L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 2cm .
Soient les points .
1-a) Calculer les coordonnées du vecteur .
b) Les points déterminent-ils un plan ? Justifier
c) Les points sont-ils coplanaires ?
2) Calculer en , l'aire du triangle .
3) Calculer en , le volume du tétraèdre .
4 points
exercice 2
Lors d'une campagne publicitaire , un agent commercial d'une société de la place a dans son sac 20 tee-shirts dont trois (03) de couleur noire , sept (07) de couleur blanche et dix (10) de couleur jaune . Il tire au hasard et simultanément de son sac trois tee-shirts qu'il remet à un client .
1-a) Calculer la probabilité des évènements suivants :
E:" Parmi les trois tee-shirts figurent un seul noir et au moins un jaune " F:" Les trois tee-shirts sont tous de couleurs différentes " .
b) Calculer la probabilité que les trois tee-shirts soient tous de couleurs différentes sachant qu'y figurent un seul tee-shirt noir et au moins un tee-shirt jaune .
2) Soit la variable aléatoire réelle égale au nombre de tee-shirts blancs obtenus par le client .
a) Déterminer la loi de probabilité de .
b) Calculer l'espérance mathématique de .
c) Déterminer la fonction de répartition de .
12 points
probleme
On considère la fonction définie sur par : On désigne par la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 2cm .
Partie A (7,5 points)
1-a) Vérifier que , pour .
b) Montrer que .
c) Calculer la limite de en .
2-a) Montrer que pour tout réel .
b) En déduire le sens de variations de , puis dresser son tableau de variations .
3-a) Soit la restrition de à l'intervalle .
Montrer que réalise une bijection de vers un intervalle que l'on précisera .
b) Montrer que l'équation admet une unique solution dans .
4) Construire la parabole d'équation , puis les courbes et de dans le même repère .
Partie B (4,5 points)
1) Soit la fonction définie sur par : .
a) Montrer que la fonction G définie sur par : est une primitive de sur .
b) Soit un réel inférieur ou égal à . Déterminer en cm² , l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe , la parabole et les droites d'équations .
c) Calculer .
2) On désigne par la partie du plan délimitée par la parabole et les droites d'équations .
Calculer en , le volume du solide engendré par la rotation complète de autour de l'axe des abscisses .
3) On considère la fonction définie par .
a) Etudier la parité de .
b) Comparer et sur .
c) Sans étudier les variations de , déduire la construction de la courbe représentative de . Justifier .
2) L'aire du triangle qu'on note en unité d'aire (UA) est donnée par la relation:
Calculons On a .
Donc:
On obtient donc:
Finalement, l'unité graphique est 2cm , donc:
3) Le volume du tétraèdre qu'on note en unité de volume (UV) est donné par la relation:
On a:
Donc:
Finalement, l'unité graphique est 2cm , donc:
exercice 2
1-a) Puisque E "Parmi les trois tee-shirts figurent un seul noir et au moins un jaune" , donc
Donc:
D'autre part F "Les trois tee-shirts sont tous de couleurs différentes" , donc
D'où:
b) La probabilité que les trois tee-shirts soient tous de couleurs différentes sachant qu'y figurent un seul tee-shirt noir et au moins un tee-shirt jaune est la probabilité conditionnelle
On a
correspond à : "Parmi les trois tee-shirts figurent un seul noir et au moins un jaune" ET "Les trois tee-shirts sont tous de couleurs différentes"
La seule façon possible de réaliser cet évènement est:
Donc
D'où:
2-a) est la variable aléatoire qui correspond au nombre de tee-shirts blancs tirés, et puisque qu'on tire 3 tee-shirts et qu'il y en a 7 tee-shirts blancs, alors les valeurs prises par sont :
On dresse un tableau résumant la loi de probabilité de la variable :
b) Calculons l'espérance mathématique de :
c) La fonction de répartition de est définie de dans par
Donc, d'après la loi de probabilité de X trouvé en 2-a), on a:
Si
Si
Si
Si
Si
Conclusion:
probleme
Partie A
1-a) On a pour tout réel
Donc:
b) On sait que
Donc:
c) On sait que
Donc:
2-a) La fonction est dérivable sur comme produit de fonctions continues sur .
