Fiche de mathématiques
> >
60CY2IkLIT8

Second degré : Equation dans R



(exercices relatifs à cette fiche de cours)

Partager :

exercice 1

Rappeler les formules qu'il faut connaître pour pouvoir résoudre des équations du second degré.



exercice 2

Sans utiliser de discriminant, résoudre les équations et inéquations suivantes:

a) 3x^2 + 5x = 0
b) 9x^2 - 1 = 0
c) (x+1)(x-2) > 5(x+1)^2



exercice 3

Résoudre dans R les équations suivantes:
a) x^2-6x+5 = 0
b) 2x^2+x+8 = 0
c) -x^2+6x+2 = 0



exercice 4

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :
    a)2x2 + x - 15 = 0
    b)-x2 + x + 2 = 0
    c)x2 - \sqrt{20} x + 5 = 0
    d)5x2 + 3x + 2 = 0



exercice 5

Discriminant réduit
Soit l'équation ax² + 2b'x + c = 0 et soit \delta' = b'² - ac.
En utilisant les résultats de cours, discuter suivant le signe de \delta' le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de \delta', a et b'.



exercice 6

Résoudre dans \mathbb{R} les équations :
7x² - 12x + 5 = 0       et       7x² + 12x + 5 = 0.

Comparer les solutions des deux équations.
Ne pouvait-on pas prévoir ce résultat ?



exercice 7

Trouver trois entiers consécutifs dont la somme des carrés est 509.



exercice 8

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :

1. x4 - 2x² - 8 = 0 ;

2. 3x4 - 11x² + 6 = 0 ;

3. 2 x + 5 \sqrt{\text{x}} - 3 = 0 ;

4. \dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{3x-5}=\dfrac{7}{10-7x}+\dfrac{3}{3x+20}.



exercice 9

Le nombre d'or est la solution positive de l'équation x^2 - x - 1 = 0 ; on le note \varphi.

1. Déterminer la valeur exacte de \varphi.

2. Montrer que \varphi^5  = 5\varphi + 3 et que \dfrac{1}{\varphi^2} = 2 - \varphi.



exercice 10

Équation du second degré
Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :

1. -x² + 6x -10 = 0

2. x² + 4x - 21 = 0

3. 9x² + 6x + 1 = 0



exercice 11

Factorisation
Etudier le signe du discriminant puis factoriser si possible les expressions suivantes

1. x² + 4x -21

2. 8x² + 8x + 2

3. -3x² + 7x -8



exercice 12

Polynômes et fractions rationnelles Soit f la fonction définie par : f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} - \dfrac{3}{x^2 + x - 2}.

1. Déterminer l'ensemble de définition de f.

2. Factoriser chacun des polynômes x^2 - 1 \text{ et } x^2 + x - 2.

3. a) Déterminer un dénominateur commun aux fractions rationnelles \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} et \dfrac{3}{x^2 + x - 2} puis écrire f(x) à l'aide d'une fraction rationnelle, notée \dfrac{g(x)}{h(x)}.
    b) Déterminer une racine simple du polynôme g(x).
    c) Simplifier l'écriture de f(x) et résoudre l'équation f(x) = 0.



exercice 13

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0
indication : on pourra poser X = x^2



exercice 14

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0
indication : on pourra poser X = \sqrt{x}





exercice 1


Voir cours

exercice 2


a) 3x^2+5x=0 .
On factorise par x. On obtient : x(3x+5)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
x=0  \text{ ou } 3x+5=0
x=0   \text{ ou  }  x=-\dfrac{5}{3}
S=\lbrace -\dfrac{5}{3}\;;\;0\rbrace

b) 9x^2-1=0. On factorise :
(3x-1)(3x+1)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
3x-1=0  \text{ ou }  3x+1=0
x=\dfrac{1}{3}  \text{ ou } x=-\dfrac{1}{3}
S=\lbrace -\dfrac{1}{3}\;;\;\dfrac{1}{3}\rbrace

