Fiche de mathématiques

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Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

Cette fiche suppose connus les résultats présentés dans Réduction des endomorphismes linéaires

I. Suites, séries et fonctions vectorielles

On se place dans le $\mathbb{C}$ -espace vectoriel normé $E = \mathbb{C}^m$ où $m$ est un entier strictement positif. On définit une norme sur $E$ en posant pour $Y = (y_1,...,y_m)$ $||Y|| = \sup(|y_1|,...,|y_m|)$ Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de vecteurs de $\mathbb{C}^m$ et soit $Y \in \mathbb{C}^m$ . On dit que la suite $(Y_n)$ converge vers $Y$ et on écrit $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} Y_n = Y$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}||Y- Y_n|| = 0$ . Soit $Y_n = (y_{n,1},...,y_{n,m})$ et si $Y = (y_1,...,y_m)$ , on voit que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} Y_n = Y$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{n,j} = y_j$ pour $1 \leq j \leq m.$

Soit $(Y_n)$ une suite d'éléments de $E.$ On pose $S_n = Y_0 + ... + Y_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}.$ La série $\sum Y_n$ est le couple $((Y_n),(S_n)).$ On dit que la série $\sum Y_n$ est convergente de somme $S$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} S_n = S.$ On note $S = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty Y_n.$

Proposition.

Soit $\sum Y_n$ une série de vecteurs de $E.$
Si la série réelle $\sum ||Y_n||$ est convergente, alors la série $\sum Y_n$ est convergente et $\left\|\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\right\|\leq \displaystyle \sum_{n=0}^\infty ||Y_n||$ .

Soit $\Psi : I \to E$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ . Pour tout $t \in I$ on écrit $\Psi(t) = \left(\psi_1(t),...,\psi_m(t)\right)$ avec $\psi_j(t)\in \mathbb{C}.$ Les $m$ fonctions complexes $\psi_1,...,\psi_m$ ainsi définies sur $I$ sont les fonctions coordonnées de $\Psi.$

Soit $t_0\in I$ et soit $Y = (y_1,...,y_m) \in \mathbb{C}^m$ . On dit que $Y$ est la limite de $\Psi$ au point $t_0$ et on écrit $\displaystyle \lim_{t\to t_0} \Psi(t)=Y$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{t\to t_0}||\Psi(t)-Y||=0$ ou encore si et seulement si $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\psi_j(t)=y_j$ pour $1\leq j\leq m$ . On dira que $\Psi$ est continue au point $t_0$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\Psi(t) = \Psi(t_0).$

On dira que $\Psi$ est dérivable au point $t_0$ si et seulement si la fonction définie pour $t\neq t_0$ par $\frac{1}{t-t_0}\left(\Psi(t)-\Psi_(t_0)\right)$ admet une limite au point $t_0$ ; si c'est le cas on pose $\Psi'(t_0) = \displaystyle \lim_{t\to t_0} \frac{1}{t-t_0}(\Psi(t)-\Psi(t_0))$ . On démontre que $\Psi$ est dérivable au point $t_0$ si et seulement si toutes les fonctions $\psi_1,...,\psi_m$ sont dérivables au point $t_0$ et, lorsque c'est le cas, on a $\Psi'(t_0) = (\psi_1'(t_0),...,\psi_m'(t_0))$ .

Soient $p$ un entier positif et soit ${\cal M}_p(\mathbb{C})$ l'espace vectoriel des matrices complexes carrées $p\times p.$ Comme ${\cal M}_p(\mathbb{C})$ est un espace vectoriel de dimension $p^2$ on applique les définitions ci-dessus aux matrices de ${\cal M}_p(\mathbb{C}).$
Ainsi, on a :
$|| A||=\sup_{{1\leq i\leq p}\atop {1\leq j\leq p}} |a_{ij}|$ pour toute matrice $A=(a_{ij})_{{1\leq i\leq p}\atop {1\leq j\leq p}}\in {\cal M}_p(\mathbb{C}).$

Proposition.

