Fiche de mathématiques

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Calcul matriciel : Exercices

Dans l'ensemble de cette fiche, $n$ est un entier naturel non nul sauf mention contraire.

exercice 1

Dire si les matrices suivantes sont inversibles et donner leurs inverses.

1. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}$

2. $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\2 & -1 & 1\\-1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

exercice 2

Résoudre dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ l'équation matricielle suivante :

$X^2+X=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}$

exercice 3

Soit $A=\begin{pmatrix}-1 & -2\\3 & 4\end{pmatrix}$

1. Calculer $A^2-3A+2I$ . Montrer que A est inversible et calculer son inverse

2. Soit $n\in \mathbb{N}^{*}-\lbrace 1\rbrace$
Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$ et en déduire $A^n$ .

exercice 4

Déterminer une CNS pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.

exercice 5

Montrer que $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\oplus\mathcal{A}_n(\mathbb{R})=\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , avec $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ le sous espace des matrices symétriques et $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ celui des matrices antisymétriques.

exercice 6

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ . Pour $\sigma\in S_n$ On pose $P_{\sigma}=\left(\delta_{i,\sigma(j)}\right)_{1\le i,j\le n}$ , avec $\rm\delta_{i,j}=\left \lbrace \begin{array}{l}1\ {\rm si}\ i=j\\0\ {\rm si}\ i\neq j\end{array} \right.$ appelé symbole de Kronecker.

1. Dans le cas particulier de $n=4$ , calculer $P_{\sigma}$ pour $\sigma=(1\quad 2)$ puis pour $\sigma=(1\quad 2)(3\quad 4)$ .

2. Pour tout $\sigma,\sigma'\in S_n$ , comparer $P_{\sigma}P_{\sigma'}$ et $P_{\sigma o\sigma'}$ .

3. Calculer $P_{Id}$ puis montrer que $E=\lbrace P_{\sigma}/ \sigma\in S_n\rbrace$ est un sous-groupe de $\mathcal{G}L_n(\mathbb{R})$ .

4. E et $S_n$ sont-ils isomorphes?

5.Montrer que: $\forall \sigma\in S_n\text{ : } ^tP_{\sigma}=P_{\sigma^{-1}}$

exercice 7

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $A=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$ avec $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{K}$ tels que $\forall i,j\in \ldbrack1,n\rdbrack : \lambda_i \neq \lambda_j$ et soit: $\begin{array}{cccc} f:&\mathcal{M}_n(\mathbb{K})& \to &\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\\ & M & \to & MA-AM \\ \end{array}$
Montrer que Im(f) est l'ensemble des matrices à diagonale nulle.

exercice 8

Soit $A=(a_{ij})_{1\le i,j\le n+1}$ une matrice de $\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ où $a_{i,j}={j-1\choose i-1}$ pour tout $i,j$ de $\ldbrack1,n\rdbrack$ et soit $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])$ exprimé par la matrice $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$

1.Exprimer $f(P)$ pour tout polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$

2. Calculer $A^m \text{ pour } m\in\mathbb{N}$ puis $A^{-1}$

exercice 9

Calculer le rang en fonction des réels a,b,c et d des matrices suivantes:

1. $A=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & a \end{pmatrix}$
2. $B=\begin{pmatrix}1 & a & 1 & b\\a & 1 & b & 1\\ 1 & b & 1 & a\\b & 1 & a & 1\end{pmatrix}$
3. $C=\rm\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\b+c & c+a & a+b \\ bc & ca & ab \end{pmatrix}$

exercice 10

Soit $\rm M\in\mathcal{A}_3(\mathbb{K})$ . Quel est le rang de M ?

exercice 11

Soient $(n,p,r)\in(\mathbb{N}^*)^3$ , $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ de rang $r$ .
Montrer qu'il existe $B\in\mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K})$ et $C\in\mathcal{M}_{r,p}(\mathbb{K})$ telles que $A=BC$ .

exercice 12

Montrer que toute matrice triangulaire supérieure de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est semblable à une matrice triangulaire inférieure.

