Fiche de mathématiques

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Bac Congo-Brazzaville 2022

Mathématiques Série A

Durée : 3 heures
Coefficient : 3

8 points

exercice 1

Partie A:

1) On considère le polynôme $P(x)=(3x-1)(x+2)(x-2)$ .
a) Développer , réduire et ordonner le polynôme P suivant les puissances décroissantes de $x$ .
b) En déduire la résolution de l'équation $(E)\text{ : }3x^3-x^2-12x+4=0$ .
c) En utilisant les résultats de la question b) , résoudre dans $\R$ l'équation : $3(\ln x)^3-(\ln x)^2-12\ln x+4=0$ .

2) Résoudre dans $\R^2$ le système : $\begin{cases} x-3y=4\\2x+y=1\end{cases}$ .

3) En déduire la solution dans $\R^2$ du système : $\begin{cases} \ln x-3e^y=4\\2\ln x+e^y=1\end{cases}$ .
(On pourra effectuer le changement de variables suivant : $u=\ln x\text{ et }v=e^y$ )

Partie B:

1) Décomposer les nombres $126$ et $198$ en produit des facteurs premiers .

2) Calculer le $PPCM(126,198) \text{ et le } PGCD(126;198)$ .

3) Simplifier le nombre $\dfrac{126}{198}$ (le résultat sera mis sous la forme d'une fraction irréductible) .

8 points

exercice 2

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$ .
$(C)$ est la courbe représentative de $f$ dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .
Unité graphique : 1cm

1) Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .

2) Calculer les limites ci-après :

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)\enskip ; \enskip \lim_{x\to+\infty} f(x) \enskip ; \enskip \lim_{x\to2^-} f(x)\enskip \text{ et } \enskip \lim_{x\to2^+} f(x)$

3) On rappelle qu'un point $A(a,b)$ est centre de symétrie d'une courbe $(C)$ de $f$ si :

$x\in E_f\text{ , }a-x\in E_f \text{ , }a+x\in E_f \text{ , alors }f(a-x)+f(a+x)=2b$
a) Calculer $f(2-x)\text{ et }f(2+x)$ en fonction de $x$ .
b) En déduire que le point $A(2,2)$ est centre de symétrie à la courbe $(C)$ .

4) Montrer que la courbe $(C)$ admet deux asymptotes .

5) Montrer que $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ .

6) Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ .

7) Pour tout $x\in E_f \text{ , } f'(x)<0$ . Dresser le tableau de variation de $f$ .

8) Construire dans le plan ; la courbe $(C)$ et les deux asymptotes .

On donne :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-2&0&1&\dfrac{3}{2}&3&4\\ \hline f(x)&\dfrac{7}{4}&\dfrac{3}{2}&1&0&3&\dfrac{5}{2} \\ \hline \end{array}$

4 points

exercice 3

Le tableau suivant représente l'évolution du nombre de boeufs pendant six années consécutives dans un parc donné .
$x_i$ représente l'année et $y_i$ le nombre de boeufs .

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x_i&1&2&3&4&5&6\\ \hline y_i&2&3&4&6&8&10 \\ \hline \end{array}$
Cette série est divisée en deux sous séries suivantes :

$\text{Sous-série I} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \enskip\enskip\enskip\enskip\text{Sous-série II}\\\\ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline x_i&1&2&3\\ \hline y_i&2&3&4 \\ \hline \end{tabular}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline x_i&4&5&6\\ \hline y_i&6&8&10 \\ \hline \end{tabular}$

1) Calculer les coordonnées des points $G_1(\bar{x_1};\bar{y_1}) \text{ et }G_2(\bar{x_2};\bar{y_2})$ respectivement points moyens des séries I et II .

2) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(G_1G_2)$ .

3) Combien de boeufs pourrait-on compter dans ce parc à la fin de la septième année ?

Correction

exercice 1

Partie A

1-a) Développons , réduisons et ordonnons le polynôme $P$ :

$\begin{matrix} P(x)&=&(3x-1)(x+2)(x-2)\\&=&(3x-1)(x^2-2^2)\\&=&(3x-1)(x^2-4)\\&=&3x\times x^2+3x\times (-4) -1\times x^2-1\times (-4) \\&=& 3x^3-12x-x^2+4\\&=&\boxed{3x^3-x^2-12x+4}\end{matrix}$

b) On remarque que l'équation $(E)$ n'est autre que l'équation $P(x)=0$ .
On utilise la forme factorisée du polynôme $P$ pour résoudre $(E)$ :

$\begin{matrix} (E)\text{ : }3x^3-x^2-12x+4=0&\iff& (3x-1)(x+2)(x-2)=0 \\&\iff& 3x-1=0\text{ ou }x+2=0\text{ ou }x-2=0 \\&\iff&3x=1 \text{ ou }x=-2 \text{ ou }x=2 \\&\iff& x=\dfrac{1}{3}\text{ ou }x=-2 \text{ ou }x=2 \end{matrix}$

