1) On considère le polynôme .
a) Développer , réduire et ordonner le polynôme P suivant les puissances décroissantes de .
b) En déduire la résolution de l'équation .
c) En utilisant les résultats de la question b) , résoudre dans l'équation : .
2) Résoudre dans le système : .
3) En déduire la solution dans du système : .
(On pourra effectuer le changement de variables suivant : )
Partie B:
1) Décomposer les nombres et en produit des facteurs premiers .
2) Calculer le .
3) Simplifier le nombre (le résultat sera mis sous la forme d'une fraction irréductible) .
8 points
exercice 2
On considère la fonction numérique définie par : .
est la courbe représentative de dans un plan muni d'un repère orthonormé .
Unité graphique : 1cm
1) Déterminer l'ensemble de définition de .
2) Calculer les limites ci-après :
3) On rappelle qu'un point est centre de symétrie d'une courbe de si :
a) Calculer en fonction de .
b) En déduire que le point est centre de symétrie à la courbe .
4) Montrer que la courbe admet deux asymptotes .
5) Montrer que .
6) Déterminer la fonction dérivée de .
7) Pour tout . Dresser le tableau de variation de .
8) Construire dans le plan ; la courbe et les deux asymptotes .
On donne :
4 points
exercice 3
Le tableau suivant représente l'évolution du nombre de boeufs pendant six années consécutives dans un parc donné .
représente l'année et le nombre de boeufs .
Cette série est divisée en deux sous séries suivantes :
1) Calculer les coordonnées des points respectivement points moyens des séries I et II .
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite .
3) Combien de boeufs pourrait-on compter dans ce parc à la fin de la septième année ?
1-a) Développons , réduisons et ordonnons le polynôme :
b) On remarque que l'équation n'est autre que l'équation .
On utilise la forme factorisée du polynôme pour résoudre :
L'ensemble des solutions de l'équation est donc :
c) Dans l'équation résolue en b) , il suffit de remplacer l'inconnue par , on obtient :
L'ensemble des solutions de l'équation est donc :
2) Résolution du système d'équation :
L'ensemble des solutions du système est :
3) Dans le système résolue en 2) , il suffit de remplacer l'inconnue par et par , on obtient :
Donc :
Ce qui est impossible car pour tout réel .
L'ensemble des solutions du système est donc vide :
Partie B
1) Décomposition en facteurs premiers :
2)
Pour le , on multiplie tous les facteurs , s'il y a des facteurs en commun , on ne les considère qu'une seule fois , on obtient :
Pour le , on ne multiplie que les facteurs en commun , on obtient :
3) Directement :
exercice 2
On considère la fonction numérique définie par : .
1) Notons l'ensemble de définition de la fonction , donc :
La fonction est donc définie pour tout réel différent de .
Donc :
.
2) Calcul des limites :
On a , donc D'où :
On a , donc D'où :
Etudions le signe de :
On a
Le coefficient directeur étant qui est positif, le signe de est donc positif à droite de , et négatif à gauche de .
Tableau de signe :
On en tire que
Donc :
Il s'ensuit que :
Ou encore :
3-a) On a :
b) On a :
Donc .
On en déduit que :
4) D'après 2) ,
Donc :
De plus ,
Donc :
5) Pour tout de , on a :
6) La fonction est une fonction homographique d'après 5) , donc elle est dérivable sur son ensemble de définition .
Pour le calcul de la dérivée , il est plus facile d'utiliser la première expression de .
Pour tout de , on a :
d'où
7) Pour tout de , on a , ce qui permet de dresser le tableau de variation de la fonction :
Attention : Il faut mettre double barre en pour indiquer que la fonction (et sa dérivée) n'est pas définie en .
8) Le tracé de la courbe :
On utilise les points donnés dans le tableau (construits ici en rouge).
exercice 3
1) Calcul des coordonnées du point moyen de la sous-série I :
On a :
Donc :
Calcul des coordonnées du point moyen de la sous-série II :
On a :
Donc :
2) Notons une équation cartésienne de la droite .
On a alors :
On remplace a par sa valeur dans l'équation :
On sait que est un point de , on a donc :
Conclusion :
Remarque : On peut aussi utiliser le fait que appartient à la droite pour déterminer .
3) La septième année correspond à , on obtient donc :
On conclut alors que :
Publié par malou/Panter
le
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