Voir la correction

exercice 1

1. La matrice est inversible car son déterminant est $1$ non nul.
Calcul de l'inverse:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&-1 &1&0&0\\ 2&0&1 &0&1&0\\ 2&1&-1 &0&0&1\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_2\leftrightarrow 2L_1-L_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&-1 &1&0&0\\ 0&2&-3 &2&-1&0\\ 2&1&-1 &0&0&1\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_3\leftrightarrow 2L_1-L_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&-1 &1&0&0\\ 0&2&-3 &2&-1&0\\ 0&1&-1 &2&0&-1\\ \end{array}\right)$
$\underbrace{\rightarrow}_{L_3\leftrightarrow L_2-2L_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&-1 &1&0&0\\ 0&2&-3 &2&-1&0\\ 0&0&-1 &-2&-1&2\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_3\leftrightarrow -L_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&-1 &1&0&0\\ 0&2&-3 &2&-1&0\\ 0&0&1 &2&1&-2\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_2\leftrightarrow L_2+3L_3}&\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&-1 &1&0&0\\ 0&2&0 &8&2&-6\\ 0&0&1 &2&1&-2\\ \end{array}\right)$
$\underbrace{\rightarrow}_{L_1\leftrightarrow L_1+L_3}&\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1& 0&3&1&-2\\ 0&2&0&8&2&-6\\ 0&0&1 &2&1&-2\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_2\leftrightarrow \frac{1}{2}L_2}&\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&1& 0&3&1&-2\\ 0&1&0&4&1&-3\\ 0&0&1 &2&1&-2\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_1\leftrightarrow L_1-L_2}&\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0& 0&-1&0&1\\ 0&1&0&4&1&-3\\ 0&0&1 &2&1&-2\\ \end{array}\right)\end{matrix}$

Resultat: $\boxed{\text{L'inverse de la matrice est donc : } \begin{pmatrix}-1&0&1\\4&1&-3\\2&1&-2\end{pmatrix}}$
2. La matrice est inversible car son déterminant est 1 non nul.
Calcul de l'inverse:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1 &1&0&0\\ 2&-1&1 &0&1&0\\ -1&1&-1 &0&0&1\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_2\leftrightarrow 2L_1-L_2}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1 &1&0&0\\ 0&1&1 &2&-1&0\\ -1&1&-1 &0&0&1\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_3\leftrightarrow L_1+L_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1 &1&0&0\\ 0&1&1 &2&-1&0\\ 0&1&0 &1&0&1\\ \end{array}\right)$
$\underbrace{\rightarrow}_{L_3\leftrightarrow L_2-L_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1 &1&0&0\\ 0&1&1 &2&-1&0\\ 0&0&1 &1&-1&-1\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_2\leftrightarrow L_2-L_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1 &1&0&0\\ 0&1&0 &1&0&1\\ 0&0&1 &1&-1&-1\\ \end{array}\right)\underbrace{\rightarrow}_{L_1\leftrightarrow L_1-L_3}\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 &0&1&1\\ 0&1&0 &1&0&1\\ 0&0&1 &1&-1&-1\\ \end{array}\right)$

Resultat: $\boxed{\text{L'inverse de la matrice est donc : } \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&-1&-1\end{pmatrix}}$

exercice 2

On pose $X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ , donc :
$X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a^2+bc+a&1 \\ ab+bd+b&1 \\ca+dc+c&1\\ cb+d^2+d&1 \\\end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a^2+bc+a&1 \\ b(a+d+1)&1 \\c(a+d+1)&1\\ (d-a)(a+d+1)&0 \\\end{array} \right.\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} d&a\neq -\dfrac{1}{2} \\ c&b= \dfrac{1}{2a+1} \\a^2+\dfrac{1}{(2a+1)^2}+a&1\\ \end{array} \right.$
D'autre part: $a^2+\dfrac{1}{(2a+1)^2}+a=1 \Longleftrightarrow 4a^4+8a^3+a^2-3a=0\Longleftrightarrow$ $a\in\left\lbrace -\dfrac{3}{2},-1,0,\dfrac{1}{2}\right \rbrace$
Donc, l'ensemble des solutions est: $\boxed{S= \left\lbrace \begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\text{ , } \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\text{ , }\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\text{ , }\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{1}{2}& -\dfrac{3}{2}\end{pmatrix} \right\rbrace }$

