Fiche de mathématiques
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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Série H

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1er tour
Durée : 3 heures
Coefficient : 3


Les calculatrices non programmables et les tables financières sont autorisées.


5 points

exercice 1

Madame TRAORE âgée de 22 ans souhaite se constituer un capital de 4.320.000 F au moyen de versements mensuels de fin de mois de 62.100 F chacun , au taux mensuel de 1,5\% à intérêts composés .

A quel âge pourra-t-elle réunir ce capital ?

5 points

exercice 2

1) Résoudre dans \C l'équation z^2-2\sqrt{3}z+4=0

2) Pour tout nombre complexe z , on pose : f(z)=3z^2+(3+3i\sqrt{3})z-6+6i\sqrt{3} .
a) Calculer f(-2) .
b) Déterminer les nombres complexes a et b tels que , pour tout nombre complexe z \text{ : } f(z)=(z-2)(az+b) .
c) Résoudre dans \C l'équation f(z)=0 .

3) Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :
z_1=\sqrt{3}+i\text{ ; }z_2=\sqrt{3}-i\text{ ; }z_3=1-i\sqrt{3} .

10 points

probleme

I. Soit h la fonction numérique définie par : h(x)=(x+1)e^x-1 .

1-a) Etudier le sens de variations de h .
b) Dresser le tableau de variation de h .

2) Calculer h(0) et en déduire le signe de h(x) suivant les valeurs de x .

II. On considère f la fonction définie par : f(x)=x(e^x-1) et (C) sa courbe dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) : unité graphique 1cm.

1) Calculer les limites de f en -\infty et en +\infty.

2-a) Montrer que la droite (D) d'équation y=-x est une asymptote à la courbe (C) en -\infty .
b) Etudier les positions relatives de la courbe (C) par rapport à la droite (D) .

3-a) Calculer f'(x) , l'expression de la fonction dérivée de f en x .
b) Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x , en utilisant I.
c) Dresser le tableau de variation de f .

4) Tracer (C) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) .
On donne : f(-2)\approx 1,7 \enskip;\enskip f(-1)\approx 0,6\enskip;\enskip f(1)\approx 1,7 \enskip;\enskip f(1,5)\approx 5,2 .

5-a) Vérifier que la fonction F:\mapsto (x-1)e^x-\dfrac{1}{2}x^2 est une primitive de f .
b) Calculer l'aire A de la partie du plan délimitée par la courbe (C) , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0\text{ et }x=1 .







exercice 1

Ici, nous sommes dans le cas où on effectue des versements réguliers sur un compte , alors :

C_n=V\dfrac{(1+\tau)^n-1}{\tau}


Avec :

C_n\text{ : Valeur finale acquise .}

V\text{ : Montant du versement mensuels .}

\tau\text{ : Taux d'intérêt mensuel .}

n \text{ : Durée en mois .}

D'où :

\begin{matrix}C_n=V\dfrac{(1+\tau)^n-1}{\tau}&\iff&  \dfrac{C_n\tau}{V}=(1+\tau)^n-1 \\&\iff& \dfrac{C_n\tau}{V}+1=(1+\tau)^n\\&\iff& \ln\left( \dfrac{C_n\tau}{V}+1\right)=n\ln(1+\tau)\\&\iff& n=\dfrac{\ln\left( \dfrac{C_n\tau}{V}+1\right)}{\ln(1+\tau)}\\&\iff& n=\dfrac{\ln\left( \dfrac{4320000\times 0,015}{62100}+1\right)}{\ln(1+0,015)}\\&\iff& n\approx 47,999\text{ mois } \end{matrix}

Ou encore  n\approx 48\text{ mois }=4\text{ ans} .