c) (x+1)(x-2)>5(x+1)^2 . On regroupe tout dans un seul membre :
(x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0 . On factorise par (x+1)
(x+1)(x-2-5(x+1))>0
(x+1)(-4x-7)>0
Dans un premier temps, on cherche les valeurs qui annulent le produit de facteurs.
(x+1)(-4x-7)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
(x+1)=0   \text{ ou }   (-4x-7)=0
x=-1  \text{ ou  }  x=-\dfrac{7}{4}
Un trinôme ax^2+bx+c est du signe de a à l'extérieur des solutions.Ici : a=-4 <0
donc (x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0 si  -\dfrac{7}{4}<x<-1
S={]-\dfrac{7}{4};-1[}
Remarque : la résolution de (x+1)(-4x-7)>0 pouvait se faire également à l'aide d'un tableau de signes (voir programme de seconde)



exercice 3


a) x^2-6x+5=0
Ce polynôme admet une racine évidente x_1=1
Or le produit des racines vaut  \dfrac{c}{a}=5
d'où la deuxième solution est : x_2=5 et S=\lbrace1;5\rbrace  \\

b) 2x^2+x+8=0
\Delta <0  donc l'équation proposée n'admet pas de solution.
S=\emptyset

c) -x^2+6x+2=0
Le discriminant est égal à : \Delta=44
On obtient : x_1=\dfrac{-6-\sqrt{44}}{-2} \text{ ou }  x_2=\dfrac{-6+\sqrt{44}}{-2}  que l'on peut simplifier.
S=\lbrace 3-\sqrt{11}\;;\;3+\sqrt{11}\rbrace



exercice 4

Pour résoudre de telles équations du second degré, je calcule les discriminants :
a)2x2 + x - 15 = 0
\Delta = b2 - 4ac = 1 - 4 × 2 × (-15) = 121 = 112
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-11}{2\times2}=-3      x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+11}{2\times2}=\dfrac{5}{2}
D'où : \boxed{S = \left \lbrace -3 ; \dfrac{5}{2} \right \rbrace}

b)-x2 + x + 2 = 0
\Delta = 12 - 4 × (-1) × 2 = 9 = 32
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
x_1=\dfrac{-1-3}{-2}=2      x_2=\dfrac{-1+3}{-2}=-1
D'où : \boxed{S = \lbrace -1 ; 2 \rbrace}

c)x2 - 2\sqrt{5} x + 5 = 0
On reconnait une identité remarquable. Cela s'écrit (x-\sqrt{5})²=0
Pour cet exemple, le calcul du discriminant était donc peu indiqué. On l'aurait trouvé nul bien entendu.
D'où : \boxed{S = \lbrace \sqrt{5} \rbrace}

d)5x2 + 3x + 2 = 0
\Delta = 32 - 4 × 5 × 2 = -31
Le discriminant étant négatif, l'équation n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
D'où : \boxed{S = \emptyset}



exercice 5

Soit l'équation (E)\;:\;ax^2+2b'x+c=0 et soit \delta '=b'^2-ac
On pose b=2b'.

Résoudre (E) revient à résoudre l'équation ax^2+bc+c=0 dont le discriminant vaut
\Delta = b²-4ac=(2b')²-4ac=b'²-4ac=4(b'²-ac)=4\delta '
\Delta et \delta ' sont donc de même signe.

Si \delta ' < 0 alors (E) n'admet pas de solution
Si \delta ' = 0 alors (E) admet une solution double x_0=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{-2b'}{2a}=\dfrac {-b'}{a}
Si \delta ' > 0 alors (E) admet deux solutions distinctes

x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'-\sqrt{4\delta'}}{2a}=\dfrac{-2b'-2\sqrt{\delta'}}{2a}=\dfrac{-b'-\sqrt{\delta'}}{a}
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b'+\sqrt{\delta'}}{a}



exercice 6

1. 7x² - 12x + 5 = 0   \quad   \Delta = b²-4ac = 4 =2² On a deux racines distinctes
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)-2}{14}=\dfrac 5 7 \text{ et } x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)+2}{14}=1
d'où S = \lbrace5/7 ; 1\rbrace