exercice 3

1. $A^2-3A+2I=\begin{pmatrix}-5&-6\\9&10\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}-1&-2\\3&4\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
Donc: $\boxed{A^2-3A+2I=0}$
Ainsi: $3A-A^2=2I \Longleftrightarrow A(3I-A)=2I \Longleftrightarrow A \left(\dfrac{3}{2}I - \dfrac{1}{2}A \right)=I$
D'où: $\boxed{\text{ A est inversible avec } A^{-1} = \dfrac{3}{2}I-\dfrac{1}{2}A}$
2. En notant $Q$ le polynome quotient, il existe a, b réels tels que: $X^n=(X^2-3X+2)Q(X)+aX+b$
Les deux racines de $X^2-3X+2=0$ sont 1 et 2, donc en évaluant successivement ces deux racines, on obtient: $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 1 & a+b \\ 2^n & 2a+b \\ \end{array} \right$
La résolution de ce système donne alors $[a=-1+2^n,\quad b=2-2^n]$
$\boxed{ \text{Le reste de la division euclidienne est donc: } (2^n-1)X+2-2^n }$
Or, on sait que $A^2-3A+2I=0$ d'où: $\boxed{A^n=(-1+2^n)A+(2-2^n)I}$

exercice 4

Soit $(A,B)\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})^2$
On a: $\text{ AB est symétrique }\Longleftrightarrow AB=^t(AB)\Longleftrightarrow AB=^tB^tA\Longleftrightarrow AB=BA\Longleftrightarrow \text{A et B commutent}$
CNS: $\boxed{\text{Le produit de deux matrices symétriques est une matrice symétrique si, et seulement si, les deux matrices commutent}}$

exercice 5

Soit $M\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\cap A_n(\mathbb{R})$
Alors: $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} ^tM & M \\ ^tM & -M \\ \end{array} \right.$
Ainsi $M=-M$ et donc $M = 0$
On en déduit que: $\boxed{\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\cap \mathcal{A}_n(\mathbb{R})=\lbrace 0\rbrace } ~(I)$
Soit $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
La matrice $M$ peut s'écrire: $M = \dfrac{M+^tM}{2}+\dfrac{M-^tM}{2}$
Notons: $M_1=\dfrac{M+^tM}{2} \text{ et } M_2=\dfrac{M-^tM}{2}$
On a: $\begin{cases}^tM_1=^t\left(\dfrac{M+^tM}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(^t(M+^tM)) =\dfrac{M+^tM}{2}=M_1\\ ^tM_2=^t\left(\dfrac{M-^tM}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(^t(M-^tM)) =\dfrac{^tM-M}{2}=-\dfrac{M-^tM}{2}=-M_2\end{cases}$
Donc: $M_1\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \text{ et } M_2\in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$
On en déduit que: $\boxed{\text{ Pour toute matrice M de } \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \text{ il existe } M_1\in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \text{ et } M_2\in \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \text{ telles que: } M=M_1+M_2}~(II)$
De $(I)$ et $(II)$ : $\boxed{\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{R})=\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$ .

