Fiche de mathématiques
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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Série D

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2ème tour
Durée : 4 heures
Coefficient : 5


Les calculatrices ne sont pas autorisées.


4 points

exercice 1

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (o,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) d'unité graphique 2cm .
Soient les points A(1;2;-1)\text{ , }B(2;0;1)\text{ , }C(2;3;1)\text{ et }D(3;-2;2) .

1-a) Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC} .
b) Les points A,B,C déterminent-ils un plan ? Justifier
c) Les points A,B,C\text{ et }D sont-ils coplanaires ?

2) Calculer en \text{ cm}^2 , l'aire du triangle ABC .

3) Calculer en \text{ cm}^3 , le volume du tétraèdre ABCD .

4 points

exercice 2

Lors d'une campagne publicitaire , un agent commercial d'une société de la place a dans son sac 20 tee-shirts dont trois (03) de couleur noire , sept (07) de couleur blanche et dix (10) de couleur jaune . Il tire au hasard et simultanément de son sac trois tee-shirts qu'il remet à un client .

1-a) Calculer la probabilité des évènements suivants :

E:" Parmi les trois tee-shirts figurent un seul noir et au moins un jaune "
F:" Les trois tee-shirts sont tous de couleurs différentes " .

b) Calculer la probabilité que les trois tee-shirts soient tous de couleurs différentes sachant qu'y figurent un seul tee-shirt noir et au moins un tee-shirt jaune .

2) Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de tee-shirts blancs obtenus par le client .
a) Déterminer la loi de probabilité de X .
b) Calculer l'espérance mathématique de X .
c) Déterminer la fonction de répartition de X .

12 points

probleme

On considère la fonction f définie sur \R par : f(x)=x^2-3+2(1-x)e^{1+x}
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2cm .

Partie A (7,5 points)

1-a) Vérifier que , pour x\neq 0 \text{ : }f(x)=x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] .
b) Montrer que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty .
c) Calculer la limite de f en -\infty .

2-a) Montrer que pour tout réel x \text{ , }f'(x)=2x(1-e^{1+x}) .
b) En déduire le sens de variations de f , puis dresser son tableau de variations .

3-a) Soit g la restrition de f à l'intervalle I=[0,+\infty[ .
Montrer que g réalise une bijection de I vers un intervalle J que l'on précisera .
b) Montrer que l'équation f(x)=-3 admet une unique solution \alpha dans ]1,2[ .

4) Construire la parabole (P) d'équation y=x^2-3 , puis les courbes (C) et (\Gamma) de g^{-1} dans le même repère .

Partie B (4,5 points)

1) Soit k la fonction définie sur \R par : k(x)=(1-x)e^{1+x} .
a) Montrer que la fonction G définie sur \R par : G(x)= (-x+2)e^{1+x} est une primitive de k sur \R .
b) Soit \lambda un réel inférieur ou égal à -1 . Déterminer en cm² , l'aire A(\lambda) de la partie du plan délimitée par la courbe (C) , la parabole (P) et les droites d'équations x=-1 \text{ et } x=\lambda .
c) Calculer \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) .

2) On désigne par (\Sigma) la partie du plan délimitée par la parabole (P) et les droites d'équations x=0 \text{ , } x=\sqrt{3} \text{ et }y=0 .
Calculer en \text{ cm}^3 , le volume V du solide engendré par la rotation complète de (\Sigma) autour de l'axe des abscisses .

3) On considère la fonction h définie par h(x)=x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|} \text{ , }x\in\R .
a) Etudier la parité de h.
b) Comparer h et f sur ]-\infty , 0] .
c) Sans étudier les variations de h , déduire la construction de la courbe représentative (C') de h . Justifier .

On donne e^3\approx 20,08 \text{ ; }e\approx 2,72 \text{ ; }e^2\approx 7,4







exercice 1

1-a) On a A(1;2;-1)\text{ , }B(2;0;1)\text{ et }C(2;3;1) .

