Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths Tale > Nombres complexesFORME ALGEBRIQUE D'UN COMPLEXE ACTIVITES RAPIDES -
Fiche relue en 2016
1. Par le calcul, démontrer que
est un réel et que 
est un imaginaire pur.
2. Pouvait-on déterminer ce résultat sans effectuer ces calculs ? Si oui, comment ?
, les équations suivantes :
^2)
Résoudre dans l'équation z+2-\sqrt{3}=0)
(3+2i)+(-1-3i)(3-2i)}{(3-2i)(3+2i)})
(3+2i)-(-1-3i)(3-2i)}{(3-2i)(3+2i)})
2. On remarque que}=\dfrac{\overline{-1+3i}}{\overline{3-2i}} = \dfrac{-1-3i}{3+2i}=Z')
D'après les propriétés sur le conjugué d'un nombre complexe, on a :
 \text{ et } Z-Z'=Z-\overline{Z}=2iIm(Z))
Or(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\dfrac{-3-2i+9i-6}{13}=\dfrac{-9+7i}{13})
donc=\dfrac{-18}{13} \text{ et } 2Im(Z)=\dfrac{14i}{13})
et on retrouve bien les résultats obtenus au 1. par le calcul.
^2=0\Leftrightarrow (z-2i)(z+2i)=0)
=0 \text{ ou } (z+2i)=0)
Conclusion : l'équation admet 2 solutions : 2i et -2i
Résolution de l'équation
Calcul du discriminant\times (-1)=4-20=-16=(4i)^2)
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées
Conclusion : l'équation
admet 2 solutions : 
Résolution de l'équation
Posons
. L'équation s'écrit alors 
On observe que 1 est une racine évidente et par conséquent(Z+5))
On observe alors que -5 est la seconde racine de l'équation
On a alors
Conclusion : l'équation admet 4 solutions : 
^2=1^2-2×1×\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3})
2. Résolution de l'équation
Le discriminant vaut^2-4×1×(2-\sqrt{3})=1-2\sqrt{3}+3-8+4\sqrt{3}=-4+2\sqrt{3})
or^2=4-2\sqrt{3} \text{ donc } -4+2\sqrt{3}=-(4-2\sqrt{3})=-(1-\sqrt{3})^2=(i(1-\sqrt{3}))^2)
donc)^2)
On déduit que l'équation admet deux racines complexes conjuguées
-i(1-\sqrt{3})}{2} \text{ et } z_2=\dfrac{(-1+\sqrt{3})+i(1-\sqrt{3})}{2})
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le
FORME ALGEBRIQUE D'UN COMPLEXE ACTIVITES RAPIDES -
LOT 3
exercice 1
On considère les deux nombres complexes1. Par le calcul, démontrer que
2. Pouvait-on déterminer ce résultat sans effectuer ces calculs ? Si oui, comment ?
exercice 2
Résoudre dansexercice 3
Développer et réduireRésoudre dans
exercice 1
1. On considère les deux nombres complexes2. On remarque que
D'après les propriétés sur le conjugué d'un nombre complexe, on a :
Or
donc
et on retrouve bien les résultats obtenus au 1. par le calcul.
exercice 2
Résolution de l'équationConclusion : l'équation
Résolution de l'équation
Calcul du discriminant
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées
Conclusion : l'équation
Résolution de l'équation
Posons
On observe que 1 est une racine évidente et par conséquent
On observe alors que -5 est la seconde racine de l'équation
On a alors
Conclusion : l'équation
exercice 3
1.2. Résolution de l'équation
Le discriminant vaut
or
donc
On déduit que l'équation
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