exercice 6

1.
Pour $\sigma =(1\quad 2)$
On écrit matriciellement: $\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{pmatrix}$
On a donc: $\sigma(1)=2\text{ , } \sigma(2)=1\text{ , } \sigma(3)=3 \text{ et } \sigma(4)=4$
Ceci nous permet de calculer: $P_{\sigma}=\left(\delta_{i,\sigma(j)}\right)_{1\le i,j\le 4}=\begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma(1)&\delta_{1,\sigma(2)&\delta_{1,\sigma(3)&\delta_{1,\sigma(4)\\\delta_{2,\sigma(1)&\delta_{2,\sigma(2)&\delta_{2,\sigma(3)&\delta_{2,\sigma(4)\\\delta_{3,\sigma(1)&\delta_{3,\sigma(2)&\delta_{3,\sigma(3)&\delta_{3,\sigma(4)\\\delta_{4,\sigma(1)&\delta_{4,\sigma(2)&\delta_{4,\sigma(3)&\delta_{4,\sigma(4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \delta_{1,2&\delta_{1,1&\delta_{1,3&\delta_{1,4\\\delta_{2,2&\delta_{2,1&\delta_{2,3&\delta_{2,4\\\delta_{3,2&\delta_{3,1&\delta_{3,3&\delta_{3,4\\\delta_{4,2&\delta_{4,1&\delta_{4,3&\delta_{4,4\end{pmatrix}$
On en déduit: $\boxed{P_{\sigma}=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$
Pour $\sigma=(1\quad 2)(3\quad 4)$
De la même manière, on écrit matriciellement: $\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}$
On a donc: $\sigma(1)=2\text{ , } \sigma(2)=1\text{ , } \sigma(3)=4 \text{ et } \sigma(4)=3$
On trouve: $\boxed{P_{\sigma}=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$
2. Notons $\mathcal{B} = (e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}_n$ et notons $f$ l'endomorphisme canoniquement associé à $P_{\sigma}$ .
On a donc: $\forall j \in \ldbrack 1,n\rdbrack \text{ : } f_{\sigma}(e_j) = e_{\sigma(j)}$
Soient $\sigma,\sigma'\in S_n$ , on a: $\forall j \in \ldbrack 1,n\rdbrack \text{ : }(f_{\sigma}\circ f_{\sigma'} )(e_j) =f_{\sigma}\left(f_{\sigma'} (e_j)\right)=f_{\sigma}(e_{\sigma'(j)})=e_{\sigma(\sigma'(j))}=e_{\sigma\circ\sigma'(j)}=f_{\sigma\circ\sigma'}(e_j)$
On conclut alors que: $\boxed{P_{\sigma\circ\sigma'}=P_{\sigma}P_{\sigma'}}$
3. On a: $P_{Id}=(\delta_{i,Id(j)})_{1\le i,j\le n}=(\delta_{i,j})_{1\le i,j\le n}$
Donc: $\boxed{P_{Id}=I_n}$
L'ensemble $E$ est non vide puisqu'il contient la matrice identité.
On a montré dans la question 2. que $E$ est stable par composition.
De plus: $P_{\sigma}P_{\sigma^{-1}}=P_{\sigma o\sigma^{-1}}= P_{Id}=I_n$
Ce qui veut dire que: $P_{\sigma}\in\mathcal{G}L_n(\mathbb{R})\text{ et } P_{\sigma}^{-1}=P_{\sigma^{-1}}\in E$
Ainsi: $\boxed{\text{E est un sous-groupe de } \mathcal{G}L_n(\mathbb{R})}$
4. On considère l'application: $P : S_n\to E\\~~~~~~~ \sigma \mapsto P_\sigma$
Cette application étant clairement un morphisme de groupe surjective, montrons qu'elle est injective: $\sigma \in Ker(P) \Longleftrightarrow P_\sigma = I_n \Longleftrightarrow \forall j\in \ldbrack1,n\rdbrack\text{ : } \sigma(j)=j \Longleftrightarrow \sigma=Id$
$P$ est donc un isomorphisme, et: $\boxed{\text{ E est isomorphe à } S_n}$
5. Soit $\sigma\in S_n$ , on a donc: $^tP_{\sigma}=(\delta_{j,\sigma(i)})_{1\le i,j\le n}=(\delta_{\sigma^{-1}(j),i})_{1\le i,j\le n}=(\delta_{i,\sigma^{-1}(j)})_{1\le i,j\le n}=P_{\sigma^{-1}}$
Conclusion: $\boxed{\forall \sigma\in S_n\text{ : } ^tP_{\sigma}=P_{\sigma^{-1}}}$