2. 7x² + 12x + 5 = 0   \quad   \Delta = b²-4ac = 4 =2² , toujours deux racines distinctes
x_1'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12-2}{14}=-1\text{ et } x_2'=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12+2}{14}=\dfrac{-5}{7}
d'où S = \lbrace -1 ; - 5/7\rbrace

on constate que les solutions x_1  = -  x_2', \text{ et } x_2  = -  x_1'
les discriminants sont égaux, ce qui est sans surprise puisque l'on y fait intervenir le carré de b : 12² = (-12)²
concernant les racines :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)-2}{14}=-\dfrac{-12+2}{14}=-x_2'
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-12)+2}{14}=-\dfrac{-12-2}{14}=-x_1'
Pour les deux équations, le produit des racines était identique, et les sommes des racines étaient opposées.
A titre d'exercice, on pourrait démontrer ce constat dans le cas général c'est à dire pour des équations du type ax²-|b|x+c=0 \quad \text{et} \quad ax²+|b|x+c=0, avec a, b et c réels.



exercice 7

soit n le second nombre entier : les 3 nombres s'écrivent donc n-1 ; n ; n+1
à la lecture de l'énoncé, on pose l'équation suivante : (n-1)² + n² + (n+1)² = 509 soit n²-2n+1+n²+n²+2n+1 = 509 ce qui donne 3n² = 507 ou encore n² = 169 = 13²
On obtient : n = -13 ou n = 13

vérification :
(-14)² + (-13)² + (-12)² = 509 et 12² + 13² + 14² = 509. Les deux possibilités conviennent.
Conclusion : les entiers consécutifs sont donc : -14, -13, -12 d'une part et 12, 13, 14 d'autre part.



exercice 8

1. x^4 - 2x² - 8 = 0
on effectue un changement de variable en posant X = x² ; on notera que X\ge 0
x^4 - 2x² - 8 = 0 \Longleftrightarrow X² - 2X - 8 = 0
résolvons par factorisation :
X² - 2X - 8 = (X-1)² -1-8 = (X-1-3)(X-1+3) = (X-4)(X+2)
X² - 2X - 8 = 0 \Longleftrightarrow X=4 \text{ ou } X=-2 (-2 solution non retenue car négative)
X=4 \Longleftrightarrow x²=4 \Longleftrightarrow x = -2 \text{ ou } x = 2 d'où S = \lbrace-2 ;2\rbrace
\longrightarrow remarque : x^4 - 2x² - 8 = 0 est une équation dite bicarrée : elle ne contient que des puissances paires de l'inconnue x.

2. 3x^4 - 11x² + 6 = 0
on effectue un changement de variable en posant X = x² ; on notera que X\ge 0
 3x^4 - 11x² + 6 = 0  \Longleftrightarrow 3X² - 11X + 6 = 0
Utilisons le discriminant : \Delta = b²-4ac = 11² - 4\times3\times 6 = 49=7² d'où deux racines distinctes x_1=2/3 \text{ et } x_2=3 toutes deux positives
X = 2/3 \Longleftrightarrow  x² = 2/3 \Longleftrightarrow  x = \sqrt{\dfrac{2}{3}}  \text{ ou } x = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}
X = 3 \Longleftrightarrow x² = 3 \Longleftrightarrow x = -\sqrt 3  \text{ ou } \sqrt 3
d'où S = \left\lbrace -\sqrt 3 \;;\; -\sqrt{\dfrac{2}{3}}  \;;\;\sqrt{\dfrac{2}{3}} \; ;\; \sqrt 3 \right\rbrace

3. (E) : \dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{3x-5}=\dfrac{7}{10-7x}+\dfrac{3}{3x+20}.
on résout sur R\{-20/3 ; -4 ; 10/7 ; 5/3} (car on exclut les valeurs interdites)
on réduit au même dénominateur
\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{3}{3x-5}-\dfrac{7}{10-7x}-\dfrac{3}{3x+20}=0

