En algèbre, en analyse comme en géométrie, une implication est une phrase mathématique indiquant que : Une entraîne (ou implique) une .
Par exemple :
(i) (ii)
On note l'implication par le symbole , donc les deux propositions de l'exemple ci-dessus peuvent s'écrire :
(i) (ii)
Dans certains cas, en plus de l'implication , on a également l'implication , la deuxième implication est appelée la réciproque de la première implication. Et si c'est le cas, on dit que les deux propositions sont équivalentes et on note :
( étant le symbole de l'équivalence)
Dans l'exemple précédent, et exactement dans (i), on a également . Donc on pourrait en fait écrire Par contre, dans (ii), ceci est faux, on n'a pas car si , il se peut que .
Mais si on avait pour (ii) : , on aurait pu établir l'équivalence.
Le rôle d'un contre-exemple :
Soit une phrase donnée :
Si on pense qu'elle est alors pour le prouver, on doit être capable de la justifier à l'aide d'une règle (théorème,...) ou d'un calcul.
Si on pense qu'elle est alors pour le prouver il suffit de trouver un contre-exemple : un exemple qui remplit les conditions indiquées dans la phrase, mais pas la conclusion.
Publié par malou/Panter
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entraîne (ou implique) une 
.
 }} \black{\text{ alors }} \blue{A=0 \text{ ou } B=0 \text{ (II) }})
 }} \black{\text{ alors }} \blue{x^2 =25 \text{ (II) }})
, donc les deux propositions de l'exemple ci-dessus peuvent s'écrire :
 }} \black{\Longrightarrow} \blue{A=0 \text{ ou } B=0 \text{ (II) }})
 }} \black{\Longrightarrow} \blue{x^2 =25 \text{ (II) }})
}}\black{\Longrightarrow}\blue{\text{(II)}})
, on a également l'implication }}\black{\Longrightarrow}\red{\text{(I)}})
, la deuxième implication est appelée la réciproque de la première implication. Et si c'est le cas, on dit que les deux propositions }}\black{\text{ et }}\blue{\text{(II)}})
sont équivalentes et on note : }}\black{\Longleftrightarrow}\blue{\text{(II)}})
(
étant le symbole de l'équivalence)
 }} \black{\Longrightarrow} \red{A\times B=0 \text{ (I) }})
. Donc on pourrait en fait écrire  }} \black{\Longleftrightarrow} \blue{A=0 \text{ ou } B=0 \text{ (II) }})
, il se peut que 
.
 : }}\begin{cases}x=5\\\text{ ou }\\x=-5\end{cases}} )
, on aurait pu établir l'équivalence.
alors pour le prouver, on doit être capable de la justifier à l'aide d'une règle (théorème,...) ou d'un calcul.
alors pour le prouver il suffit de trouver un contre-exemple : un exemple qui remplit les conditions indiquées dans la phrase, mais pas la conclusion.Publié par malou/Panter
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