exercice 7

Soit $N\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
On a: $N \in Im(f) \Longleftrightarrow \exists M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) / N = f(M) \Longleftrightarrow \exists M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) / N = MA-AM$
Posons $M=(m_{ij})_{1\le i,j\le n}$ , on a donc: $\begin{matrix}N&=&MA - AM\\&=&(m_{ij})_{1\le i,j\le n} diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)-diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)(m_{ij})_{1\le i,j\le n}\\&=&(\lambda_j m_{ij})_{1\le i,j\le n}-(\lambda_i m_{ij})_{1\le i,j\le n}\\&=&\left((\lambda_i-\lambda_j)m_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\end{matrix}$
Donc: $\text{Si } N\in Im(f) \text{ alors N est de diagonale nulle}$
Ainsi: $\boxed{Im(f)\subset \left\lbrace (m_{ij})_{1\le i,j\le n}~/~ \forall i\in \ldbrack1,n\rdbrack \text{ : } m_{ii}=0 \right\rbrace }~~(I)$
Soit $M=(m_{ij})_{1\le i,j\le n}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
On a: $M\in Ker(f) \Longleftrightarrow AM = MA \Longleftrightarrow \forall i,j\in \ldbrack1,n\rdbrack \text{ : }\lambda_im_{ij}=\lambda_jm_{ij}\Longleftrightarrow m_{ij}=0 \text{ pour tout } i\neq j \Longleftrightarrow M\in \mathcal{D}_n(\mathbb{K})$
Donc: $Ker(f)=\mathcal{D}_n(\mathbb{K}) \text{ et } \dim\left(Ker(f)\right)=n$
Donc, d'après le théorème du rang: $\dim(Im(f))=n^2-n$
Il s'ensuit que: $\boxed{\dim(Im(f))=\dim\left(\left\lbrace (m_{ij})_{1\le i,j\le n}~/~ \forall i\in \ldbrack1,n\rdbrack \text{ : } m_{ii}=0 \right\rbrace }\right)}~~(II)$
De $(I)$ et $(II)$ : $\boxed{ Im(f) \text{ est l'ensemble des matrices à diagonale nulle }}$

exercice 8

1. Pour $k$ appartenant à $\lbrace 0,\ldots,n\rbrace$ , on a: $f(X^k) = \displaystyle \sum_{i=0}^n{k\choose i}X^i = \displaystyle \sum_{i=0}^k{k\choose i}X^i=(X+1)^k$
Donc par linéarité: $\boxed{\forall P\in \mathbb{K}_n[X]~:~f(P)=P(X+1)}$
2. Soit $m$ un entier naturel, on a: $f^m(X^k)=(X+m)^k = \displaystyle \sum_{i=0}^n{k\choose i}m^{k-i}X^i$
Donc: $\boxed{A^m=(m^{j-i}a_{ij})_{1\le i,j\le n+1}}$
De même on montre que: $\boxed{A^{-1}=((-1)^{j-i}a_{ij})_{1\le i,j\le n+1}}$

exercice 9

1. $rg(A)= rg\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & a \end{pmatrix} = rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{12} \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{12} & a-\dfrac{1}{9} \end{pmatrix}= rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{12} & 0 \\ \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{12} & a-\dfrac{7}{36} \end{pmatrix}$

$\left(\text{ Opérations: } (C1,C2,C3) \rightarrow (C1,C2-\frac{1}{2}C1,C3-\frac{1}{3}C1) \rightarrow (C1,C2,C3-C2)~\right)$