Madame TRAORE , âgée de 22 ans , pourra donc réunir son capital à 22+n=22+4=26\text{ ans .}

Conclusion :
\boxed{\text{Madame TRAORE pourra réunir son capital à 26 ans }}


exercice 2

1) Résolvons dans \C l'équation z^2-2\sqrt{3}z+4=0

Calcul du discriminant \Delta= (-2\sqrt{3})^2-4\times 4 =12-16=-4=4i^2=(2i)^2 \neq 0

L'équation admet donc deux solutions distincts z_1 \text{ et }z_2 :

\begin{matrix}z_1&=&\dfrac{2\sqrt{3}-2i}{2}\\&=& \sqrt{3}-i\end{matrix} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip  \begin{matrix}z_2&=&\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{2}\\&=& \sqrt{3}+i\end{matrix}

L'ensemble des solutions de l'équation est :
\boxed{S=\lbrace \sqrt{3}-i\text{ ; }\sqrt{3}+i\rbrace }


2-a) Calcul direct :

\begin{matrix}f(-2)&=&3(-2)^2+(3+3i\sqrt{3})(-2)-6+6i\sqrt{3}\\&=& 3\times 4 -6-6i-6+6i \\&=& 12-12\\&=& 0 \end{matrix}

\boxed{f(-2)=0}


b) Erreur dans l'énoncé : Il s'agit de trouver a et b tels que \text{ : } f(z)=(z\red{+}\black 2)(az+b) .
En effet , on a montré que f(-2)=0 , alors -2 est racine de f(z) .

On a :

\begin{matrix} f(z)=(z+2)(az+b) &\iff& 3z^2+(3+3i\sqrt{3})z-6+6i\sqrt{3}=(z+2)(az+b) \\&\iff& 3z^2+(3+3i\sqrt{3})z-6+6i\sqrt{3}=az^2+bz+2az+2b \\&\iff& 3z^2+(3+3i\sqrt{3})z-6+6i\sqrt{3}=az^2+(2a+b)z+2b \\&\iff& \begin{cases}a=3 \\2a+b=3+3i\sqrt{3}\\2b=-6+6i\sqrt{3} \end{cases}\enskip\text{ (Par identification)}\end{matrix}

On en déduit que a=3\text{ et }b=-3+3i\sqrt{3} .

Et on vérifie que 2a+b=2\times 3 -3+3i\sqrt{3} = 6-3+3i=3+3i\sqrt{3}

Conclusion :

\boxed{\begin{matrix}a=3\text{ et }b=-3+3i\sqrt{3} \\\text{Et on a } f(z)=(z+2)(3z-3+3i\sqrt{3}) \end{matrix}}


c) On résoud l'équation f(z)=0 :

\begin{matrix}f(z)=0&\iff&(z+2)(3z-3+3i\sqrt{3})=0\\&\iff& z+2=0\text{ ou } 3z-3+3i\sqrt{3}=0 \\&\iff& z=-2 \text{ ou }3z=3-3i\sqrt{3}\\&\iff& z=-2\text{ ou }z=\dfrac{3-3i\sqrt{3}}{3}\\&\iff& z=-2\text{ ou }z=1-i\sqrt{3}\end{matrix}

\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation }f(z)=0\text{ est : }S=\lbrace -2;1-i\sqrt{3} \rbrace }


3)
Le complexe z_1=\sqrt{3}+i :
Le module : |z_1|=\left|\sqrt{3}+i\right|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2
L'argument , on a : z_1= \sqrt{3}+i= 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) =2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)
Donc \arg (z_1)\equiv \dfrac{\pi}{6} \enskip [2\pi]


Le complexe z_2=\sqrt{3}-i :
Le module : |z_2|=\left|\sqrt{3}-i\right|=\sqrt{\sqrt{3}^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2
L'argument , on a : z_2= \sqrt{3}-i= 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right) =2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}-i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)
Donc \arg (z_2)\equiv -\dfrac{\pi}{6} \enskip [2\pi]


Le complexe z_3=1-i\sqrt{3} :
Le module : |z_3|=\left|1-i\sqrt{3}\right|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2
L'argument , on a : z_3= 1-i\sqrt{3}= 2\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)
Donc \arg (z_3)\equiv -\dfrac{\pi}{3} \enskip [2\pi]

Conclusion :
\boxed{\begin{matrix}|z_1|=|z_2|=|z_3|=2 \\ \arg (z_1)\equiv \dfrac{\pi}{6} \enskip [2\pi] \enskip\enskip,\enskip\enskip\arg (z_2)\equiv -\dfrac{\pi}{6} \enskip [2\pi]\enskip\enskip,\enskip\enskip\arg (z_3)\equiv -\dfrac{\pi}{3} \enskip [2\pi] \end{matrix}}


probleme

I.

