Rappeler les formules qu'il faut connaître pour pouvoir résoudre des équations du second degré.
exercice 2
Sans utiliser de discriminant, résoudre les équations et inéquations suivantes:
a) b) c)
Cours en vidéo :
exercice 3
Résoudre dans les équations suivantes:
a) b) c)
exercice 4
Résoudre dans les équations suivantes :
a)2x2 + x - 15 = 0
b)-x2 + x + 2 = 0
c)x2 - x + 5 = 0
d)5x2 + 3x + 2 = 0
exercice 5
Discriminant réduit Soit l'équation ax² + 2b'x + c = 0 et soit ' = b'² - ac.
En utilisant les résultats de cours, discuter suivant le signe de ' le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de ', a et b'.
exercice 6
Résoudre dans les équations :
7x² - 12x + 5 = 0 et 7x² + 12x + 5 = 0.
Comparer les solutions des deux équations.
Ne pouvait-on pas prévoir ce résultat ?
exercice 7
Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 509.
exercice 8
Résoudre dans les équations suivantes :
1. x4 - 2x² - 8 = 0 ;
2. 3x4 - 11x² + 6 = 0 ;
3. 2 x + 5 - 3 = 0 ;
4..
exercice 9
Le nombre d'or est la solution positive de l'équation ; on le note .
1. Déterminer la valeur exacte de .
2. Montrer que et que .
exercice 10
Équation du second degré Résoudre dans les équations suivantes :
1. -x² + 6x -10 = 0
2. x² + 4x - 21 = 0
3. 9x² + 6x + 1 = 0
exercice 11
Factorisation Etudier le signe du discriminant puis factoriser si possible les expressions suivantes
1. x² + 4x -21
2. 8x² + 8x + 2
3. -3x² + 7x -8
exercice 12
Polynômes et fractions rationnelles
Soit la fonction définie par : .
1. Déterminer l'ensemble de définition de .
2. Factoriser chacun des polynômes .
3.a) Déterminer un dénominateur commun aux fractions rationnelles et puis écrire à l'aide d'une fraction rationnelle, notée .
b) Déterminer une racine simple du polynôme g(x).
c) Simplifier l'écriture de et résoudre l'équation .
exercice 13
Résoudre dans l'équation suivante : indication : on pourra poser
exercice 14
Résoudre dans l'équation suivante : indication : on pourra poser
a)
.
On factorise par . On obtient :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
b)
. On factorise :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
c)
. On regroupe tout dans un seul membre :
. On factorise par Dans un premier temps, on cherche les valeurs qui annulent le produit de facteurs.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
Un trinôme est du signe de a à l'extérieur des solutions.Ici :
donc si Remarque : la résolution de pouvait se faire également à l'aide d'un tableau de signes (voir programme de seconde)
exercice 3
a)
Ce polynôme admet une racine évidente Or le produit des racines vaut d'où la deuxième solution est : et
b)
donc l'équation proposée n'admet pas de solution.
c)
Le discriminant est égal à :
On obtient :
que l'on peut simplifier.
exercice 4
Pour résoudre de telles équations du second degré, je calcule les discriminants :
a)2x2 + x - 15 = 0
= b2 - 4ac = 1 - 4 × 2 × (-15) = 121 = 112 Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
D'où :
b)-x2 + x + 2 = 0
= 12 - 4 × (-1) × 2 = 9 = 32 Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
D'où :
c)x2 - 2 x + 5 = 0
On reconnait une identité remarquable. Cela s'écrit (x-)²=0
Pour cet exemple, le calcul du discriminant était donc peu indiqué. On l'aurait trouvé nul bien entendu.
D'où :
d)5x2 + 3x + 2 = 0
= 32 - 4 × 5 × 2 = -31
Le discriminant étant négatif, l'équation n'admet pas de solution dans .
D'où :
exercice 5
Soit l'équation et soit On pose .
Résoudre (E) revient à résoudre l'équation dont le discriminant vaut
et sont donc de même signe.