On calcule les coordonnées de: \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2-1\\0-2\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A\\y_C-y_A\\z_C-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1\\3-2\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}

On en tire les coordonnées du produit vectoriel: \left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\left(\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-2\times 2-2\\-(2-2)\\1-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}

Donc:

\boxed{\left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}}


b) Puisque \left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}\neq \vec{0}

Alors les vecteurs \overrightarrow{AB}\text{ et } \overrightarrow{AC}\text{ ne sont pas colinéaires, ce qui veut dire que les points }A\text{ , }B\text{ et }C ne sont pas alignés.

D'où:

\boxed{\text{Les points }A,B\text{ et }C \text{ déterminent un plan}}


c) Le vecteur \left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC) .

Donc une équation de ce plan s'écrit : (ABC)\text{ : }-6\times x +0\times y +3\times z +d=0\text{ , avec }d\in\R

Ce qui donne (ABC)\text{ : }-6x +3z +d=0\text{ , avec }d\in\R .

De plus , on a A\in(ABC) , alors : -6x_A+3z_A+d=0\iff -6-3+d=0\iff d=9

On obtient :
(ABC)\text{ : }-6x+3z+9=0\iff \boxed{ (ABC)\text{ : }-2x+z+3=0}


Or, D(3;-2;2) \text{ , donc }-2x_D+z_D+3=-6+2+3=-1\neq 0 , donc D\notin (ABC)

On en déduit que:

\boxed{\text{Les points }A,B,C\text{ et }D \text{ ne sont pas coplanaires}}


2) L'aire du triangle ABC qu'on note \mathscr{A}_{ABC} en unité d'aire (UA) est donnée par la relation:

\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||}{2}


Calculons ||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||\text{ : } On a \left(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right)\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}.

Donc: ||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||=\sqrt{(-6)^2+0^2+3^2}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}

On obtient donc: \mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2} \text{ (UA)}

Finalement, l'unité graphique est 2cm , donc: 1\text{ UA}=2\times 2=4\text{cm}^2

\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{||\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}||}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2} \text{ (UA)}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\times 4\text{ cm}^2\Rightarrow \boxed{\mathscr{A}_{ABC}=6\sqrt{5}\text{ cm}^2}

3) Le volume du tétraèdre ABCD qu'on note \mathscr{V}_{ABCD} en unité de volume (UV) est donné par la relation:

\mathscr{V}_{ABCD}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{ABC} \enskip d(D;(ABC)) \enskip\text{ , avec }d(D;(ABC)\text{ la distance entre }D\text{ et }ABC


On a:
d(D;(ABC))=\dfrac{|-2x_D+z_D+3|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}


Donc:

\mathscr{V}_{ABCD}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{ABC} \enskip d(D;(ABC))=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2} \enskip\text{ (UV)}

Finalement, l'unité graphique est 2cm , donc: 1\text{ UV}=2^3=8\text{cm}^3

\boxed{\mathscr{V}_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\text{ (UV)}=4\text{ cm}^3}


exercice 2

1-a) Puisque E "Parmi les trois tee-shirts figurent un seul noir et au moins un jaune" , donc E=\lbrace N;J;J\rbrace \text{ ou }\lbrace N;J;B\rbrace

Donc:
P(E)=\dfrac{{3\choose 1}{7\choose 1}{10\choose 1}+{3\choose 1}{10\choose 2}}{{20\choose 3}}=\dfrac{345}{1140}\Rightarrow \boxed{P(E)=\dfrac{23}{76}}


D'autre part F "Les trois tee-shirts sont tous de couleurs différentes" , donc F=\lbrace N;J;B\rbrace

D'où:
P(E)=\dfrac{{3\choose 1}{7\choose 1}{10\choose 1}}{{20\choose 3}}=\dfrac{210}{1140}\Rightarrow \boxed{P(E)=\dfrac{7}{38}}


b) La probabilité que les trois tee-shirts soient tous de couleurs différentes sachant qu'y figurent un seul tee-shirt noir et au moins un tee-shirt jaune est la probabilité conditionnelle P_E(F)

On a P_E(F)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}

E\cap F correspond à : "Parmi les trois tee-shirts figurent un seul noir et au moins un jaune" ET "Les trois tee-shirts sont tous de couleurs différentes"