1-a) h est dérivable sur \R car la fonction x\mapsto x+1\text{ et la fonction exponentielle } sont dérivables sur \R .

\begin{matrix}h'(x)&=& \left[(x+1)e^x-1 \right]'&=& (x+1)'e^x+(x+1)(e^x)'\\&=& e^x+(x+1)e^x &=& (1+x+1)e^x\\&=& (x+2)e^x \end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : }h'(x)=(x+2)e^x}


Puisque pour tout réel x \text{ , }e^x>0 , alors le signe de h'(x) est celui de x+2 .

Or , on sait que : \begin{cases}\forall x\in [-2;+\infty[\text{ , }x+2 \geq 0 \\\forall x\in ]-\infty;-2]\text{ , }x+2 \leq  0\end{cases}

Alors \begin{cases}\forall x\in [-2;+\infty[\text{ , }f'(x) \geq 0 \\\forall x\in ]-\infty;-2]\text{ , }f'(x) \leq  0\end{cases}

On en déduit que :

\boxed{\begin{matrix} h \text{ est décroissante sur }]-\infty;-2] \\ h\text{ est croissante sur }[-2;+\infty[\end{matrix}}


b) On a :

\displaystyle \lim_{x\to -\infty} h(x)= \displaystyle \lim_{x\to -\infty} (x+1)e^x-1 =\displaystyle \lim_{x\to -\infty} xe^x+e^x-1
Et on a , \displaystyle \lim_{x\to -\infty} xe^x=0\text{ et }\displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^x=0
Donc \displaystyle \lim_{x\to -\infty} h(x)=\displaystyle \lim_{x\to -\infty} xe^x+e^x-1=-1


\displaystyle \lim_{x\to +\infty} h(x)= \displaystyle \lim_{x\to +\infty} (x+1)e^x-1
Avec , \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x+1=+\infty\text{ et }\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty
Donc \displaystyle \lim_{x\to +\infty} h(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} xe^x+e^x-1=+\infty


h(-2)=(-2+1)e^{-2}-1=-1-e^{-1}

On dresse le tableau de variations :

\begin{array}{|c|ccccr|} \hline x     & -\infty & &-2&  &           +\infty \\ \hline h'(x) &        &- & \barre{0} & + &      \\ \hline       &  -1  &  && &  +\infty   \\  h &    &\searrow &&\nearrow&  \\        &   &  &-1-e^{-1}&&    \\  \hline \end{array}


2) On a h(0)=(0+1)e^0-1=1-1=0

D'après le tableau de varations de h , h(x)\leq -1<0 sur ]-\infty;-2] .

Et puisque h est continue et croissante sur [-2;+\infty[ \text{ et }0\in [-2;+\infty[

De plus , h(-2)-1-e^{-1}<0 \text{ et }h(0)=0

Donc h(x)\leq 0 \text{ sur }[-2;0] \text{ et }h(x)\geq 0 \text{ pour tout }x\in [0;+\infty[

On conclut alors que :

\boxed{\begin{matrix}h(x)\leq 0\text{ pour tout }x\in]-\infty ; 0]\\h(x)\geq 0 \text{ pour tout }x\in [0;+\infty[\end{matrix}}



II.

\forall x\in\R\text{ : }f(x)=x(e^x-1)


1) Calcul des limites en -\infty\text{ et }+\infty \text{ : }

En -\infty :
Pusique \displaystyle\lim_{x\to-\infty} x=-\infty\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0
Donc \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x(e^x-1)=-\infty\times(-1)=+\infty


En +\infty :
Pusique \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x=+\infty\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty
Donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x(e^x-1)=+\infty\times(+\infty)=+\infty

Récapitulons :

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\enskip\enskip\text{ , }\enskip\enskip\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}


2-a) Montrer que la droite (D) d'équation y=-x est une asymptote à la courbe (C) en -\infty revient à montrer que \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)+x=0

On a \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)+x=x(e^x-1)+x=\lim_{x\to-\infty}xe^x-x+x=\lim_{x\to-\infty}xe^x=0

\boxed{\text{ La droite }(D)\text{ : }y=-x \text{ est une asymptote à } (C) \text{ en }-\infty}


Remarque :

 Cliquez pour afficher


b) On a , pour tout réel x\text{ : }f(x)+x=xe^x .