Donc est une fonction dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur .
b) On a :
Donc, dressons le tableau de signes de
On en tire que:
Et on dresse le tableau de variations de la fonction
En effet:
3-a) Soit la restrition de à l'intervalle .
On a est une fonction continue et strictement décroissante sur .
Donc réalise une bijection de sur l'intervalle
b)Sur est continue et strictement décroissante.
Donc la fonction qu'on note définie par est elle aussi continue et strictement décroissante sur .
Et puisque , alors est continue et strictement décroissante sur .
De plus, on a:
Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):
Donc, l'équation
Ou encore:
4)
Construction de
Etudions les branches infinies de la courbe :
On a
La courbe admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de
On a
La courbe admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de
Construction de
Notons la fonction , donc la parabole n'est autre que sa courbe représentative.
On a directement
est dérivable sur et
On dresse alors son tableau de variations :
En effet
Enfin, pour mieux construire , cherchons les éventuelles racines de , ce seront les abscisses des éventuelles points d'intersection de avec l'axe des abscisses.
Le discriminent de est . Donc admet deux racines
Les points
Construction de
La construction de la courbe de la fonction se déduit de la partie de sur l'intervalle , par symétrie d'axe la première bissectrice du repère, c'est-à-dire la droite d'équation .
Voir le graphique à la fin de la correction du problème.
Partie B
1-a) La fonction est une fonction dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur
On en déduit que:
b)Soit .
L'aire de la partie du plan délimitée par la courbe , la parabole et les droites d'équations s'écrit en unité d'aire (UA) :
On a, pour tout appartenant à
De plus, pour tout réel , donc:
D'où:
Ensuite,
On obtient:
Finalement, puisque l'unité graphique est 2cm , alors
Conclusion:
c)On a:
Et puisque:
Donc:
2) est la partie du plan délimitée par la parabole et les droites d'équations .
Le volume du solide engendré par la rotation complète de autour de l'axe des abscisses s'écrit en unité de volume (UV) :
Finalement, puisque l'unité graphique est 2cm , alors
Le volume est donc:
3-a) est définie sur définie par
On a, .
Et,
Conclusion:
b) Puisque pour tout réel
Donc:
c) Puisque sur l'intervalle
Et comme est une fonction paire, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui permet de compléter la construction de la courbe .
Graphique:
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le
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)
d'unité graphique 2cm .
\text{ , }B(2;0;1)\text{ , }C(2;3;1)\text{ et }D(3;-2;2))
.
.
déterminent-ils un plan ? Justifier
sont-ils coplanaires ?
, l'aire du triangle 
.
, le volume du tétraèdre 
.
la variable aléatoire réelle égale au nombre de tee-shirts blancs obtenus par le client .
définie sur 
par : =x^2-3+2(1-x)e^{1+x})
)
la courbe représentative de )
d'unité graphique 2cm .
![x\neq 0 \text{ : }f(x)=x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\neq 0 \text{ : }f(x)=x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right])
.
=-\infty)
.
.
=2x(1-e^{1+x}))
.
la restrition de 
.
vers un intervalle 
que l'on précisera .
=-3)
admet une unique solution 
dans ![]1,2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]1,2[)
.
)
d'équation 
, puis les courbes )
de 
dans le même repère .
la fonction définie sur =(1-x)e^{1+x})
.
= (-x+2)e^{1+x})
est une primitive de 
un réel inférieur ou égal à 
. Déterminer en cm² , l'aire )
de la partie du plan délimitée par la courbe 
.
)
.
)
la partie du plan délimitée par la parabole 
.
du solide engendré par la rotation complète de 
définie par =x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|} \text{ , }x\in\R)
.
![]-\infty , 0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty , 0])
.
)
de 
\text{ , }B(2;0;1)\text{ et }C(2;3;1))
.
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\enskip\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip\enskip\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A\\y_C-y_A\\z_C-z_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1\\3-2\\1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix})
\left(\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-2\times 2-2\\-(2-2)\\1-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix})
\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}})
\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}\neq \vec{0})
ne sont pas alignés.
\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix})
est un vecteur normal au plan )
.
\text{ : }-6\times x +0\times y +3\times z +d=0\text{ , avec }d\in\R )
\text{ : }-6x +3z +d=0\text{ , avec }d\in\R )
.
)
, alors : 
\text{ : }-6x+3z+9=0\iff \boxed{ (ABC)\text{ : }-2x+z+3=0})
 \text{ , donc }-2x_D+z_D+3=-6+2+3=-1\neq 0 )
, donc )
en unité d'aire (UA) est donnée par la relation:
On a ^2+0^2+3^2}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5})
})
}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\times 4\text{ cm}^2\Rightarrow \boxed{\mathscr{A}_{ABC}=6\sqrt{5}\text{ cm}^2})
en unité de volume (UV) est donné par la relation:
) \enskip\text{ , avec }d(D;(ABC)\text{ la distance entre }D\text{ et }ABC)
)=\dfrac{|-2x_D+z_D+3|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}})
)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2} \enskip\text{ (UV)})
}=4\text{ cm}^3})
=\dfrac{{3\choose 1}{7\choose 1}{10\choose 1}+{3\choose 1}{10\choose 2}}{{20\choose 3}}=\dfrac{345}{1140}\Rightarrow \boxed{P(E)=\dfrac{23}{76}})
=\dfrac{{3\choose 1}{7\choose 1}{10\choose 1}}{{20\choose 3}}=\dfrac{210}{1140}\Rightarrow \boxed{P(E)=\dfrac{7}{38}})
)
=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)})
correspond à : "Parmi les trois tee-shirts figurent un seul noir et au moins un jaune" ET "Les trois tee-shirts sont tous de couleurs différentes"
=P(F))
=\dfrac{P(E\cap F)}{P(E)}=\dfrac{P( F)}{P(E)}=\dfrac{7}{38}\times \dfrac{76}{23}\Rightarrow \boxed{P_E(F)=\dfrac{14}{23}})
=\dfrac{{13\choose 3}}{{20\choose 3}}=\dfrac{286}{1140}=\dfrac{143}{570})
=\dfrac{{7\choose 1}{13\choose 2}}{{20\choose 3}}=\dfrac{546}{1140}=\dfrac{91}{190})
=\dfrac{{7\choose 2}{13\choose 1}}{{20\choose 3}}=\dfrac{273}{1140}=\dfrac{91}{380})
=\dfrac{{7\choose 3}}{{20\choose 3}}=\dfrac{35}{1140}=\dfrac{7}{228})
&\dfrac{143}{570}&\dfrac{91}{190}&\dfrac{91}{380}&\dfrac{7}{228}\\&&&&\\ \hline \end{array})
)
de &=&\displaystyle\sum_{i=0}^3x_i\,p(X=x_i) \\&=& 0\times\dfrac{143}{570}+1\times\dfrac{91}{190}+2\times\dfrac{91}{380}+3\times\dfrac{7}{228}\\&=&\dfrac{21}{20}} \end{matrix})
=\dfrac{21}{20}})
de ![[0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0;1])
par =p(X\leq x))
![x\in]-\infty;0[\text{ : }F(x)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]-\infty;0[\text{ : }F(x)=0)
=\dfrac{143}{570})
=\dfrac{286}{1140}+\dfrac{546}{1140}=\dfrac{823}{1140})
=\dfrac{823}{1140}+\dfrac{273}{1140}=\dfrac{1105}{1140}=\dfrac{221}{228})
=1)
![\boxed{\text{ La fonction de répartition }F\text{ est définie par: }F(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x\in]-\infty;0[ \\ \dfrac{143}{570}&\text{ si }x\in[0;1[ \\ \dfrac{823}{1140}&\text{ si }x\in[1;2[ \\ \dfrac{221}{228}&\text{ si }x\in[2;3[ \\ 1 &\text{ si }x\in[3;+\infty[\end{cases}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ La fonction de répartition }F\text{ est définie par: }F(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x\in]-\infty;0[ \\ \dfrac{143}{570}&\text{ si }x\in[0;1[ \\ \dfrac{823}{1140}&\text{ si }x\in[1;2[ \\ \dfrac{221}{228}&\text{ si }x\in[2;3[ \\ 1 &\text{ si }x\in[3;+\infty[\end{cases}})
![\begin{matrix}x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] &=&x^2-3-2\dfrac{x^2 e\times e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \\&=&x^2-3-2xe^{x+1}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \\&=&x^2-3-2e^{x+1}\left(x-1\right) \\&=&x^2-3+2(1-x)e^{x+1} \\&=&f(x)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] &=&x^2-3-2\dfrac{x^2 e\times e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \\&=&x^2-3-2xe^{x+1}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) \\&=&x^2-3-2e^{x+1}\left(x-1\right) \\&=&x^2-3+2(1-x)e^{x+1} \\&=&f(x)\end{matrix})
![\boxed{\text{pour }x\neq 0 \text{ : }f(x)=x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] .}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{pour }x\neq 0 \text{ : }f(x)=x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] .})
![\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] = (+\infty)\left[ 1-0-2e\times (+\infty)\left(1-0\right)\right]= (+\infty)\times(-\infty)=-\infty](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right] = (+\infty)\left[ 1-0-2e\times (+\infty)\left(1-0\right)\right]= (+\infty)\times(-\infty)=-\infty )
=-\infty})
=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2-3+2(1-x)e^{x+1}= \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2-3+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)xe^{x}= (+\infty)-3+0=+\infty )
=+\infty})
e^{1+x})
est dérivable sur ![\begin{matrix}\forall x\in\R\text { : }f'(x)&=& \left(x^2-3+2(1-x)e^{x+1}\right)'\\&=& 2x+2\left[(1-x)'e^{x+1}+(1-x)\left(e^{x+1}\right)'\right] \\&=& 2x+2\left(-e^{x+1}+(1-x)e^{x+1}\right) \\&=& 2x+2\left(-e^{x+1}+e^{x+1}-xe^{x+1}\right) \\&=& 2x-2xe^{x+1} \\&=& 2x\left(1-e^{x+1}\right)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in\R\text { : }f'(x)&=& \left(x^2-3+2(1-x)e^{x+1}\right)'\\&=& 2x+2\left[(1-x)'e^{x+1}+(1-x)\left(e^{x+1}\right)'\right] \\&=& 2x+2\left(-e^{x+1}+(1-x)e^{x+1}\right) \\&=& 2x+2\left(-e^{x+1}+e^{x+1}-xe^{x+1}\right) \\&=& 2x-2xe^{x+1} \\&=& 2x\left(1-e^{x+1}\right)\end{matrix} )
=2x(1-e^{1+x}) })
\text{ : })
=2x\left(1-e^{1+x} \right)&&-&\barre{0}&+&\barre{0}&-& \\\hline\end{tabvar})
![\boxed{\begin{matrix}f\text{ est décroissante sur }]-\infty;-1]\cup[0;+\infty[ \\f\text{est croissante sur }[0;1]\end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{matrix}f\text{ est décroissante sur }]-\infty;-1]\cup[0;+\infty[ \\f\text{est croissante sur }[0;1]\end{matrix}})
 & & - &\barre{0} & + &\barre{0} & -& \\ \hline & +\infty & & & &2e-3 & & \\ f & &\searrow& & \nearrow && \searrow & \\ & & & 2 & & & & -\infty \\ \hline \end{array}})
=1-3+4=2\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip f(0)=-3+2e=2e-3)
.
![J=\left] \displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x);g(0)\right] = ]-\infty;2e-3]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?J=\left] \displaystyle \lim_{x\to+\infty} g(x);g(0)\right] = ]-\infty;2e-3])
![\boxed{g \text{ réalise une bijection de }I=[0;+\infty[ \text{ sur }J=]-\infty;2e-3] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{g \text{ réalise une bijection de }I=[0;+\infty[ \text{ sur }J=]-\infty;2e-3] })
est continue et strictement décroissante.
définie par =f(x)+3)
est elle aussi continue et strictement décroissante sur 
.
![[1;2]\subset [0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;2]\subset [0;+\infty[)
, alors ![[1;2]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[1;2])
.
=f(1)+3=1+2(1-1)e^2=1>0 )
=f(2)+3=4+2(1-2)e^3=4-2e^3\approx -36,17<0)
![t(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[)
![f(x)+3=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)+3=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[)
![\boxed{f(x)=-3\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{f(x)=-3\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1;2[})
\text{ : })
=-\infty\text{ , calculons alors }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x})
![\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x}\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right]=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right]=(+\infty)\times(-\infty)=-\infty](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{x}\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right]=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left[1-\dfrac{3}{x^2}-2e \dfrac{e^x}{x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\right]=(+\infty)\times(-\infty)=-\infty )
=+\infty\text{ , calculons alors }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x})
![\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\left[x^2-3+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)xe^{x}\right]=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x-\dfrac{3}{x}+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)e^{x}=(-\infty)-0+2e(0-1)\times 0=-\infty](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\left[x^2-3+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)xe^{x}\right]=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x-\dfrac{3}{x}+2e\left(\dfrac{1}{x}-1\right)e^{x}=(-\infty)-0+2e(0-1)\times 0=-\infty )
\text{ :})
la fonction =x^2-3)
, donc la parabole =\displaystyle\lim_{x\to+\infty} p(x)=+\infty)
=2x\text{ , son signe et donc clairement le signe de }x)
 & & - &\barre{0} & + & \\ \hline & +\infty & & & &+\infty \\ p & &\searrow& & \nearrow & \\ & & & -3 & & \\ \hline \end{array}})
=-3)
)
, ce seront les abscisses des éventuelles points d'intersection de ^2>0)
. Donc 
\text{ et }B(-\sqrt{3};0) \text{ sont deux points d'intersection de }(P) \text{ avec l'axe des abscisses })
\text{ :})
, par symétrie d'axe la première bissectrice du repère, c'est-à-dire la droite d'équation 
.
est une fonction dérivable sur &=& \left((-x+2)e^{x+1}\right)'\\&=& (-x+2)'e^{x+1}+(-x+2)\left(e^{x+1}\right)' \\&=& -e^{x+1}+(-x+2)e^{x+1} \\&=&\left(-1-x+2)e^{x+1} \\&=& (1-x)e^{x+1} \\&=& k(x)\end{matrix} )
.
s'écrit en unité d'aire (UA) :
=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} \left| f(x)-p(x)\right|\text{ d}x)
appartenant à ![[\lambda;-1]\text{ : }x\leq -1 \Longrightarrow -x\geq 1 \Longrightarrow 1-x\geq 2>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\lambda;-1]\text{ : }x\leq -1 \Longrightarrow -x\geq 1 \Longrightarrow 1-x\geq 2>0)
, donc:
![\forall x\in [\lambda;-1]\text{ : }\left| f(x)-p(x)\right|=\left|x^2-3+2(1-x)e^{1+x} -(x^2-3) \right|=\left|2(1-x)e^{1+x}\right| = 2(1-x)e^{x+1}=2k(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in [\lambda;-1]\text{ : }\left| f(x)-p(x)\right|=\left|x^2-3+2(1-x)e^{1+x} -(x^2-3) \right|=\left|2(1-x)e^{1+x}\right| = 2(1-x)e^{x+1}=2k(x)})
![A(\lambda)=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} \left| f(x)-p(x)\right|\text{ d}x=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} 2k(x)\text{ d}x=[2G(x)]_{\lambda}^{-1} = 2G(-1)-2G(\lambda)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A(\lambda)=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} \left| f(x)-p(x)\right|\text{ d}x=\displaystyle \int_{\lambda}^{-1} 2k(x)\text{ d}x=[2G(x)]_{\lambda}^{-1} = 2G(-1)-2G(\lambda))
=(1-\lambda)e^{1+\lambda} \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip G(-1)=2)
= 2G(-1)-2G(\lambda)=4-2(1-\lambda)e^{1+\lambda} \text{ (UA)})
![\boxed{A(\lambda)=8\left[2+(\lambda-1)e^{\lambda+1}\right]\text{ cm}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{A(\lambda)=8\left[2+(\lambda-1)e^{\lambda+1}\right]\text{ cm}^2})
![\begin{matrix} \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) &=&\displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+(\lambda-1)e^{\lambda+1}\right] \\&=& \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1} (\lambda+1)e^{\lambda+1}\right]\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) &=&\displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+(\lambda-1)e^{\lambda+1}\right] \\&=& \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1} (\lambda+1)e^{\lambda+1}\right]\end{matrix})
e^{\lambda+1}\underbrace{=}_{ \begin{smallmatrix}\Lambda=\lambda+1\\\lambda\to-\infty\Rightarrow \Lambda\to -\infty\end{smallmatrix} }}\displaystyle\lim_{\Lambda\to-\infty}\Lambda e^{\Lambda}=0\enskip\enskikp\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1}=1)
![\begin{matrix} \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) &=& \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1} (\lambda+1)e^{\lambda+1}\right]&=& 8(2+0)&=&16\text{ cm}^2\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}A(\lambda) &=& \displaystyle\lim_{\lambda\to-\infty}8\left[2+\dfrac{\lambda-1}{\lambda +1} (\lambda+1)e^{\lambda+1}\right]&=& 8(2+0)&=&16\text{ cm}^2\end{matrix})
 =16\text{ cm}^2})
 )
est la partie du plan délimitée par la parabole 
.
![V=\displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left[p(x)\right]^2\text{ d}x\text{ (UV)}\enskip\enskip\text{ , avec }p(x)=x^2-3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V=\displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left[p(x)\right]^2\text{ d}x\text{ (UV)}\enskip\enskip\text{ , avec }p(x)=x^2-3 )
![\begin{matrix}V&=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left[p(x)\right]^2\text{ d}x &=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^2-3)^2\text{ d}x\\&=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} x^4-6x^2+9\text{ d}x&=&\displaystyle\pi\left[\dfrac{x^5}{5}-2x^3+9x\right]_{0}^{\sqrt{3}} \\&=& \pi\left(\dfrac{\sqrt{3}^5}{5}-2\sqrt{3}^3+9\sqrt{3}\right) &=&\pi \left(\dfrac{9\sqrt{3}}{5}-6\sqrt{3}+9\sqrt{3}\right)\\&=& 3\sqrt{3}\pi\left(\dfrac{3}{5}+1\right)&=& \boxed{\dfrac{24\sqrt{3}}{5}\pi\enskip\text{ (UV)}}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}V&=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left[p(x)\right]^2\text{ d}x &=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^2-3)^2\text{ d}x\\&=& \displaystyle \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} x^4-6x^2+9\text{ d}x&=&\displaystyle\pi\left[\dfrac{x^5}{5}-2x^3+9x\right]_{0}^{\sqrt{3}} \\&=& \pi\left(\dfrac{\sqrt{3}^5}{5}-2\sqrt{3}^3+9\sqrt{3}\right) &=&\pi \left(\dfrac{9\sqrt{3}}{5}-6\sqrt{3}+9\sqrt{3}\right)\\&=& 3\sqrt{3}\pi\left(\dfrac{3}{5}+1\right)&=& \boxed{\dfrac{24\sqrt{3}}{5}\pi\enskip\text{ (UV)}}\end{matrix})
\times 8 \Longrightarrow \boxed{V=\dfrac{192\sqrt{3}}{5}\pi\enskip\text{ cm}^3})
=x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|})
.
=(-x)^2-3+2(1+|-x|)e^{1-|-x|}=x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|}=h(x))
![x\in]-\infty;0]\text{ : }x\leq 0\text{ , donc }-x\geq 0 \text{ , il s'ensuit que : } |x|=-x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]-\infty;0]\text{ : }x\leq 0\text{ , donc }-x\geq 0 \text{ , il s'ensuit que : } |x|=-x)
![\forall x\in]-\infty ; 0]\text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-\infty ; 0]\text{ : })
=x^2-3+2(1+|x|)e^{1-|x|}=x^2-3+2(1-x)e^{1-(-x)}=x^2-3+2(1-x)e^{1+x}=f(x))
![\boxed{\forall x\in]-\infty;0]\text{ : } h(x)=f(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in]-\infty;0]\text{ : } h(x)=f(x)})
![]-\infty;0]\text{ : }h=f\text{ , alors les courbes }(C)\text{ et }(C') \text{ sont confondues sur cet intervalle. }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;0]\text{ : }h=f\text{ , alors les courbes }(C)\text{ et }(C') \text{ sont confondues sur cet intervalle. })
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