La seule façon possible de réaliser cet évènement est: E\cap F=\lbrace N;J;B\rbrace

Donc E\cap F \Rightarrow P(E\cap F)=P(F)

D'où:
P_E(F)=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}=\dfrac{P( F)}{P(E)}=\dfrac{7}{38}\times \dfrac{76}{23}\Rightarrow \boxed{P_E(F)=\dfrac{14}{23}}


2-a) X est la variable aléatoire qui correspond au nombre de tee-shirts blancs tirés, et puisque qu'on tire 3 tee-shirts et qu'il y en a 7 tee-shirts blancs, alors les valeurs prises par X sont : 0\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ et }3

P(X=0)=\dfrac{{13\choose 3}}{{20\choose 3}}=\dfrac{286}{1140}=\dfrac{143}{570}

P(X=1)=\dfrac{{7\choose 1}{13\choose 2}}{{20\choose 3}}=\dfrac{546}{1140}=\dfrac{91}{190}

P(X=2)=\dfrac{{7\choose 2}{13\choose 1}}{{20\choose 3}}=\dfrac{273}{1140}=\dfrac{91}{380}

P(X=3)=\dfrac{{7\choose 3}}{{20\choose 3}}=\dfrac{35}{1140}=\dfrac{7}{228}

On dresse un tableau résumant la loi de probabilité de la variable X :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&\quad0\quad&\quad1\quad&\quad2\quad&\quad3\quad\\ \hline&&&&\\p(X=x_i)&\dfrac{143}{570}&\dfrac{91}{190}&\dfrac{91}{380}&\dfrac{7}{228}\\&&&&\\ \hline \end{array}


b) Calculons l'espérance mathématique E(X) de X :

\begin{matrix}E(X)&=&\displaystyle\sum_{i=0}^3x_i\,p(X=x_i) \\&=& 0\times\dfrac{143}{570}+1\times\dfrac{91}{190}+2\times\dfrac{91}{380}+3\times\dfrac{7}{228}\\&=&\dfrac{21}{20}} \end{matrix}

\boxed{E(X)=\dfrac{21}{20}}


c) La fonction de répartition F de X est définie de \R dans [0;1] par F(x)=p(X\leq x)

Donc, d'après la loi de probabilité de X trouvé en 2-a), on a:

Si x\in]-\infty;0[\text{ : }F(x)=0

Si x\in[0;1[\text{ : }F(x)=\dfrac{143}{570}

Si x\in[1;2[\text{ : }F(x)=\dfrac{286}{1140}+\dfrac{546}{1140}=\dfrac{823}{1140}

Si x\in[2;3[\text{ : }F(x)=\dfrac{823}{1140}+\dfrac{273}{1140}=\dfrac{1105}{1140}=\dfrac{221}{228}

Si x\in[3;+\infty[\text{ : }F(x)=1

Conclusion:

\boxed{\text{ La fonction de répartition }F\text{ est définie par: }F(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x\in]-\infty;0[  \\ \dfrac{143}{570}&\text{ si }x\in[0;1[ \\ \dfrac{823}{1140}&\text{ si }x\in[1;2[ \\ \dfrac{221}{228}&\text{ si }x\in[2;3[ \\ 1 &\text{ si }x\in[3;+\infty[\end{cases}}


probleme

Partie A

1-a) On a pour tout réel x\neq 0\text{ : }

\begin{matrix}x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] &=&x^2-3-2\dfrac{x^2 e\times e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \\&=&x^2-3-2xe^{x+1}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \\&=&x^2-3-2e^{x+1}\left(x-1\right) \\&=&x^2-3+2(1-x)e^{x+1} \\&=&f(x)\end{matrix}

Donc:
\boxed{\text{pour }x\neq 0 \text{ : }f(x)=x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] .}


b) On sait que \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\text{ ; }\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x}=0\text{ et }\lim_{x\to+\infty} \dfrac{2}{x^3}=0

Donc:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] = (+\infty)\left[ 1-0-2e\times (+\infty)\left(1-0\right)\right]= (+\infty)\times(-\infty)=-\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}


c) On sait que \displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^x=0

Donc:

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2-3+2(1-x)e^{x+1}= \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2-3+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)xe^{x}= (+\infty)-3+0=+\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}


2-a) La fonction x\mapsto (1-x)e^{1+x} est dérivable sur \R comme produit de fonctions continues sur \R .

