Implication et équivalence :
En algèbre, en analyse comme en géométrie, une implication est une phrase mathématique indiquant que : Une

entraîne (ou implique) une

.
Par exemple :
(i)
(ii)
On note l'implication par le symbole

, donc les deux propositions de l'exemple ci-dessus peuvent s'écrire :
(i)
(ii)
Dans certains cas, en plus de l'implication
}}\black{\Longrightarrow}\blue{\text{(II)}})
, on a également l'implication
}}\black{\Longrightarrow}\red{\text{(I)}})
, la deuxième implication est appelée la réciproque de la première implication. Et si c'est le cas, on dit que les deux propositions
}}\black{\text{ et }}\blue{\text{(II)}})
sont
équivalentes et on note :
}}\black{\Longleftrightarrow}\blue{\text{(II)}})
(

étant le symbole de l'équivalence)
Dans l'exemple précédent, et exactement dans
(i), on a également
 }} \black{\Longrightarrow} \red{A\times B=0 \text{ (I) }})
. Donc on pourrait en fait écrire
Par contre, dans
(ii), ceci est faux, on n'a pas
}}\black{\Longrightarrow}\red{\text{(I)}})
car si

, il se peut que

.
Mais si on avait pour
(ii) :
 : }}\begin{cases}x=5\\\text{ ou }\\x=-5\end{cases}} )
, on aurait pu établir l'équivalence.
Le rôle d'un contre-exemple :
Soit une phrase donnée :
Si on pense qu'elle est

alors pour le prouver, on doit être capable de la
justifier à l'aide d'une règle (théorème,...) ou d'un calcul.
Si on pense qu'elle est

alors pour le prouver il suffit de trouver un
contre-exemple : un exemple qui remplit les conditions indiquées dans la phrase, mais pas la conclusion.