Si $A_1$ et $A_2$ sont des matrices de ${\cal M}_p(\mathbb{C})$ et si $Y\in \mathbb{C}^p$ on a
$||A_1A_2||\leq p||A_1||\ ||A_2||$ et $||A_1Y||\leq p||A_1||\ ||Y||$ .

Proposition.

Soient $\Psi : I\to{\cal M}(\mathbb{C})^p$ et $\Theta : I\to \mathbb{C}^p$ deux fonctions dérivables définies sur un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ et soit $\Phi:I\to\mathbb{C}^p$ la fonction définie par $\Phi(t) = \Psi(t)\Theta(t).$
Alors $\Phi$ est dérivable sur $I$ et pour tout $t\in I,$ on a $\Phi'(t) = \Psi'(t)\Theta(t) + \Psi(t)\Theta'(t).$

II. Exponentielle d'une matrice

Soit $A\in{\cal M}_p(\mathbb{C}).$ Considérons la série $\displaystyle \sum \frac{1}{n!}A^n$ . Comme $\left\| \frac{1}{n!} A^n \right\|\leq \frac{p^{n-1}||A||^n}{n!}$ et comme la série numérique $\displaystyle \sum \frac{p^{n-1}||A||^n}{n!}$ est convergente, la série de matrices $\displaystyle \sum \frac{1}{n!} A^n$ est convergente. On définit l'exponentielle de la matrice $A$ en posant $e^A = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}A^n$ .
On a $e^{0_p} = I_p.$
Si $D = Diag(d_1,...,d_p)$ on a $e^D = Diag(e^{d_1},...,e^{d_p})$ .
Si $N$ est une matrice nilpotente telle que $N^q = 0$ on a $e^N = I_p + N + \dfrac{1}{2!}N^2 + ... + \dfrac{1}{(q-1)!}N^{q-1}$ .
Si $P \in GL_p(\mathbb{C})$ on a $e^{P^{-1}AP}=P^{-1}e^AP$

Proposition.

Soient $A$ et $B$ deux matrices telles que $AB = BA.$
On a $e^A e^B = e^{A+B} = e^B e^A.$

En particulier, pour toute matrice $A$ on a $e^A e^{-A} = e^{-A} e^A = e^O = I,$ ce qui montre que $e^A \in GL_p(\mathbb{C}).$

Toutes ces propriétés permettent de calculer $e^A.$ En effet, le théorème de Dunford assure l'existence d'une matrice diagonalisable $B$ et d'une matrice nilpotente $N$ telles que $BN = NB$ et $A = B+N$ . On a donc $e^A = e^B e^N$ et les calculs de $e^B$ et de $e^N$ sont aisés.

Si $A = \lambda I + N$ avec $N$ triangulaire telle que $N^m = 0$ on voit que $e^A = e^\lambda Q(N)$ où $Q$ est un polynôme de degré strictement inférieur à $m.$

Exemple.
Considérons les matrices $N = \left(\begin{array}{cc}0 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right),$ et $D = \left(\begin{array}{cr}1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right).$ Comme $N^2 = O$ et comme $D$ est diagonale, on a
$e^N = \left(\begin{array}{cc}1 & 1\\ 0 & 1\end{array}\right) \hspace{25pt} e^D=\left(\begin{array}{cc}e & 0\\ 0 & e^{-1} \end{array}\right) \hspace{25pt} e^Ne^D=\left(\begin{array}{cc}e & e^{-1} \\ 0 & e^{-1} \end{array}\right) \hspace{25pt} e^De^N=\left(\begin{array}{cc}e & e\\ 0 & e^{-1} \end{array}\right)$
De plus, on voit que $(D+N)^2 = I$ d'où $e^{(D+N)} = \left(\begin{array}{cc}e & Sh(1)\\ 0 & e^{-1} \end{array}\right)$ . Ceci montre que si $ND \neq DN$ les trois matrices $e^N e^D,$ $e^D e^N$ et $e^{D+N}$ peuvent être différentes.

Théorème.