Donc f est une fonction dérivable sur \R comme somme de fonctions dérivables sur \R .

\begin{matrix}\forall x\in\R\text { : }f'(x)&=& \left(x^2-3+2(1-x)e^{x+1}\right)'\\&=& 2x+2\left[(1-x)'e^{x+1}+(1-x)\left(e^{x+1}\right)'\right] \\&=& 2x+2\left(-e^{x+1}+(1-x)e^{x+1}\right) \\&=& 2x+2\left(-e^{x+1}+e^{x+1}-xe^{x+1}\right) \\&=& 2x-2xe^{x+1} \\&=& 2x\left(1-e^{x+1}\right)\end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'(x)=2x(1-e^{1+x}) }


b) On a :

\begin{cases} 1-e^{1+x} \leq 0 \iff 1\leq e^{1+x} \iff \ln 1\leq 1+x \iff -1\leq x \\  1-e^{1+x} \geq 0 \iff 1\geq e^{1+x} \iff \ln 1\geq 1+x \iff -1\geq x\end{cases}

Donc, dressons le tableau de signes de f'(x)\text{ : }

 \begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline  x&-\infty& &-1&&0&&+\infty\\\hline 1-e^{1+x}&&+&\barre{0}&-&\barre{}&-&\\\hline2x&&-&\barre{}&-&\barre{0}&+&\\\hline f'(x)=2x\left(1-e^{1+x} \right)&&-&\barre{0}&+&\barre{0}&-&   \\\hline\end{tabvar}


On en tire que:

\boxed{\begin{matrix}f\text{ est décroissante sur }]-\infty;-1]\cup[0;+\infty[ \\f\text{est croissante sur }[0;1]\end{matrix}}


Et on dresse le tableau de variations de la fonction f\text{ :}

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x     & -\infty  &              & -1     &        &0  &        &   +\infty                                          \\ \hline f'(x) &          & -              &\barre{0}      & +    &\barre{0}      &      -&                                   \\ \hline       &  +\infty      &        &          & &2e-3      & &                                               \\  f           &          &\searrow&          &     \nearrow       &&    \searrow &                                     \\	             &          &        &  2 & &            &        & -\infty                                      \\  \hline \end{array}}


En effet: f(-1)=1-3+4=2\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip f(0)=-3+2e=2e-3

3-a) Soit g la restrition de f à l'intervalle I=[0,+\infty[.

On a g est une fonction continue et strictement décroissante sur I=[0;+\infty[ .

Donc g réalise une bijection de I=[0,+\infty[ sur l'intervalle J=\left] \displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x);g(0)\right] = ]-\infty;2e-3]

\boxed{g \text{ réalise une bijection de }I=[0;+\infty[ \text{ sur }J=]-\infty;2e-3] }


b)Sur [0;+\infty[\text{ , }f est continue et strictement décroissante.

Donc la fonction qu'on note t définie par t(x)=f(x)+3 est elle aussi continue et strictement décroissante sur [0;+\infty[ .

Et puisque [1;2]\subset [0;+\infty[ , alors t est continue et strictement décroissante sur [1;2].

De plus, on a:

t(1)=f(1)+3=1+2(1-1)e^2=1>0

t(2)=f(2)+3=4+2(1-2)e^3=4-2e^3\approx -36,17<0

Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):

t(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[


Donc, l'équation f(x)+3=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[

Ou encore:

\boxed{f(x)=-3\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[}


4)

Construction de (C)\text{ : }

Etudions les branches infinies de la courbe (C) :

On a \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\text{ , calculons alors }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x}\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right]=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right]=(+\infty)\times(-\infty)=-\infty

La courbe (C) admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de +\infty

On a \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\text{ , calculons alors }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\left[x^2-3+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)xe^{x}\right]=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x-\dfrac{3}{x}+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)e^{x}=(-\infty)-0+2e(0-1)\times 0=-\infty

La courbe (C) admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de -\infty


Construction de (P)\text{ :}

Notons p la fonction p(x)=x^2-3 , donc la parabole (P) n'est autre que sa courbe représentative.

