Fiche de mathématiques
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Différents raisonnements à savoir utiliser en seconde

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Savoir utiliser un contre-exemple


L'utilisation d'un contre-exemple pour affirmer qu'une fonction est ni paire ni impaire.

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=\dfrac {x+1}{x^2+2}
Le contre exemple ne peut pas provenir de l'ensemble de définition de la fonction puisque cette fonction est bien définie sur R.
f(1)=\dfrac 2 3 et f(-1)=0 donc f(1)\neq f(-1) et f(1)\neq - f(-1)
On en conclut que la fonction f est ni paire ni impaire.

L'utilisation d'un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle.

Un peu de vocabulaire : Infirmer signifie contredire

Soit P la proposition " quelque soit x dans R, x^2+2x+1 \neq 0 ".
Je désire montrer que cette proposition P est fausse. Il est équivalent de montrer que la proposition contraire (non P) est juste.
(non P) : "il existe x dans R, x^2+2x+1=0 " c'est à dire en Français, trouver un réel x tel que cette quantité soit nulle. Il suffit de choisir x=-1. J'ai ainsi montré que (non P) est juste, on en conclut que (P) est fausse.

Le raisonnement par disjonction des cas


Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
Le produit de deux entiers consécutifs s'écrit n(n+1) avec n dans N.
Ou bien n est pair, et le produit n(n+1) est donc pair
Ou bien n est impair, et alors le suivant n+1 est pair, et le produit n(n+1) est pair.
Conclusion : le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Exprimer sans valeur absolue l'expression suivante : A(x)=|1-x|+3x
ou x\le 1 et |1-x|=1-x d'où A(x)=1-x+3x=1+2x
ou x\ge 1 et |1-x|=-1+x d'où A(x)=-1+x+3x=-1+4x

Le raisonnement par l'absurde


Pour démontrer qu'une proposition P est vraie, on suppose que la proposition contraire, (non P), est vraie (c'est-à-dire que la proposition P est fausse) et on montre que cette hypothèse conduit à une contradiction.

Prouver qu'il n'existe pas de fonction affine f telle que f(-1)=2 ; f(3)=4 et f(5)=3

Supposons qu'une telle fonction existe. A la lecture des images, f doit être en même temps croissante et décroissante. Ce qui est impossible.
Conclusion : il n'existe pas de fonction affine vérifiant ces 3 conditions simultanément.

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