Si alors (E) n'admet pas de solution
Si alors (E) admet une solution double Si alors (E) admet deux solutions distinctes
exercice 6
1. On a deux racines distinctes
d'où
2. , toujours deux racines distinctes
d'où
on constate que les solutions les discriminants sont égaux,
ce qui est sans surprise puisque l'on y fait intervenir le carré de b : 12² = (-12)²
concernant les racines :
Pour les deux équations, le produit des racines était identique, et les sommes des racines étaient opposées.
A titre d'exercice, on pourrait démontrer ce constat dans le cas général c'est à dire pour des équations du type
, avec a, b et c réels.
exercice 7
soit n le second nombre entier : les 3 nombres s'écrivent donc n-1 ; n ; n+1
à la lecture de l'énoncé, on pose l'équation suivante :
soit
ce qui donne ou encore
On obtient : n = -13 ou n = 13
vérification :
(-14)² + (-13)² + (-12)² = 509 et
12² + 13² + 14² = 509. Les deux possibilités conviennent.
Conclusion : les entiers consécutifs sont donc : -14, -13, -12 d'une part et 12, 13, 14 d'autre part.
exercice 8
1. on effectue un changement de variable en posant ; on notera que résolvons par factorisation :
(-2 solution non retenue car négative)
d'où remarque : est une équation dite bicarrée : elle ne contient que des puissances paires de l'inconnue x.
2. on effectue un changement de variable en posant ; on notera que Utilisons le discriminant : d'où
deux racines distinctes toutes deux positives
d'où
3. (E) : .
on résout sur R\{-20/3 ; -4 ; 10/7 ; 5/3} (car on exclut les valeurs interdites)
on réduit au même dénominateur
une astuce pour alléger ce calcul littéral : le numérateur est la somme de 4 termes ;
on repère les facteurs communs, puis on factorise par exemple les 1er et 4ème termes d'une part,
puis les 2ème et 3ème termes d'autre part :
ainsi
Conclusion : S = {0 ; 40/9}
exercice 9
1. soit l'équation d'où 2 racines distinctes
2. a. est solution de l'équation ; donc ² - - 1 = 0, soit ² = + 1
2. b. on a établi précédemment que par ailleurs donc
exercice 10
1. donc l'équation n'admet aucune solution dans R
2. donc l'équation admet 2 solutions réelles
3. donc est un carré, le carré de et
exercice 11
1. > 0 donc x² + 4x - 21 se factorise en : (x + 7)(x - 3).
2. donc se factorise en :
3. < 0 donc -3x² + 7x -8 ne se factorise pas
exercice 12
1. n'est pas définie si les dénominateurs s'annulent, c'est-à-dire : Calculons le discriminant : = b² - 4ac = 1 - 4 × (-2) = 9
Le polynôme admet donc deux racines : et Donc les deux valeurs interdites liées au polynôme sont -2 et 1.
D'où : Df =
2. D'après la question précédente, nous pouvons en déduire :
3. a) Le dénominateur commun aux fractions rationnelles et est donc : , donc s'écrit également :
Nous avons donc :
3. b) Une racine évidente de g est 1, car 2 + 4 - 3 - 3 = 0
g() est donc factorisable par et, comme l'écriture polynômiale est unique, g peut s'écrire : Déterminons a, b et c :
Identifions les coefficients à l'aide des équations suivantes :
a = 2
b - a = 4 b = 4 + a b = 6
-c = -3 c = 3
Vérifions : c - b = 3 - 6 = -3
D'où : Pour tout réel ,
3. c) On peut donc en déduire que s'écrit :
Pour tout réel appartenant à Df, , soit
Résolvons l'équation = 0 : L'ensemble de définition de cette équation est .
Utilisons la méthode du discriminant : = b² - 4ac = 9 - 4 × 1 × = 9 - 6 = 3
Les deux racines sont donc : .
Elles appartiennent toutes deux à l'ensemble de définition de l'équation.
D'où : les solutions de l'équation = 0 sont :
exercice 13
Posons , donc équivaut à :
L'équation admet donc deux solutions :
et Or , donc :
ou
n'admet pas de solution dans .
équivaut à x = 2 ou x = -2
D'où :
exercice 14
Posons , équivaut à :
Calculons le discriminant : L'équation admet donc deux solutions :
et Or , donc :
ou
n'admet pas de solution dans .
équivaut à x = 81
D'où :
Publié par malou/carita
le
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