Si $a =\dfrac{7}{36}$ , alors $rg(A)=2$
Si $a \neq\dfrac{7}{36}$ , alors $rg(A)=3$
$\boxed{ rg(A)=\begin{cases} 2\text{ si } a =\dfrac{7}{36} \\ 3\text{ si } a \neq\dfrac{7}{36} \end{cases}}$
2. $rg(B)=rg\begin{pmatrix}1 & a & 1 & b\\a & 1 & b & 1\\ 1 & b & 1 & a\\b & 1 & a & 1\end{pmatrix}=rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\a & 1-a^2 & b-a & 1-ab\\ 1 & b-a & 0 & a-b\\b & 1-ab & a-b & 1-b^2\end{pmatrix}=1+rg\begin{pmatrix} 1-a^2 & b-a & 1-ab\\ b-a & 0 & a-b\\ 1-ab & a-b & 1-b^2\end{pmatrix}$

$\left(\text{ Opérations: } (C1,C2,C3,C4) \rightarrow (C1,C2-aC1,C3-C1,C4-bC1)~\right)$

Deux cas se présentent:

$\bullet\text{ Premiere cas: } a\neq b$

$rg(B)=1+rg\begin{pmatrix} 1-a^2 & b-a & 1-ab\\ b-a & 0 & a-b\\ 1-ab & a-b & 1-b^2\end{pmatrix}=1+rg\begin{pmatrix} 1-a^2 & 1 & 1-ab\\ 1 & 0 & -1\\ 1-ab & -1 & 1-b^2\end{pmatrix}=1+rg\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 1-a^2 & 1 & 1-ab\\ 1-ab & -1 & 1-b^2\end{pmatrix}=1+rg\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1-a^2 & 1 & 2-a^2-ab\\ 1-ab & -1 & 2-b^2-ab\end{pmatrix}$

$\left(\text{ Opérations: } (L1,L2,L3) \rightarrow (L1,\frac{1}{b-a}L2,L3) \rightarrow (L2,L1,L3) \rightarrow (C1,C2,C1+C3)~\right)$
Ce qui donne:
$rg(B)=2+rg\begin{pmatrix} 1 & 2-a^2-ab\\-1 & 2-b^2-ab\end{pmatrix}=2+rg\begin{pmatrix} 1 & 2-a^2-ab\\0 & 4-(a+b)^2\end{pmatrix}$

$\left(\text{ Opérations: } (L1,L2) \rightarrow (L1,L1+L2)~\right)$

Si $|b|\neq|a|~:~rg(B)=4$
Si $a=-b\neq 0~:~rg(B)=2+rg\begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & 4\end{pmatrix}=2+rg\begin{pmatrix} 1 & 1\\0 & 2\end{pmatrix}=2+rg\begin{pmatrix} 1 & 2\\0 & 2\end{pmatrix}=2+1=3$

$\bullet\text{ Deuxieme cas: }a=b$
$rg(B)=1+rg\begin{pmatrix} 1-a^2 & 0 & 1-a^2\\ 0 & 0 & 0\\ 1-a^2 & 0 & 1-a^2\end{pmatrix}=1+rg\begin{pmatrix} 1-a^2 & 1-a^2\\ 1-a^2& 1-a^2\end{pmatrix}$

Si $a=b=1$ ou $a=b=-1$ : $rg(B)=1$
Si $a=b\not{=}1$ et $a=b\not{=}-1$ : $rg(B)=2$
$\boxed{ rg(B)=\begin{cases} 1\text{ si } a =b=1\text{ ou } a=b=-1 \\ 2\text{ si } a =b\neq 1 \text{ et } a=b\neq-1\\ 3\text{ si } a=-b\neq 0\\ 4\text{ si } |a|\neq|b| \end{cases}}$
3. $rg(C)=rg\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\b+c & c+a & a+b \\ bc & ca & ab \end{pmatrix}=rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\b+c & a-b & a+c \\ bc & c(a-b) & b(a-c) \end{pmatrix}$

$\left(\text{ Opérations: } (C1,C2,C3) \rightarrow (C1,C2-C1,C3-C1)~\right)$
On distingue trois cas :
Cas 1 : $a,b$ et $c$ sont deux à deux distincts

$rg(C)=rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\b+c & 1 & 1 \\ bc & c & b \end{pmatrix}=rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\b+c & 1 & 0 \\ bc & c & b-c \end{pmatrix}=rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\b+c & 1 & 0 \\ bc & c & 1 \end{pmatrix}=3$
Cas 2 : si $c=b\neq a$ ( ou $a=c\neq b$ ou encore $a=b\neq c$ )