L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est donc : $\boxed{S_{(E)}=\left\lbrace -2\text{ ; }\dfrac{1}{3}\text{ ; }2\right\rbrace }$

c) Dans l'équation $(E)$ résolue en b) , il suffit de remplacer l'inconnue $x$ par $\ln(x)$ , on obtient :

$\begin{matrix}3(\ln x)^3-(\ln x)^2-12\ln x+4=0 &\iff& \ln x = -2\text{ ou }\ln x=\dfrac{1}{3} \text{ ou }\ln x = 2 \\&\iff& e^{\ln x} = e^{-2}\text{ ou }e^{\ln x}=e^{\frac{1}{3}} \text{ ou }e^{\ln x} = e^2\\&\iff& x=e^{-2}\text{ ou }x=\sqrt[3]{e}\text{ ou }x=e^2 \end{matrix}$

L'ensemble des solutions de l'équation est donc : $\boxed{S=\left\lbrace e^{-2}\text{ ; }\sqrt[3]{e}\text{ ; }e^2\right\rbrace }$

2) Résolution du système d'équation :

$\begin{matrix}\begin{cases} x-3y=4\\2x+y=1\end{cases} &\iff& \begin{cases} 2x-6y=8\\2x+y=1\end{cases} &\enskip (\text{ on multiplie la première équation par }2)&\\&\iff& \begin{cases} -7y=7\\2x+y=1\end{cases}&\enskip \text{ (Soustraction des deux equations }L_1-L_2 )&\\&\iff& \begin{cases} y=-1\\2x=1-y\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} y=-1\\x=\dfrac{1}{2}(1-y)\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} y=-1\\x=\dfrac{1}{2}\times 2\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} y=-1\\x=1\end{cases} \end{matrix}$

L'ensemble des solutions du système est : $\boxed{S=\left\lbrace (1;-1)\right\rbrace }$

3) Dans le système résolue en 2) , il suffit de remplacer l'inconnue $x$ par $\ln(x)$ et $y$ par $e^{y}$ , on obtient :

Donc : $\ln x=1 \text{ et }e^{y}=-1$

Ce qui est impossible car pour tout réel $y\text{ , }e^{y} >0$ .

L'ensemble des solutions du système est donc vide : $\boxed{S=\emptyset }$

Partie B

1) Décomposition en facteurs premiers :

$126=2\times 3 \times 3 \times 7 = \boxed{2\times 3^2\times 7 }$

$198=2\times 3 \times 3 \times 11 = \boxed{2\times 3^2\times 11}$

2)

Pour le $PPCM$ , on multiplie tous les facteurs , s'il y a des facteurs en commun , on ne les considère qu'une seule fois , on obtient :

$PPCM(126;198)=2\times 3^2\times 7 \times 11 = \boxed{1386}$

Pour le $PGCD$ , on ne multiplie que les facteurs en commun , on obtient :

$PGCD(126;198)=2\times 3^2 = \boxed{18}$

3) Directement :

$\dfrac{126}{198}=\dfrac{7\times 3^2\times 2 }{11\times 3^2 \times 2 }= \boxed{\dfrac{7}{11}}$

exercice 2

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$ .

1) Notons $E_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$ , donc :

$x\in E_f\iff x-2\neq 0\iff x\neq 2$

La fonction $f$ est donc définie pour tout réel différent de $2$ .

Donc : $\boxed{E_f=\R\backslash\lbrace 2\rbrace =]-\infty;2[\cup]2;+\infty[ }$ .

2) Calcul des limites :

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) \text{ : }$
On a $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x-2 = -\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x-2}=0$
D'où : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} 2+\dfrac{1}{x-2}=2$
$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=2}$

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) \text{ : }$
On a $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x-2 = +\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x-2}=0$
D'où : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} 2+\dfrac{1}{x-2}=2$
$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=2}$

$\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x) \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)$

Etudions le signe de $x-2$ :

On a $x-2=0\iff x=0$

Le coefficient directeur étant $1$ qui est positif, le signe de $x-2$ est donc positif à droite de $2$ , et négatif à gauche de $2$ .

Tableau de signe :

$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline x&-\infty& &&2&&&+\infty\\\hline x-2&&-&&\barre{0}&&+&\\\hline\end{tabvar}$

On en tire que $\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} x-2=0^{-} \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} x-2=0^{+}$

Donc : $\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} \dfrac{1}{x-2}=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} \dfrac{1}{x-2}=+\infty$

Il s'ensuit que : $\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} 2+\dfrac{1}{x-2}=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} 2+\dfrac{1}{x-2}=+\infty$

Ou encore : $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty}$

3-a) On a $\forall x\in E_f \text{ tel que }2-x\in E_f \text{ et } 2-x\in E_f$ :

$f(2-x)=2+\dfrac{1}{(2-x)-2}=2+\dfrac{1}{2-x-2}=2+\dfrac{1}{-x}=\boxed{2-\dfrac{1}{x}}$

$f(2+x)=2+\dfrac{1}{(2+x)-2}=2+\dfrac{1}{2+x-2}=\boxed{2+\dfrac{1}{x}}$

b) On a $\forall x\in E_f \text{ tel que }2-x\in E_f \text{ et } 2-x\in E_f$ :
$f(\blue 2\black-x) +f(\blue 2\black +x)=2-\dfrac{1}{x}+2+\dfrac{1}{x}=2+2=4$
Donc $f(\blue 2\black-x) +f(\blue 2\black +x)=2 \times \red 2$ .