On a directement \displaystyle\lim_{x\to-\infty} p(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty} p(x)=+\infty

p est dérivable sur \R et \forall x\in\R\text{ : }p'(x)=2x\text{ , son signe et donc clairement le signe de }x

On dresse alors son tableau de variations :

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x     & -\infty  &                 &0  &        &   +\infty                                          \\ \hline p'(x) &          & -              &\barre{0}      & +     &                                   \\ \hline       &  +\infty      &        &          & &+\infty       \\  p           &          &\searrow&          &     \nearrow       &                                    \\	             &          &        &  -3 & &                                             \\  \hline \end{array}}


En effet p(0)=-3

Enfin, pour mieux construire (P) , cherchons les éventuelles racines de p(x), ce seront les abscisses des éventuelles points d'intersection de (P) avec l'axe des abscisses.

Le discriminent de p(x) est \Delta= 12=(2\sqrt{3})^2>0. Donc p(x) admet deux racines x_1=\dfrac{-2\sqrt{3}}{2}}=-\sqrt{3}\enskip\text{ et }\enskip x_2=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}

Les points A(\sqrt{3};0)\text{ et }B(-\sqrt{3};0) \text{ sont deux points d'intersection de }(P) \text{ avec l'axe des abscisses }


Construction de (\Gamma)\text{ :}

La construction de la courbe (\Gamma) de la fonction g^{-1} se déduit de la partie de (C) sur l'intervalle I=[0;+\infty[ , par symétrie d'axe la première bissectrice du repère, c'est-à-dire la droite d'équation y=x .


Voir le graphique à la fin de la correction du problème.


Partie B

1-a) La fonction G est une fonction dérivable sur \R comme produit de fonctions dérivables sur \R

\begin{matrix}\forall x\in\R\text { : }G'(x)&=& \left((-x+2)e^{x+1}\right)'\\&=& (-x+2)'e^{x+1}+(-x+2)\left(e^{x+1}\right)' \\&=& -e^{x+1}+(-x+2)e^{x+1} \\&=&\left(-1-x+2)e^{x+1} \\&=& (1-x)e^{x+1} \\&=& k(x)\end{matrix}

On en déduit que:

\boxed{\text{La fonction } G \text{ est une primitive de }k \text{ sur }\R }


b)Soit \lambda \leq-1 .

L'aire A(\lambda) de la partie du plan délimitée par la courbe (C) , la parabole (P) et les droites d'équations x=-1 \text{ et } x=\lambda \leq -1 s'écrit en unité d'aire (UA) :

A(\lambda)=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} \left| f(x)-p(x)\right|\text{ d}x


On a, pour tout x appartenant à [\lambda;-1]\text{ : }x\leq -1 \Longrightarrow -x\geq 1 \Longrightarrow 1-x\geq 2>0

De plus, pour tout réel x \text{ : } e^{x+1}>0 , donc:

\forall x\in [\lambda;-1]\text{ : }\left| f(x)-p(x)\right|=\left|x^2-3+2(1-x)e^{1+x} -(x^2-3) \right|=\left|2(1-x)e^{1+x}\right| = 2(1-x)e^{x+1}=2k(x)}

D'où: A(\lambda)=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} \left| f(x)-p(x)\right|\text{ d}x=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} 2k(x)\text{ d}x=[2G(x)]_{\lambda}^{-1} = 2G(-1)-2G(\lambda)

Ensuite, G(\lambda)=(1-\lambda)e^{1+\lambda} \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip G(-1)=2

On obtient: A(\lambda)= 2G(-1)-2G(\lambda)=4-2(1-\lambda)e^{1+\lambda} \text{ (UA)}

