1) C) car le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente en un point
2) D) on utilise la formule
3) B) on compte le nombre de carreaux sous la courbe
4) A) une fonction est concave sur un intervalle lorsque la dérivée seconde est négative
5 points
exercice 2
Partie A
Données :
60% collégiens donc 0,6
40% lycéens donc 0,4
80% ont un téléphone donc 0,8
70% des collégiens ont un téléphone (probabilité que l'élève a un téléphone sachant qu'il est collégien, probabilité conditionnelle) donc 0,7
1) P (C) = 0,6
P (L) = 0,4
P (T) = 0,8
PC (T) = 0,7
2)
3) (probabilité conditionnelle)
4)
5) a) Formule des probabilités totales :
Partie B
XN (2500 ; 422500)
1) , utiliser normalfrep ou normalcdm de la calculatrice
normalfrep (2000,3000,2500,650)
2) Pour calculer , il faut passer par l'événement contraire :
Donc ( utiliser la même fonctionnalité que précédemment et rentrer une valeur négative très grande pour a, exemple -10000000)
3) Pour trouver la valeur de a, il faut utiliser la fonctionnalité invNorm (0,8, 2500, 650) de la calculatrice. La valeur de a arrondie à l'unité est donc de 3048. En France en 2012 la probabilité que les adolescents envoient moins de 3048 SMS par mois est de 0,8.
5 points
exercice 3
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L
1 a) En 2016, il faut calculer l'augmentation de 12%, c'est-à-dire contrats supplémentaires. A ces contrats il faut enlever les 6 résiliés : 84-6=78.
En 2016, l'entreprise dénombre 78 contrats.
b) L'augmentation de 12% se traduit par la multiplication de par le nombres de contrats de l'année n. A cette augmentation il faut soustraire les 6 contrats résiliés par an.
On a donc
2) a) Afficher n
b)
Valeur de n
0
1
2
3
4
5
6
7
Valeur de U
75
78
81
85
89
94
99
105
c) La valeur affichée est 7, c'est-à-dire le nombre d'année après 2015. 2015 + 7 = 2022
A partir de 2022, le nombre de contrats dépasse 100, l'entreprise va donc devoir embaucher un employé supplémentaire.
3) a) Pour montrer qu'une suite est géométrique il faut calculer le rapport . Le nombre trouvé ne doit pas dépendre de n pour que la suite soit géométrique.
La suite v est donc une suite géométrique de raison 1,12 et de premier terme
b) Un suite géométrique est de la forme
Ici
Or donc
c) dans les réels donc dans l'ensemble des entiers naturels,
d) Nous retrouvons bien le nombre d'années à partir de 2015 pour lequel l'entreprise a plus de 100 contrats et doit embaucher.
5 points
exercice 3
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité en ES
PARTIE A
1) 1-0,12=0,88 et 1-0,20=0,80
Matrice de transition :
2) a) Pour montrer que l'état stable est P = (0,375 0,625), il faut calculer PM. Le résultat doit être égal à P.
b) L'entreprise peut atteindre son objectif puisque 0,350 est inférieur à 0,375, c'est-à-dire que l'objectif est inférieur à l'état stable. A partir de l'état stable l'entreprise n'évolue plus.
PARTIE B
1) Il faut se servir du graphe probabiliste. L'entreprise récupère 0,12 clients durant l'année n+1. Mais l'entreprise perd également des clients chaque année. Il faut multiplier le nombre de contrats de départ par 0,88-0,20=0,68
Donc
2) a)
Valeurs de n
0
1
2
3
4
5
6
Valeurs de C
0,15
0,222
0,271
0,304
0,327
0,342
0,352
b) La valeur affichée sera 6 puisque c'est à partir de cette valeur que . Ainsi il faudra que l'entreprise PiscinePlus attende 6 années après 2015, c'est-à-dire 2021 pour qu'au moins 35% des propriétaires de piscines soient clients de cette entreprise sous contrats d'entretien.
3) a) Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut trouver le rapport
Ici
V est donc une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme
b) dans l'ensemble des réels
Donc dans l'ensemble des entiers naturels.
c) Nous retrouvons la réponse à la question 2b, c'est-à-dire qu'il faut que l'entreprise attende 6 années après 2015 (2021) pour qu'au moins 35% des propriétaires de piscines soient clients de l'entreprise sous contrats d'entretiens.
6 points
exercice 4
Partie A
1) Soit
2) a) Donc si et seulement si x appartient à l'intervalle [3 ; 5]
b) f'(x) > 0 si et seulement si x appartient à l'intervalle [3 ; 5[
f'(x)=0 si et seulement si x=5
f'(x) < 0 si et seulement si x appartient à l'intervalle ]5 ; 13]
Partie B
1) D'après la partie A, la fonction f atteint son maximum en x=5. Ce maximum est égal à 9. Ici x représente la centaine de toboggans et f le bénéfice mensuel en milliers d'euros. Donc pour obtenir un bénéfice maximal l'entreprise doit produire 500 toboggans pour un bénéfice de 9000 euros.
2) Le bénéfice moyen correspond à la valeur moyenne de l'intégrale, c'est-à-dire,
D'où le bénéfice moyen est de 0,1 , c'est-à-dire 1270 euros.
Partie C
D'après le tableau de variation de la fonction, il existe deux réels tels que f(x) = 0
Sur [3 ; 5], la fonction f est strictement croissante et continue et f(3)<0 et f(5)>0, il existe donc un réel a tel que f(a)=0. De même sur [5 ; 13], la fonction f est strictement décroissante et continue et f(5)>0 et f(13)<0, il existe donc un réel b tel que f(b)=0.
D'après la calculatrice et .
Pour que l'entreprise soit rentable, elle doit fabriquer entre 400 et 900 toboggans en un mois.
Publié par Prof digiSchool
le
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