On en déduit que : $\boxed{\text{ Le point }A(\blue 2\black ; \red 2\black ) \text{ est centre de symétrie de la courbe }(C)}$

4)
D'après 2) , $\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty$

Donc : $\boxed{\text{ La droite d'équation }x=2 \text{ est un asymptote verticale à la courbe }(C)\text{ à gauche et à droite } }$
De plus , $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=2$

Donc : $\boxed{\text{ La droite d'équation }y=2 \text{ est asymptote horizontale à la courbe }(C)\text{ au voisinage de }-\infty\text{ et de }+\infty }$

5) Pour tout $x$ de $E_f$ , on a :

$\begin{matrix}f(x)&=&2+\dfrac{1}{x-2}&=&\dfrac{2(x-2)}{x-2}+\dfrac{1}{x-2}\\\\&=& \dfrac{2(x-2)+1}{x-2}&=&\dfrac{2x-4+1}{x-2}\\\\&=&\boxed{\dfrac{2x-3}{x-2}}\end{matrix}$

6) La fonction $f$ est une fonction homographique d'après 5) , donc elle est dérivable sur son ensemble de définition $E_f$ .
Pour le calcul de la dérivée , il est plus facile d'utiliser la première expression de $f$ .
Pour tout $x$ de $E_f$ , on a : $f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$

d'où $f'(x)= \boxed{-\dfrac{1}{(x-2)^2}}$

7) Pour tout $x$ de $E_f$ , on a $f'(x)<0$ , ce qui permet de dresser le tableau de variation de la fonction $f$ :

Attention : Il faut mettre double barre en $2$ pour indiquer que la fonction $f$ (et sa dérivée) n'est pas définie en $2$ .

$\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x & -\infty & & & 2 & & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & &\dbarre & &- & \\ \hline & 2 & & &\dbarre &+\infty & & \\ f & &\searrow& &\dbarre & &\searrow& \\ & & & -\infty &\dbarre & & & 2 \\ \hline \end{array}$

8) Le tracé de la courbe $(C)$ :
On utilise les points donnés dans le tableau (construits ici en rouge).

Bac Congo-Brazzaville 2022 série A : image 1

exercice 3

1)
Calcul des coordonnées du point moyen $G_1(\bar{x_1};\bar{y_1})$ de la sous-série I :

On a : $\begin{cases} \bar{x_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(1+2+3) =\dfrac{6}{3}=2 \\ \bar{y_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(2+3+4) =\dfrac{9}{3}=3 \end{cases}$

Donc : $\boxed{G_1(2;3)\text{ est le point moyen de la sous-série I }}$

Calcul des coordonnées du point moyen $G_2(\bar{x_2};\bar{y_2})$ de la sous-série II :

On a : $\begin{cases} \bar{x_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(4+5+6) =\dfrac{15}{3}=5 \\ \bar{y_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(6+8+10) =\dfrac{24}{3}=8 \end{cases}$

Donc : $\boxed{G_2(5;8)\text{ est le point moyen de la sous-série II }}$

2) Notons $(G_1G_2)\text{ : }y=ax+b$ une équation cartésienne de la droite $(G_1G_2)$ .

On a alors : $a=\dfrac{\bar{y_2}-\bar{y_1}}{\bar{x_2}-\bar{x_1}}=\dfrac{8-3}{5-2}=\dfrac{5}{3} \enskip \left(\approx 1,66\right)$

On remplace a par sa valeur dans l'équation : $(G_1G_2)\text{ : }y=\dfrac{5}{3}x+b$

On sait que $G_1$ est un point de $(G_1G_2)$ , on a donc :

$\begin{matrix}\bar{y_1}=\dfrac{5}{3}\bar{x_1}+b &\iff& 3=\dfrac{5}{3}\times 2 +b\\&\iff& b=3-\dfrac{10}{3}\\&\iff& b= \dfrac{9-10}{3} \\&\iff& b=-\dfrac{1}{3} \enskip \left(\approx -0,33\right)\end{matrix}$

Conclusion : $\boxed{\begin{matrix} \text{L'équation cartésienne de la droite }(G_1G_2) \text{ s'écrit : }y=\dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{3}\\ \left(\text{ ou approximativement }y=1,66x-0,33 \right)\end{matrix}}$

Remarque : On peut aussi utiliser le fait que $G_2$ appartient à la droite $(G_1G_2)$ pour déterminer $b$ .

3) La septième année correspond à $x=7$ , on obtient donc :

$y=\dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{3} =\dfrac{5}{3}\times 7 -\dfrac{1}{3} = \dfrac{35-1}{3}\approx 11,33$

On conclut alors que :

$\boxed{\text{Le nombre de boeufs dans le parc à la fin du septième année est estimé à }11 }$

Publié par malou/Panter le 31-08-2022

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