Finalement, puisque l'unité graphique est 2cm , alors 1\text{ UA}=2\text{ cm}\times 2\text{ cm}=4\text{ cm}^2

Conclusion:
\boxed{A(\lambda)=8\left[2+(\lambda-1)e^{\lambda+1}\right]\text{ cm}^2}


c)On a:

\begin{matrix} \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) &=&\displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+(\lambda-1)e^{\lambda+1}\right] \\&=& \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1} (\lambda+1)e^{\lambda+1}\right]\end{matrix}

Et puisque:

\displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}(\lambda+1)e^{\lambda+1}\underbrace{=}_{ \begin{smallmatrix}\Lambda=\lambda+1\\\lambda\to-\infty\Rightarrow \Lambda\to -\infty\end{smallmatrix}    }}\displaystyle\lim_{\Lambda\to-\infty}\Lambda e^{\Lambda}=0\enskip\enskikp\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1}=1


Donc: \begin{matrix} \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) &=& \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1} (\lambda+1)e^{\lambda+1}\right]&=& 8(2+0)&=&16\text{ cm}^2\end{matrix}

\boxed{\displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) =16\text{ cm}^2}


2)  (\Sigma) est la partie du plan délimitée par la parabole (P) et les droites d'équations x=0 \text{ , } x=\sqrt{3} \text{ et l'axe des abscisses }y=0 .

Le volume V du solide engendré par la rotation complète de (\Sigma) autour de l'axe des abscisses s'écrit en unité de volume (UV) :

V=\displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left[p(x)\right]^2\text{ d}x\text{ (UV)}\enskip\enskip\text{ , avec }p(x)=x^2-3


\begin{matrix}V&=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left[p(x)\right]^2\text{ d}x &=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^2-3)^2\text{ d}x\\&=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} x^4-6x^2+9\text{ d}x&=&\displaystyle\pi\left[\dfrac{x^5}{5}-2x^3+9x\right]_{0}^{\sqrt{3}} \\&=& \pi\left(\dfrac{\sqrt{3}^5}{5}-2\sqrt{3}^3+9\sqrt{3}\right) &=&\pi \left(\dfrac{9\sqrt{3}}{5}-6\sqrt{3}+9\sqrt{3}\right)\\&=& 3\sqrt{3}\pi\left(\dfrac{3}{5}+1\right)&=& \boxed{\dfrac{24\sqrt{3}}{5}\pi\enskip\text{ (UV)}}\end{matrix}

Finalement, puisque l'unité graphique est 2cm , alors 1\text{ UV}=2\text{ cm}\times 2\text{ cm}\times 2\text{ cm}=8\text{ cm}^3

Le volume V est donc:

V=\left(\dfrac{24\sqrt{3}}{5}\pi\right)\times 8 \Longrightarrow \boxed{V=\dfrac{192\sqrt{3}}{5}\pi\enskip\text{ cm}^3}


3-a) h est définie sur \R définie par h(x)=x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|}

On a, \forall x\in\R\text{ : }-x\in\R .

Et, \forall x\in\R\text{ : }h(-x)=(-x)^2-3+2(1+|-x|)e^{1-|-x|}=x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|}=h(x)

Conclusion:

\boxed{\text{ La fonction }h\text{ est une fonction paire }}


b) Puisque pour tout réel x\in]-\infty;0]\text{ : }x\leq 0\text{ , donc }-x\geq 0 \text{ , il s'ensuit que : } |x|=-x

Donc: \forall x\in]-\infty ; 0]\text{ : }

h(x)=x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|}=x^2-3+2(1-x)e^{1-(-x)}=x^2-3+2(1-x)e^{1+x}=f(x)

\boxed{\forall x\in]-\infty;0]\text{ : } h(x)=f(x)}


c) Puisque sur l'intervalle ]-\infty;0]\text{ : }h=f\text{ , alors les courbes }(C)\text{ et }(C') \text{ sont confondues sur cet intervalle. }

Et comme h est une fonction paire, sa courbe représentative (C') est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui permet de compléter la construction de la courbe (C').

Graphique:

Bac Burkina Faso 2022 série D - 2ème tour : image 1
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