Et puisque pour tout réel x\text{ , }e^x >0 , alors le signe de f(x)+x est celui de x .

D'où \begin{cases} f(x)+x<0\text{ , pour tout }x\in]-\infty;0[ \\ f(x)+x=0\text{ , pour }x=0\\f(x)+x>0\text{ , pour tout }x\in]0;+\infty[\end{cases}

D'où les positions relatives de (C) par rapport à (D) :

\boxed{\begin{matrix}(C)\text{ est en dessous de la droite }(D) \text{ sur }]-\infty ; 0[\\ (C) \text{ coupe la droite }(D) \text{ au point d'abscisse }0 \\ (C) \text{ est au-dessus de la droite }(D)\text{ sur }]0;+\infty[ \end{matrix}}


3-a) La fonction f est dérivable sur \R car la fonction x\mapsto x\text{ et la fonction exponentielle } sont dérivables sur \R .

\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }f'(x)&=& \left(x(e^x-1)\right)'&=& x'(e^x-1)+x(e^x-1)'&=& e^x-1+xe^x&=& (x+1)e^x-1\end{matrix}

On en déduit que :
\boxed{\text{Pour tout réel }\text{ : }f'(x)=h(x)}


b) D'après I.2) :

\begin{matrix}h(x)\leq 0\text{ pour tout }x\in]-\infty ; 0]\\h(x)\geq 0 \text{ pour tout }x\in [0;+\infty[\end{matrix}

Donc :

\boxed{\begin{matrix}f'(x)\leq 0\text{ pour tout }x\in]-\infty ; 0]\\f'(x)\geq 0 \text{ pour tout }x\in [0;+\infty[\end{matrix}}


c) On dresse le tableau de variations de la fonction f :

Avec f(0)=0

\begin{array}{|c|ccccr|} \hline x     & -\infty & &0&  &           +\infty \\ \hline f'(x) &        &- & \barre{0} & + &      \\ \hline       &  +\infty  &  && &  +\infty   \\  f &    &\searrow &&\nearrow&  \\        &   &  &0&&    \\  \hline \end{array}


4)Le tracé :

Bac Burkina Faso 2022 série H - 1er tour : image 1


5-a) Montrons que la fonction F est une primitive de la fonction f sur \R \text{ : }

\begin{matrix}F'(x)&=&\left[(x-1)e^{x}-\dfrac{1}{2}x^2\right]'&=& \left[(x-1)e^{x}\right]'-\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)'\\&=& (x-1)'e^x+(x-1)(e^x)'-\dfrac{2x}{2} &=& e^x+(x-1)e^x-x\\&=& e^x(1+x-1)-x &=& xe^x-x\\&=&x(e^x-1)&=&f(x) \end{matrix}

\boxed{ F \text{ est bien une primitive de la fonction } f \text{ sur }\R }


b) L'aire A de la partie du plan délimitée par la courbe (C) , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0\text{ et }x=1 est en unité d'aire : A=\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)|\text{ d}x .

Et puisque f(x)\geq 0 \text{ pour tout réel }x \text{ , alors : } A=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\text{ d}x

Calculons cette intégrale :

\begin{matrix} A&=&\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\text{ d}x&=&\left[F(x)\right]_{0}^{1} \\&=& F(1)-F(0) &=& (1-1)e^1-\dfrac{1}{2}\times 1^2-\left((0-1)e^0-\dfrac{1}{2}\times 0^2\right) \\&=&0 -\dfrac{1}{2}-\left(-1-0)&=&1-\dfrac{1}{2}\\&=&\dfrac{1}{2}\end{matrix}

Conclusion :

\boxed{\text{ L'aire }A\text{ est en unité d'aire (UA) : }A=\dfrac{1}{2} }
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