Soit $A \in{\cal M}_p(\mathbb{C})$ et soit $\Psi:\mathbb{R}\to {\cal M}_p(\mathbb{C})$ la fonction définie par $\Psi(t) = e^{tA}$ .
La fonction $\Psi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\Psi'(t) = Ae^{tA}$ pour tout $t\in\mathbb{R}.$

III. Systèmes différentiels

Un système différentiel linéaire à coefficients constants est un système de la forme $\quad(S)\qquad\left\left \lbrace \begin{array}{l} y'_1 = a_{11}y_1+... +a_{1p}y_p+b_1(t)\\ \vdots \\ y'_p = a_{p1}y_1+\cdots+a_{pp}y_p+b_p(t) \end{array}\right.$ où $p$ est un entier supérieur à 1, les $a_{ij}$ sont des nombres complexes pour $1\leq i\leq p$ et $1\leq j\leq p$ et où $b_1,...,b_p$ sont des fonctions continues définies sur un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{C}.$

Une solution du système $(S)$ est une famille $f_1,...f_p$ de fonctions à valeurs dans $\mathbb{C}$ dérivables sur $I$ et telles que $(\forall t\in I)\qquad\left\left \lbrace \begin{array}{l} f'_1(t) = a_{11}f_1(t)+... +a_{1p}f_p(t)+b_1(t)\\ \vdots \\ f'_p(t) = a_{p1}f_1(t)+\cdots+a_{pp}f_p(t)+b_p(t) \end{array}\right.$ Soit $A$ la matrice $(a_{ij})_{{1\leq i\leq p}\atop{1\leq j\leq p}}.$ Soit $F:I\to\mathbb{C}^p$ la fonction définie par $F(t) = (f_1(t),...,f_p(t))$ et soit $B:I\to\mathbb{C}^p$ la fonction définie par $B(t) = (b_1(t),...,b_p(t)).$ Alors $F$ est solution de $(S)$ si et seulement si $F'(t)=AF(t)+B(t)$ pour tout $t\in I.$ Le système se présente donc sous la forme ${} \quad (S)\qquad Y'=AY+B(t)$
On appelle système homogène ou système sans second membre associé au système $(S)$ le système ${}\quad (S_0)\qquad Y'=AY$

Théorème.

Si $t_0\in I$ et si $Y_0\in \mathbb{C}^p$ il existe une et une seule solution $F$ de $(S)$ telle que $F(t_0)=Y_0.$

L'ensemble des solutions de $(S_0)$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension $p.$
Soit $F_0$ une solution de $(S)$ ; alors $F$ est solution de $(S)$ si et seulement si $F - F_0$ est solution de $(S_0).$

Cas $p = 1.$ Il s'agit de l'équation différentielle $y'=ay+bt$ où $a \in \mathbb{C}$ et $b : I \to \mathbb{C}$ est une fonction continue. Si $t_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{C}$ l'unique solution $f$ de cette équation qui vérifie $f(t_0)=y_0$ est définie sur $I$ par $f(t) = e^{(t-t_0)a}y_0 + e^{at} \displaystyle \int_{t_0}^t e^{-as}b(s)\,ds$ . Une méthode de résolution dans le cas général. On reprend le système $(S)$ avec $p$ quelconque. La matrice $A$ étant triangulable, il existe une matrice triangulaire $T$ et une matrice $P\in GL_p(\mathbb{C})$ telles que $T=P^{-1}AP.$
Considérons le système $(\tilde S)\quad Z'=TZ+P^{-1} B$ On voit que $F$ est solution de $(S)$ si et seulement si $G = P^{-1}F$ est solution de $(\tilde S).$ Or le système $(\tilde S)$ est de la forme $\quad(\tilde S)\qquad \left \lbrace \begin{array}{l} z'_1= \lambda_1z_1+t_{12}z_2+\cdots +t_{1p}z_p+\tilde b_1(t)\\ z'_2=\lambda_2z_2 + \cdots+t_{2p}z_p+\tilde b_2(t)\\ \vdots \\ z'_p = \lambda_pz_p+\tilde b_p(t)\end{array}\right.$ où $\lambda_1,...,\lambda_p$ sont les valeurs propres de $A$ et où on a posé $P^{-1}B(t) = (\tilde b_1(t),...,\tilde b_p(t)).$ Mais on sait résoudre la dernière équation ; si $g_p$ est une solution de cette équation, l'avant dernière équation devient
$z'_{p-1} = \lambda_{p-1}z_{p-1}+t_{p-1,p}g_p+\tilde b_{p-1}(t)$
et on peut la résoudre. Ainsi, de proche en proche on trouve les solutions de $(\tilde S)$ . Pour avoir une solution de $(S)$ il suffit de calculer $F = PG$ où $G$ est une solution de $(\tilde S).$

Théorème.

