Fiche de mathématiques
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Un peu de logique ...

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Implication et équivalence :



En algèbre, en analyse comme en géométrie, une implication est une phrase mathématique indiquant que : Une \red\text{donnée I} entraîne (ou implique) une \blue \text{conclusion II}.

Par exemple :
(i)  \black{\text{ Si } } \red{A\times B=0 \text{  (I)  }} \black{\text{ alors }} \blue{A=0 \text{ ou } B=0 \text{  (II)  }}
(ii)  \black{\text{ Si } } \red{x=5}        \text{  (I)  }} \black{\text{ alors }} \blue{x^2 =25             \text{  (II)  }}

On note l'implication par le symbole \displaystyle\Longrightarrow, donc les deux propositions de l'exemple ci-dessus peuvent s'écrire :

(i)  \red{A\times B=0 \text{  (I)  }} \black{\Longrightarrow} \blue{A=0 \text{ ou } B=0 \text{  (II)  }}
(ii)  \red{x=5}        \text{  (I)  }} \black{\Longrightarrow} \blue{x^2 =25             \text{  (II)  }}

Dans certains cas, en plus de l'implication \red{\text{(I)}}\black{\Longrightarrow}\blue{\text{(II)}} , on a également l'implication \blue{\text{(II)}}\black{\Longrightarrow}\red{\text{(I)}}, la deuxième implication est appelée la réciproque de la première implication. Et si c'est le cas, on dit que les deux propositions \red{\text{(I)}}\black{\text{ et }}\blue{\text{(II)}} sont équivalentes et on note : \red{\text{(I)}}\black{\Longleftrightarrow}\blue{\text{(II)}} (\black \text{  } \Longleftrightarrow étant le symbole de l'équivalence)

Dans l'exemple précédent, et exactement dans (i), on a également  \blue{A=0 \text{ ou } B=0 \text{  (II)  }} \black{\Longrightarrow} \red{A\times B=0 \text{  (I)  }}. Donc on pourrait en fait écrire  \red{A\times B=0 \text{  (I)  }} \black{\Longleftrightarrow} \blue{A=0 \text{ ou } B=0 \text{  (II)  }}
Par contre, dans (ii), ceci est faux, on n'a pas \blue{\text{(II)}}\black{\Longrightarrow}\red{\text{(I)}} car si x^2=25, il se peut que x=-5.
Mais si on avait pour (ii) : \red{ \text{  (I)   : }}\begin{cases}x=5\\\text{ ou }\\x=-5\end{cases}}  , on aurait pu établir l'équivalence.

Le rôle d'un contre-exemple :



Soit une phrase donnée :
Si on pense qu'elle est \textcolor{blue}{\text{vraie}} alors pour le prouver, on doit être capable de la justifier à l'aide d'une règle (théorème,...) ou d'un calcul.
Si on pense qu'elle est \textcolor{red}{\text{fausse}} alors pour le prouver il suffit de trouver un contre-exemple : un exemple qui remplit les conditions indiquées dans la phrase, mais pas la conclusion.
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