\dfrac{(3x-5)(10-7x)(3x+20)-3(x+4)(10-7x)(3x+20)-7(x+4)(3x-5)(3x+20)-3(x+4)(3x-5)(10-7x)} {(x+4)(3x-5)(10-7x)(3x+20)}=0

\longrightarrow une astuce pour alléger ce calcul littéral : le numérateur est la somme de 4 termes ; on repère les facteurs communs, puis on factorise par exemple les 1er et 4ème termes d'une part,

{\red{(3x-5)(10-7x)}}(3x+20)-3(x+4){\red{(3x-5)(10-7x)}}={\red{(3x-5)(10-7x)}}[(3x+20)-3(x+4)]= 8(3x-5)(10-7x)

puis les 2ème et 3ème termes d'autre part :

-3{\red{(x+4)}}(10-7x){\red{(3x+20)}}-7{\red{(x+4)}}(3x-5){\red{(3x+20)}}= -{\red{(x+4)}}{\red{(3x+20)}}[3(10-7x)+7(3x-5)]=5(x+4)(3x+20)

ainsi
(E) \Longleftrightarrow  8 (3x-5)(10-7x) + 5 (x+4)(3x+20) = 0 \\  \phantom{(E)} \Longleftrightarrow   - 153 x² + 680x = 0\\ \phantom{(E)} \Longleftrightarrow  x( -153x + 680) = 0 \\ \phantom{(E)} \Longleftrightarrow  x= 0 \text{ ou } x = 40/9
Conclusion : S = {0 ; 40/9}



exercice 9

1. soit l'équation x² - x - 1 = 0
\Delta = b²-4ac = (-1)²-4\times 1\times (-1) = 5  > 0 d'où 2 racines distinctes \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt 5}{2} < 0 \text{ et }  \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt 5}{2} =\phi > 0

2. a. \phi est solution de l'équation x² - x - 1 = 0 ; donc \phi² - \phi - 1 = 0, soit \phi² = \phi + 1
\phi³ =\phi* \phi² = \phi(\phi+ 1) =\phi² + \phi = \phi+1 +\phi = 2\phi+ 1
 \phi^4 = \phi* \phi³ = \phi(2\phi+ 1) = 2\phi² + \phi = 2(\phi+1) +\phi= 3\phi+ 2
\phi^5 = \phi* \phi^4 = \phi(3\phi + 2) = 3\phi² + 2\phi= 3(\phi+1) + 2\phi = 5\phi + 1

2. b.
on a établi précédemment que \phi² =\phi + 1
par ailleurs \phi² - \phi- 1 = 0 \Longleftrightarrow \phi(\phi-1) = 1 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\phi}= \phi-1
donc (1/\phi)² = (\phi-1)² = \phi² - 2\phi + 1 =  \phi + 1 - 2\phi + 1 = 2 - \phi



exercice 10

1. \Delta < 0 donc l'équation -x^2+6x-10=0 n'admet aucune solution dans R

2. \Delta >  0 donc l'équation x²+4x-21=0 admet 2 solutions réelles S=\lbrace -7\;;\; 3\rbrace

3. \Delta =  0 donc 9x²+6x+1 est un carré, le carré de 3x+1
9x²+6x+1=0\Longleftrightarrow (3x+1)²=0 \Longleftrightarrow x=-\dfrac 1 3 et S=\left\lbrace-\dfrac 1 3 \right\rbrace



exercice 11

1. \Delta > 0 donc x² + 4x - 21 se factorise en : (x + 7)(x - 3).

2. \Delta = 0 donc 8x^2 + 8x + 2 se factorise en : 8\left(x + \dfrac{1}{2} \right)^2

3. \Delta < 0 donc -3x² + 7x -8 ne se factorise pas



exercice 12

1. f n'est pas définie si les dénominateurs s'annulent, c'est-à-dire : x^2 - 1 = 0 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x^2 + x - 2 = 0
x^2 - 1 = 0 \Longleftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Longleftrightarrow x = 1 \text{ ou } x = -1
x^2 + x - 2 = 0
Calculons le discriminant : \Delta = b² - 4ac = 1 - 4 × (-2) = 9
Le polynôme admet donc deux racines : x_1 = \dfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-1 - \sqrt9}{2} = -2 et x_2 = \dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-1 + \sqrt9}{2} = 1
Donc les deux valeurs interdites liées au polynôme x^2 + x - 2 sont -2 et 1.
D'où : Df = \mathbb{R} \backslash \lbrace -2; -1; 1 \rbrace