Soit $Y\in\mathbb{C}^p$ .
La fonction $F:\mathbb{R}\to\mathbb{C}^p$ définie par $F(t)=e^{(t-t_0)A}Y_0$ est la seule solution du système sans second membre $Y'=AY$ telle que $F(t_0)=Y_0.$

Proposition.

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ de multiplicité $m$ et soit $E'_\lambda$ le sous-espace caractéristique relatif à $\lambda.$
Si $Y_0\in E'_\lambda$ , la fonction $F : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ définie par
$F(t) = e^{\lambda( t-t_0)}\left( Y_0+(t-t_0)(A-\lambda I)Y_0+\cdots +\frac{(t-t_0)^{m-1}}{(m-1)!}(A-\lambda I)^{m-1}Y_0\right)$ est la solution du système $(S_0)$ telle que $F(t_0)=Y_0.$

En choisissant une base dans chaque sous-espace caractéristique et en prenant les fonctions définies par la formule ci-dessus, on trouve donc une base de l'espace vectoriel des solutions du système sans second membre $(S_0).$

Soit $\chi_A = (X-\lambda_1)^{m_1}\cdots(X-\lambda_k)^{m_k},$ la décomposition du polynôme caractéristique de $A.$ On sait que $\dim E'_{\lambda_j}=m_j$ pour $1\leq j \leq k.$ Ceci montre qu'une solution $F$ de $(S_0)$ peut s'écrire
$F(t)=\sum_{j=1}^ke^{\lambda_jt}P_j(t)$ où chaque $P_j$ est un "polynôme" à coefficients dans $\mathbb{C}^p$ de degré au plus $m_j-1$ .

Méthode de la "variation des constantes"

On vient de voir que la fonction $F(t)=e^{tA}Y_0$ est une solution de $(S_0).$ On cherche une solution du système avec second membre $(S)$ sous la forme $F(t) = e^{tA}C(t),$ où $C:I\to\mathbb{C}^p$ est une fonction dérivable. On a $F'(t) = Ae^{tA}C(t) + e^{tA}C'(t),$ donc $F$ est solution de $(S)$ si et seulement si $C'(t) = e^{-tA}B(t)$ ce qui permet de trouver $C$ en déterminant ses fonctions coordonnées.

Solutions réelles

Supposons que $A \in{\cal M}_p(\mathbb{R})$ et que la fonction $B$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$ . Alors les solutions du système sans second membre qui sont à valeurs réelles, forment un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $p$ et, comme dans le cas complexe, il suffit de connaître une solution du système $(S)$ pour les avoir toutes. Comme $e^{tA}\in {\cal M}_p(\mathbb{R}),$ on obtient les solutions de $(S)$ de manière analogue au cas complexe. Si $A$ a toutes ses valeurs propres réelles, $A$ est triangulable dans ${\cal M}_p(\mathbb{R})$ et le calcul de $e^{tA}$ ou la résolution du système triangulaire équivalent sont faciles. Si $A$ a des valeurs propres complexes non réelles, il y a plusieurs stratégies possibles.
On peut remarquer que si $F$ est une solution de $(S_0)$ à valeurs complexes, alors sa partie réelle et sa partie imaginaire sont des solutions de $(S_0)$ qui sont à valeurs réelles. On peut donc construire une base de solutions réelles, à partir d'une base de solutions complexes.

En écrivant toutes les solutions complexes, on peut jouer sur le choix des constantes complexes, pour obtenir des solutions à valeurs réelles.