$rg(C)=rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\b+c & 1 & 1 \\ bc & c & b \end{pmatrix}=rg\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\b+c & 1 & 0\\ bc & c & 0 \end{pmatrix}=2$
Cas 3 : si $a=b=c$
Il est clair que dans ce cas: $rg(C)=1$
$\boxed{ rg(C)=\begin{cases} 1\text{ si } a =b=c\\ 2\text{ si } c=b\neq a~,~a=c\neq b\text{ ou } a=b\neq c\\3\text{ si a, b et c sont sont deux à deux distincts} \end{cases}}$

exercice 10

Soit $M\in\mathCAL{A}_3(\mathbb{K})$ .

Alors $\det(M)=det(^tM)= \det(-M) = (-1)^3 \det(M)=-\det(M)$ donc $2\det(M) = 0 \Leftrightarrow \det(M) = 0$

$\boxed{\text{Donc M n'est pas inversible}}$
(si la caractéristique de $\mathbb K$ n'est pas 2 bien sur)

En considérant une base orthonormée de $\mathbb{K}^n$ adaptée à $Ker M$ , on peut écrire: $M=^{t}P M'P$
Avec $P\in\mathcal{O}_{3}(\mathbb{K})$ et $M'$ une matrice antisymétrique de la forme $M'=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & M'' \end{pmatrix}$ telle que $M^{''}$ une matrice antisymétrique inversible.
Puisque $rg(M)=rg(M^{'})=rg(M^{''})$ , alors: $M \text{ est de rang paire }$
D'autre part, $M$ étant d'ordre $3$ , donc: $rg(M)\leq 3$
On en déduit que: $\boxed{rg(M)=2\text{ ou }rg(M)=0}$

exercice 11

Notons:
$\begin{cases}\bullet\mathcal{B}_n~,~\mathcal{B}_p \text{ respectivement les bases canoniques de } \mathbb{K}^n \text{ et }\mathbb{K}^p\\ \bullet f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n,\mathbb{K}^p) \text{ telle que } Mat_{\mathcal{B}_p,\mathcal{B}_n}(f)=A\\ \bullet \begin{array}{clcl} \tilde{f} : &\mathbb{K}^p &\rightarrow &Im(f)\\&x&\mapsto&f(x)\\\end{array} \text{ la restriction de f à Im(f) }\\ \bullet \begin{array}{clcl} i : &Im(f) &\rightarrow &\mathbb{K}^n\\&y&\mapsto&y\\\end{array} \text{ l'injection canonique } \end{cases}$
On a ainsi: $f=i\circ\tilde{f}$
Soit $\mathcal{B}$ la base de $Im(f)$ , et soient $B=Mat_{\mathcal{B},\mathcal{B}_n} (i)$ et $C = Mat_{\mathcal{B}_p,\mathcal{B}} (\tilde{f})$ , on a alors:

$\boxed{B\in\mathcal{M}_{n,r}(\mathbb{K})~,~C\in\mathcal{M}_{r,p}(\mathbb{K})\text{ et }A=BC}$

exercice 12

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice triangulaire supérieure et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ de matrice $A$ dans la base canonique $\mathcal{B} = (e_1, \cdots, e_n)$ de $\mathbb{K}^n$ .
Soit $\mathcal{B}^{'} =(e_n, \cdots, e_1)$ , alors: $\mathcal{B}^{'} \text{ est aussi une base de } \mathbb{K}^n$
Soient alors $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}^$ à $\mathcal{B}^'$ puis $A^'$ la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}^'$ , il est clair que $A^'$ est triangulaire inférieure.
Les formules de changement de bases permettent d'affirmer que: $A^{'} = P^{-1}AP$
Donc: $\boxed{A \text{ et }A^{'} \text{ sont semblables }}$

Publié par malou/Panter le 28-07-2022

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