ayant pour arête x + 3 :
\text{V'} = (x + 3)^3\\ \text{V'} = (x^2 + 6x + 9)(x + 3)\\ \text{V'} = x^3 + 3x^2 + 6x^2 + 18x + 9x + 27\\ \text{V'} = x^3 + 9x^2 + 27x + 27

On recherche x tel que V = V', soit :
3x^3 + 9x^2 + 15x + 9 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27\\ 2x^3 - 12x - 18 = 0\\ x^3 - 6x - 9 = 0 (1)
3 est une racine évidente de x^3 - 6x - 9, donc x^3 - 6x - 9 s'écrit également (x - 3)(ax^2 + bx + c) car l'écriture polynômiale est unique.
Développons (x - 3)(ax^2 + bx + c) :
(x - 3)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - 3ax^2 - 3bx - 3c = ax^3 + (b - 3a)x^2 + (c - 3b) - 3c
Identifions les coefficients :
a = 1
b - 3a = 0 \Longleftrightarrow b = 3
-3c = -9 \Longleftrightarrow c = 3
c - 3b = 3 - 3 × 3 = -6
On en déduit : x^3 - 6x - 9 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3)
Factorisons x^2 + 3x + 3 par la méthode du discriminant :
\Delta = b² - 4ac = 9 - 4 × 1 × 3 = -3
\Delta étant négatif, x^2 + 3x + 3 est toujours du signe de a : positif. Ce polynôme n'admet pas de racine réelle.
(1) peut s'écrire : (x - 3)(x^2 + 3x + 3) = 0,
ce qui équivaut à x = 3.
Pour que le contenu des trois cubes d'arêtes x, \hspace{10pt} x + 1, \hspace{10pt} x + 2 remplisse exactement le cube d'arête x + 3, il faut que x soit égal à 3.
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