On sait que la matrice $A$ est semblable dans ${\cal M}_p(\mathbb{R})$ à une matrice $M$ formée d'un bloc diagonal réel et de blocs sur la diagonale de la forme
$M(a,b) = \left(\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a\end{array}\right)$
avec $b\neq 0.$ Après changement de variable, il suffit donc de résoudre des systèmes de la forme $\left \lbrace \begin{array}{l} y'_1 = ay_1+by_2 \\ y'_2 = -by_1+ay_2 \end{array}\right.$
La matrice $M(a,b)$ a les valeurs propres conjuguées $a\pm ib.$ En cherchant les parties réelles et imaginaires des solutions complexes, on trouve les solutions réelles suivantes : $F(t) = C_1\left(\begin{array}{r} e^{at}\cos bt\\ -e^{at} \sin bt\end{array}\right) + C_2\left(\begin{array}{l} e^{at}\sin bt\\ e^{at}\cos bt \end{array}\right)\quad {\rm avec}\ (C_1,C_2)\in\mathbb{R}^2$

IV. Equations différentielles linéaires d'ordre $p$ à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire d'ordre $p$ à coefficients constants est une équation de la forme $(E)\quad y^{(p)}+a_{p-1}y^{(p-1)}+\cdots +a_1y'+a_0y=b(t)$ où $a_0,...,a_{p-1}$ sont des nombres complexes et où $b : I\to\mathbb{C}$ est une fonction continue à valeurs complexes.
Une solution de $(E)$ est une fonction $f : I\to\mathbb{C}$ qui est $p$ fois dérivable et telle que $(\forall t\in I)\ f^{(p)}(t)+a_{p-1}f^{(p-1)}(t)+\cdots+a_0f(t)=b(t)$ Soit $f : I\to\mathbb{C}$ une fonction $p$ fois dérivable et soit $F : I\to\mathbb{C}^p$ la fonction $F = (f,f', f'', ..., f^{(p-1)}).$ Alors $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $F$ est solution du système $(S(E)) \quad\left \lbrace \begin{array}{l} y'_1= y_2 \\ y'_2= y_3 \\ \vdots \\ y'_p = -a_0y_1-a_1y_2-\cdots -a_{p-1}y_p+b(t)\end{array}\right. \\$ La matrice $A$ de ce système est la transposée de la matrice compagnon du polynôme $P = X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\cdots+a_0.$
Ce polynôme, visible dès la donnée de l'équation est le polynôme caractéristique de l'équation $(E).$ On sait que $\chi_A=P.$ Les valeurs propres et les sous-espaces caractéristiques de $A$ sont donc déterminés par $P.$
On appelle équation homogène ou équation sans second membre associée à $(E),$ l'équation $(E_0)\quad y^{(p)}+a_{p-1}y^{(p-1)}+\cdots +a_1y'+a_0y=0$ L'ensemble des solutions de $(E_0)$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension $p$ et si $f_0$ est une solution de $(E)$ une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-f_0$ est solution de $(E_0)$ .
Soit $P=(X-\lambda_1)^{m_1}\cdots (X-\lambda_k)^{m_k}$ la décomposition de $P$ en facteurs du premier degré dans $\mathbb{C}\left[X\right]$ . Compte tenu du fait qu'une solution $f$ de $(E_0)$ est la première fonction coordonnée d'une solution $F$ de $S(E)_0$ et de la description des solutions de ce système on voit que toute solution $f$ de $(E_0)$ est de la forme $f(t) = e^{\lambda_1t}P_1(t)+\cdots+e^{\lambda_kt}P_k(t)$ où $P_j$ est un polynôme de degré inférieur à $m_j-1$ pour $1\leq j\leq k$ .
Pour trouver les solutions de $(E)$ on peut utiliser la méthode de "variation des constantes".
Si $a_0,...a_{p-1}$ sont réels et si la fonction $b$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$ on peut chercher les solutions de $(E)$ qui sont à valeurs réelles. Dans ce cas, comme pour les systèmes, il suffit de remarquer que la partie réelle et la partie imaginaire d'une solution à valeurs complexes de $(E_0)$ sont encore des solutions.

Publié par Camelia le 21-12-2020

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