2. D'après la question précédente, nous pouvons en déduire :
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)

3. a) Le dénominateur commun aux fractions rationnelles \dfrac{2x^2}{x^2-1} et \dfrac{3}{x^2+x-2} est donc : (x - 1)(x + 1)(x + 2), donc f s'écrit également :
f(x) = \dfrac{2x^2(x + 2)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} - \dfrac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^2(x+2) - 3(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\\ f(x) = \dfrac{2x^3+4x^2-3x-3}{(x-1)(x+1)(x+2)}
Nous avons donc : g(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x - 3 \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} h(x) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)

3. b) Une racine évidente de g est 1, car 2 + 4 - 3 - 3 = 0
g(x) est donc factorisable par (x - 1) et, comme l'écriture polynômiale est unique, g peut s'écrire : g(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)
Déterminons a, b et c :
(x - 1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c\\ = ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c
Identifions les coefficients à l'aide des équations suivantes :
a = 2
b - a = 4 \Longleftrightarrow b = 4 + a \Longleftrightarrow b = 6
-c = -3 \Longleftrightarrow c = 3
Vérifions : c - b = 3 - 6 = -3
D'où : Pour tout réel x, g(x) = (x - 1)(2x^2 + 6x + 3)

3. c) On peut donc en déduire que f s'écrit :
Pour tout réel x appartenant à Df, f(x) = \dfrac{(x - 1)(2x^2 + 6x + 3)}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}, soit f(x) = \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x + 1)(x + 2)}

Résolvons l'équation f(x) = 0 :
f(x) = 0 \Longleftrightarrow \dfrac{2x^2 + 6x + 3}{(x+1)(x+2)} = 0
L'ensemble de définition de cette équation est \mathbb{R} \backslash \lbrace -1; -2 \rbrace.
2x^2 + 6x + 3 = 0 \Longleftrightarrow x^2 + 3x + \dfrac{3}{2} = 0
Utilisons la méthode du discriminant : \Delta = b² - 4ac = 9 - 4 × 1 × \dfrac{3}{2} = 9 - 6 = 3
Les deux racines sont donc : x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-3-\sqrt3}{2} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a} = \dfrac{-3+\sqrt3}{2}.
Elles appartiennent toutes deux à l'ensemble de définition de l'équation.
D'où : les solutions de l'équation f(x) = 0 sont : \left \lbrace \dfrac{-3-\sqrt3}{2} ; \hspace{5pt} \dfrac{-3+\sqrt3}{2} \right \rbrace



exercice 13

Posons X = x^2, donc x^4 - 3x^2 - 4 = 0 équivaut à :
X^2 - 3X - 4 = 0
\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2
L'équation admet donc deux solutions :
X_1 = \dfrac{3 - 5}{2} = -1     et     X_2 = \dfrac{3 + 5}{2} = 4
Or X = x^2, donc :
x^2 = -1     ou     x^2 = 4

x^2 = -1 n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
x^2 = 4 équivaut à x = 2 ou x = -2

D'où : \boxed{S = \lbrace-2; 2\rbrace}



exercice 14

Posons X = \sqrt{x}, x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 équivaut à :
X^2 - 5X - 36 = 0
Calculons le discriminant : \Delta = 25 + 4 \times 36 = 169 = 13^2
L'équation admet donc deux solutions :
X_1 = \dfrac{5 - 13}{2} = -4     et     X_2 = \dfrac{5 + 13}{2} = 9
Or X = \sqrt{x}, donc :
\sqrt{x} = -4     ou     \sqrt{x} = 9

\sqrt{x} = -4 n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
\sqrt{x} = 9 équivaut à x = 81

D'où : \boxed{S = \lbrace81\rbrace}

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1421 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !