La production d'une association féminine de "Faso danfani" les 8 premières années de son fonctionnement est représentée dans le tableau suivant :
On désigne par la variable égale au rang de l'année et par la variable égale au nombre de pagnes en milliers .
1) Représenter le nuage de points associé à cette série dans un repère orthogonal .
Sur l'axe des abscisses , choisir 1cm pour représenter le rang d'une année .
Sur l'axe des ordonnées , choisir 1cm pour représenter 10 milliers de pagnes .
2-a) Un ajustement linéaire du nuage vous semble-t-il possible? Justifier .
b) Déterminer les coordonnées des points moyens partiels et correspondant aux quatre premiers points et aux quatre derniers respectivement .
c) Déterminer l'équation de la droite sous la forme où et sont des réels à déterminer . Construire cette droite .
3) On suppose par la suite que la tendance de la production se maintient encore pendant 10 ans à partir de l'année 2020 .
Une mairie d'une commune urbaine désire à l'occasion de la fête du 08 mars 2028 commander 150.000 pagnes . La production de l'association en 2027 peut-elle satisfaire entièrement cette commande ? Justifier votre réponse .
4 points
exercice 2
1) Résoudre l'équation différentielle où est une fonction numérique de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur .
2) Déterminer la fonction solution de l'équation dont la courbe représentative dans un repère passe par le point et tel que .
3) Montrer que pour tout élément de , on a : .
4) Résoudre dans l'intervalle , l'équation .
12 points
probleme
Partie A (4,25 points)
Soit une fonction numérique définie sur par .
1-a) Déterminer les limites de aux bornes de .
b) Déterminer le sens de variation de sur ; puis dresser son tableau de variation .
2-a) Montrer que l'équation admet une unique solution sur et une unique solution sur .
b) En déduire le signe de suivant les valeurs de .
Partie B (7,75 points)
Soit la fonction numérique définie sur par et de courbe dans un repère orthonormal du plan (unité graphique 2cm) .
1) Montrer que la fonction est impaire et en déduire la conséquence géométrique pour la courbe .
2-a) Déterminer et montrer que .
b) En déduire le sens de variation de .
c) Déterminer les limites de aux bornes de ; puis dresser son tableau de variation .
3-a) Montrer que la droite est une asymptote oblique de en et en .
b) Etudier la position relative de par rapport à .
4) Tracer la courbe et la droite .
5) Soit un réel strictement supérieur à .
a) Calculer en fonction de , l'aire de la partie du plan comprise entre et les droites d'équations .
On remarquera que .
b) Calculer .
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la variable égale au rang de l'année et par 
la variable égale au nombre de pagnes en milliers .
)
dans un repère orthogonal .
et 
correspondant aux quatre premiers points et aux quatre derniers respectivement .
)
sous la forme 
où 
et 
sont des réels à déterminer . Construire cette droite .
\text{ : }9y''+4y=0)
où 
.
solution de l'équation )
dont la courbe représentative dans un repère )
passe par le point )
et tel que =\dfrac{-2}{3})
.
=2\cos\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{\pi}{6}\right))
.
![[-\pi,\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi,\pi])
, l'équation =0)
.
par =-2x^2+1-\ln |x|)
.
sur ![]-\infty ; 0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty ; 0[ )
et une unique solution 
sur ![]0,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0,+\infty[)
.
)
suivant les valeurs de 
la fonction numérique définie sur =-2x+\dfrac{\ln|x|}{x})
et de courbe )
dans un repère orthonormal )
et montrer que =\dfrac{f(x)}{x^2})
.
\text{ : }y=-2x)
est une asymptote oblique de 
et en 
.
)
.
 )
et la droite 
un réel strictement supérieur à 
.
)
de la partie du plan comprise entre ,(\Delta))
et les droites d'équations 
.
.
)
.
=1,87\text{ et }g(\beta)=-1,87)
 })
)
:
 =\dfrac{10}{4}=2,5 \\ \bar{y_1}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}y_i=\dfrac{1}{4}(15+20+35+40) =\dfrac{110}{4}=27,5 \end{cases})
\text{ est le point moyen des quatre premiers points }})
)
:
 =\dfrac{26}{4}=6,5 \\ \bar{y_2}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}y_i=\dfrac{1}{4}(45+60+70+80) =\dfrac{255}{4}=63,75 \end{cases})
\text{ est le point moyen des quatre derniers points }})
\text{ : }y=ax+b)
une équation cartésienne de la droite 
\text{ : }y=9x+b)
 )
, on a donc :
 \text{ s'écrit : }y=9x+5\end{matrix}})
correspond au rang 
, alors , le nombre de pagnes en milliers que l'association produira est estimé à 
.
\text{ : }9y''+4y=0 \iff y''+\dfrac{4}{9}y=0\iff y''+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2y=0)
, où 
. Alors l'ensemble des solutions de 
par :
 + B\sin(\omega x)\text{ , où }A \text{ , }B\in\R )
\text{ : }\forall x\in\R \enskip , \enskip x\mapsto A \cos\left(\dfrac{2}{3} x\right) + B\sin\left(\dfrac{2}{3} x\right)\text{ , où }A \text{ , }B\in\R })
)
, il s'agit donc de trouver les réels 
et 
tels que =A \cos\left(\dfrac{2}{3} x\right) + B\sin\left(\dfrac{2}{3} x\right))
=\sqrt{3})
 + B\sin\left(\dfrac{2}{3} \times\dfrac{\pi}{2}\right)&\iff& \sqrt{3}=A\cos\left( \dfrac{\pi}{3}\right) + B\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\&\iff& \sqrt{3}=\dfrac{A}{2}+\dfrac{\sqrt{3}B}{2}\\&\iff& A+\sqrt{3}B=2\sqrt{3}\enskip \blue (i)\end{matrix})
de ![\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=&\left[ A \cos\left(\dfrac{2}{3} x\right) + B\sin\left(\dfrac{2}{3} x\right)\right]'\\&=& -\dfrac{2A}{3}\sin\left(\dfrac{2}{3} x\right)+\dfrac{2B}{3}\cos\left(\dfrac{2}{3} x\right)\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=&\left[ A \cos\left(\dfrac{2}{3} x\right) + B\sin\left(\dfrac{2}{3} x\right)\right]'\\&=& -\dfrac{2A}{3}\sin\left(\dfrac{2}{3} x\right)+\dfrac{2B}{3}\cos\left(\dfrac{2}{3} x\right)\end{matrix})
=\dfrac{-2}{3}&\iff& \dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2A}{3}\sin\left(\dfrac{2}{3} \times\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{2B}{3}\cos\left(\dfrac{2}{3} \times\dfrac{\pi}{2}\right)\\&\iff& \dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2A}{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{2B}{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\&\iff&\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2A}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{2B}{3}\times\dfrac{1}{2}\\&\iff& -2=-A\sqrt{3}+B\enskip \blue (ii) \end{matrix})
\black\text{ et } \blue (ii))
le système d'équation suivant : 
\end{cases}\\&\iff&\begin{cases}B=1\\A=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}\end{cases} \\&\iff&\boxed{\begin{cases}A=\sqrt{3}\\B=1\end{cases}}\end{matrix} )
=\sqrt{3} \cos\left(\dfrac{2}{3} x\right) + \sin\left(\dfrac{2}{3} x\right)})
=\cos x \cos y +\sin x\sin y)
 &=&2\left(\cos \left(\dfrac{2}{3}x\right)\cos \dfrac{\pi}{6} + \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right) \sin \dfrac{\pi}{6}\right) \\&=&2\left(\cos \left(\dfrac{2}{3}x\right) \times\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right) \times\dfrac{1}{2}\right)\\&=&\cos \left(\dfrac{2}{3}x\right) \times\sqrt{3} + \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right) \\&=&f(x) \end{matrix})
=2\cos\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{\pi}{6}\right) })
=0&\iff& 2\cos\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0&\iff& \begin{cases}\dfrac{2}{3}x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \\\\\dfrac{2}{3}x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{2}+2k'\pi\end{cases}\enskip , k,k'\in\Z \\\\&\iff& \begin{cases}\dfrac{2}{3}x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \\\\\dfrac{2}{3}x=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{2}+2k'\pi\end{cases}\enskip , k,k'\in\Z&\iff& \begin{cases}x=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{3}{2}\times2k\pi \\\\x=-\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{3}{2}\times2k'\pi\end{cases}\enskip , k,k'\in\Z \\\\&\iff& \begin{cases}x=\pi}+3k\pi \\\\x=-\dfrac{\pi}{2}+3k'\pi\end{cases}\enskip , k,k'\in\Z \end{matrix})
![[-\pi\;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-\pi\;\pi])
.
![k=-1\text{ : }x=\pi-3\pi=-2\pi\notin[-\pi\;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k=-1\text{ : }x=\pi-3\pi=-2\pi\notin[-\pi\;\pi])
.
![\magenta k=0\text{ : }x=\pi+0=\pi\in[-\pi\;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\magenta k=0\text{ : }x=\pi+0=\pi\in[-\pi\;\pi])
.
![k=1\text{ : }x=\pi+3\pi=4\pi\notin[-\pi\;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k=1\text{ : }x=\pi+3\pi=4\pi\notin[-\pi\;\pi])
.
![k'=-1\text{ : }x=-\dfrac{\pi}{2}-3\pi=-\dfrac{7\pi}{2}\notin[-\pi\;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k'=-1\text{ : }x=-\dfrac{\pi}{2}-3\pi=-\dfrac{7\pi}{2}\notin[-\pi\;\pi])
.
![\magenta k'=0\text{ : }x=-\dfrac{\pi}{2}+0=-\dfrac{\pi}{2}\in[-\pi\;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\magenta k'=0\text{ : }x=-\dfrac{\pi}{2}+0=-\dfrac{\pi}{2}\in[-\pi\;\pi])
.
![k'=1\text{ : }x=-\dfrac{\pi}{2}+3\pi=\dfrac{5\pi}{2}\notin[-\pi\;\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?k'=1\text{ : }x=-\dfrac{\pi}{2}+3\pi=\dfrac{5\pi}{2}\notin[-\pi\;\pi])
.
=-2x^2+1-\ln |x|)
.
.
=-2(-x)^2+1-\ln|-x|=-2x^2+1-\ln|x|=f(x))
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
.
![\R\backslash\lbrace 0\rbrace =]-\infty ; 0[\cup ]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\R\backslash\lbrace 0\rbrace =]-\infty ; 0[\cup ]0;+\infty[)
et en 
et en =-2x^2+1-\ln x)
=-\infty)
= \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}-2x^2+1-\ln x=+1-(-\infty)=\boxed{+\infty})
=-2x^2+1-\ln x = x\left(-2x+\dfrac{1}{x} -\dfrac{\ln x }{x}\right))
= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\left(-2x+\dfrac{1}{x} -\dfrac{\ln x }{x}\right)=+\infty \times (-\infty)=\boxed{-\infty})
=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty \\\\ \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty\end{matrix}})
![]-\infty ; 0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty ; 0[)
.
![]0;+ \infty[ \text{ , } f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+ \infty[ \text{ , } f)
est dérivable comme somme des fonctions 
dérivables sur cet intervalle .
![\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(-2x^2+1-\ln x\right)'&=& -4x-\dfrac{1}{x} &=& \boxed{-\dfrac{4x^2+1}{x}}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(-2x^2+1-\ln x\right)'&=& -4x-\dfrac{1}{x} &=& \boxed{-\dfrac{4x^2+1}{x}}\end{matrix} )
![\begin{cases}x>0 \\ x^2>0 \iff 4x^2>0 \iff 4x^2+1>0\end{cases}\text{ , d'où } f'(x)<0\text{ pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases}x>0 \\ x^2>0 \iff 4x^2>0 \iff 4x^2+1>0\end{cases}\text{ , d'où } f'(x)<0\text{ pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[)
![\boxed{ \begin{matrix} f \text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ \\\text{ et par parité de }f \text{ , }f\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;0[\end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{ \begin{matrix} f \text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ \\\text{ et par parité de }f \text{ , }f\text{ est strictement croissante sur }]-\infty;0[\end{matrix}})
 & & + & &\dbarre & & - & \\ \hline & & & +\infty &\dbarre & +\infty & & \\ f & &\nearrow& &\dbarre & &\searrow& \\ & -\infty & &&\dbarre && & -\infty \\ \hline \end{array})
![f\left(]0;+\infty[\right)=]-\infty;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\left(]0;+\infty[\right)=]-\infty;+\infty[)
puisque =+\infty \text{ et }\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty)
.
![0\in]-\infty;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0\in]-\infty;+\infty[)
, alors 
admet un unique antécédent dans ![\boxed{\text{L'équation }f(x)=0 \text{ admet dans } ]-\infty;0[ \text{ une solution unique notée }\alpha } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{L'équation }f(x)=0 \text{ admet dans } ]-\infty;0[ \text{ une solution unique notée }\alpha } })
![\boxed{\text{L'équation }f(x)=0 \text{ admet dans } ]0;+\infty[ \text{ une solution unique notée }\beta } }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{L'équation }f(x)=0 \text{ admet dans } ]0;+\infty[ \text{ une solution unique notée }\beta } })
 && + & \barre{} & + & &\dbarre & & - & \barre{} &-& \\ \hline & && & & +\infty &\dbarre & +\infty & && & \\ & && &\nearrow& &\dbarre & &\searrow& && \\ f & && 0 & & &\dbarre & & &0& & \\ & &\nearrow& & & &\dbarre & & &&\searrow & \\ & -\infty && & &&\dbarre && & && -\infty \\ \hline \end{array})
![\boxed{\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[\text{ : }f(x)\leq 0 \\\\ \forall x\in [\alpha;0[\cup]0;\beta]\text{ : }f(x)\geq 0\end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{matrix} \forall x\in ]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[\text{ : }f(x)\leq 0 \\\\ \forall x\in [\alpha;0[\cup]0;\beta]\text{ : }f(x)\geq 0\end{matrix}} )
=-2x+\dfrac{\ln|x|}{x} )
.
=-2(-x)+\dfrac{\ln|-x|}{-x}=-(-2x)-\dfrac{\ln|-x|}{x}=-\left(-2x+\dfrac{\ln|x|}{x}\right)=-g(x))
\text{ est symétrique par rapport à l'origine du repère }})
, alors on peut écrire =\begin{cases} -2x+\dfrac{\ln x}{x}&\text{ si }x> 0 \\-2x+\dfrac{\ln(-x)}{x}&\text{ si }x< 0 \end{cases})
![]-\infty; 0[\text{ , }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty; 0[\text{ , })
la fonction composée de 
est dérivable sur ![]-\infty; 0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty; 0[)
.
}{x})
est dérivable sur ![]-\infty;0[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;0[)
, et enfin la somme }{x})
dérivable sur &=&\left(-2x+\dfrac{\ln(-x)}{x}\right)'&=&-2+\dfrac{x\ln(-x)'-\ln(-x)}{x^2}&=& \dfrac{-2x^2+1-\ln(-x)}{x^2}\end{matrix})
![]0;+\infty[\text{ , }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[\text{ , })
la fonction 
est dérivable sur 
dérivables sur cet intervalle .
est dérivable sur &=&\left(-2x+\dfrac{\ln x}{x}\right)'&=&-2+\dfrac{x\ln(x)'-\ln(x)}{x^2}&=& \dfrac{-2x^2+1-\ln(x)}{x^2}\end{matrix})
&=&\begin{cases} \dfrac{-2x^2+1-\ln(x)}{x^2}&\text{ si }x> 0 \\\dfrac{-2x^2+1-\ln(-x)}{x^2}&\text{ si }x< 0 \end{cases}&&&=&\dfrac{-2x^2+1-\ln|x|}{x^2}\end{matrix})
=\dfrac{f(x)}{x^2}})
![x\in]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\text{ : }x^2 >0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\text{ : }x^2 >0)
, et par 2-b) de la partie A) : ![\begin{cases} \forall x\in ]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[\text{ : }f(x)\leq 0 \\\\ \forall x\in [\alpha;0[\cup]0;\beta]\text{ : }f(x)\geq 0\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} \forall x\in ]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[\text{ : }f(x)\leq 0 \\\\ \forall x\in [\alpha;0[\cup]0;\beta]\text{ : }f(x)\geq 0\end{cases})
![\begin{cases} \forall x\in ]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[\text{ : }g'(x)\leq 0 \\\\ \forall x\in [\alpha;0[\cup]0;\beta]\text{ : }g'(x)\geq 0\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} \forall x\in ]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[\text{ : }g'(x)\leq 0 \\\\ \forall x\in [\alpha;0[\cup]0;\beta]\text{ : }g'(x)\geq 0\end{cases})
![\boxed{ \begin{matrix} g \text{ est décroissante sur }]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[ \\\text{ et , }g\text{ est croissante sur }[\alpha;0[\cup]0;\beta]\end{matrix}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{ \begin{matrix} g \text{ est décroissante sur }]-\infty;\alpha]\cup[\beta;+\infty[ \\\text{ et , }g\text{ est croissante sur }[\alpha;0[\cup]0;\beta]\end{matrix}})
=-2x+\dfrac{\ln x}{x})
.
= \lim_{x\to 0^{+}} -2x+\dfrac{\ln x}{x}=\boxed{-\infty})
.
= \lim_{x\to +\infty} -2x+\dfrac{\ln x}{x}=\boxed{-\infty})
=-\infty &\text{ ; } & \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\\\\ \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=-\infty&\text{ ; } &\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty\end{matrix}})
 && - & \barre{0} & + & &\dbarre & & + & \barre{0} &-& \\ \hline & +\infty && & & +\infty &\dbarre & & && & \\ & &\searrow& &\nearrow& &\dbarre & && && \\ g & && g(\alpha)\approx 1,87 & & &\dbarre & & & & & \\ & && & & &\dbarre & & &g(\beta)\approx -1,87& & \\ & && & & &\dbarre & & \nearrow &&\searrow & \\ & && & &&\dbarre &-\infty& & && -\infty \\ \hline \end{array})
-(-2x)= \lim_{x\to+\infty} g(x)+2x)
+2x&=&\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} &=&0\end{matrix} )
\text{ d'équation }y=-2x \text{ est asymptote oblique à }(C)\text{ au voisinage de }+\infty})
\text{ est aussi asymptote oblique à }(C)\text{ au voisinage de }-\infty})
![]0;+\infty[\text{ : }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[\text{ : })
![\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)-y=-2x+\dfrac{\ln x}{x}+2x =\dfrac{\ln x}{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)-y=-2x+\dfrac{\ln x}{x}+2x =\dfrac{\ln x}{x} )
-y)
est celui de 
sur cet intervalle .
-y \leq 0 &\text{ si }0<x\leq 1 \\g(x)-y \geq 0 &\text{ si }x\geq 1\end{cases})
=-2\times 1 +\dfrac{\ln 1}{1}=-2)
![\begin{cases}(C)\text{ est en-dessous de }(\Delta) \text{ sur } ]0;1] \\ (C)\text{ coupe }(\Delta) \text{ au point } A(1;-2) \\ (C) \text{ est au dessus de }(\Delta) \text{ sur } [1;+\infty[\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases}(C)\text{ est en-dessous de }(\Delta) \text{ sur } ]0;1] \\ (C)\text{ coupe }(\Delta) \text{ au point } A(1;-2) \\ (C) \text{ est au dessus de }(\Delta) \text{ sur } [1;+\infty[\end{cases})
![]-\infty;0[\text{ , }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty;0[\text{ , })
se déduit par imparité de ![\begin{cases}(C)\text{ est au dessus de }(\Delta) \text{ sur } [-1;0[ \\ (C)\text{ coupe }(\Delta) \text{ au point } B(-1;2) \\ (C) \text{ est en-dessous de }(\Delta) \text{ sur } ]-\infty;-1]\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases}(C)\text{ est au dessus de }(\Delta) \text{ sur } [-1;0[ \\ (C)\text{ coupe }(\Delta) \text{ au point } B(-1;2) \\ (C) \text{ est en-dessous de }(\Delta) \text{ sur } ]-\infty;-1]\end{cases})
![\boxed{\begin{cases}(C)\text{ est au dessus de }(\Delta) \text{ sur } [-1;0[\cup[1;+\infty[ \\ (C)\text{ coupe }(\Delta) \text{ aux points }A(1;-2)\text{ et }B(-1;2) \\ (C) \text{ est en-dessous de }(\Delta) \text{ sur } ]-\infty;-1]\cup]0;1]\end{cases}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\begin{cases}(C)\text{ est au dessus de }(\Delta) \text{ sur } [-1;0[\cup[1;+\infty[ \\ (C)\text{ coupe }(\Delta) \text{ aux points }A(1;-2)\text{ et }B(-1;2) \\ (C) \text{ est en-dessous de }(\Delta) \text{ sur } ]-\infty;-1]\cup]0;1]\end{cases}})
=-\infty\text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} g(x)=+\infty)
.
,(\Delta) )
et les droites d'équations \text{ : })
=\displaystyle \int_{1}^{\lambda}|g(x)-y|\text{ d}x\enskip \text{avec }y=-2x)
-y \geq 0 \text{ pour tout réel }x\geq 1 \text{ , alors : } A(\lambda)=\displaystyle \int_{1}^{\lambda}g(x)-y\text{ d}x)
&=&\displaystyle \int_{1}^{\lambda}g(x)-y\text{ d}x\\&=&\displaystyle \int_{1}^{\lambda}-2x+\dfrac{\ln x}{x}+2x\text{ d}x\\&=&\displaystyle \int_{1}^{\lambda}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x\end{matrix})
=\ln x \\v'(x)=\dfrac{1}{x} \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v(x)=\ln x\end{cases}\enskip\enskip\text{. En effet , }x\geq 1 )
![\begin{matrix}A(\lambda)=\displaystyle \int_{1}^{\lambda}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x&\iff& A(\lambda)=\displaystyle \left[(\ln x)^2\right]_{1}^{\lambda} -\int_{1}^{\lambda}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x \\\\&\iff& A(\lambda)=\displaystyle \left[(\ln x)^2\right]_{1}^{\lambda} -A(\lambda) \\\\&\iff& 2A(\lambda)=(\ln\lambda)^2-(\ln 1)^2 \\\\&\iff& \boxed{A(\lambda)=\dfrac{1}{2}(\ln \lambda)^2\enskip (U.A)}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}A(\lambda)=\displaystyle \int_{1}^{\lambda}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x&\iff& A(\lambda)=\displaystyle \left[(\ln x)^2\right]_{1}^{\lambda} -\int_{1}^{\lambda}\dfrac{\ln x}{x}\text{ d}x \\\\&\iff& A(\lambda)=\displaystyle \left[(\ln x)^2\right]_{1}^{\lambda} -A(\lambda) \\\\&\iff& 2A(\lambda)=(\ln\lambda)^2-(\ln 1)^2 \\\\&\iff& \boxed{A(\lambda)=\dfrac{1}{2}(\ln \lambda)^2\enskip (U.A)}\end{matrix})
, alors ^2=+\infty)
=+\infty})
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