Fiche de mathématiques
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Bac Congo-Brazzaville 2022

Mathématiques Série A

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Durée : 3 heures
Coefficient : 3


8 points

exercice 1

Partie A:

1) On considère le polynôme P(x)=(3x-1)(x+2)(x-2) .
a) Développer , réduire et ordonner le polynôme P suivant les puissances décroissantes de x .
b) En déduire la résolution de l'équation (E)\text{ : }3x^3-x^2-12x+4=0 .
c) En utilisant les résultats de la question b) , résoudre dans \R l'équation : 3(\ln x)^3-(\ln x)^2-12\ln x+4=0 .

2) Résoudre dans \R^2 le système : \begin{cases} x-3y=4\\2x+y=1\end{cases} .

3) En déduire la solution dans \R^2 du système : \begin{cases} \ln x-3e^y=4\\2\ln x+e^y=1\end{cases} .
(On pourra effectuer le changement de variables suivant : u=\ln x\text{ et }v=e^y )

Partie B:

1) Décomposer les nombres 126 et 198 en produit des facteurs premiers .

2) Calculer le PPCM(126,198) \text{ et le } PGCD(126;198) .

3) Simplifier le nombre \dfrac{126}{198} (le résultat sera mis sous la forme d'une fraction irréductible) .

8 points

exercice 2

On considère la fonction numérique f définie par : f(x)=2+\dfrac{1}{x-2} .
(C) est la courbe représentative de f dans un plan muni d'un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .
Unité graphique : 1cm

1) Déterminer l'ensemble de définition de f .

2) Calculer les limites ci-après :

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)\enskip ; \enskip \lim_{x\to+\infty} f(x) \enskip ; \enskip \lim_{x\to2^-} f(x)\enskip \text{ et } \enskip \lim_{x\to2^+} f(x)


3) On rappelle qu'un point A(a,b) est centre de symétrie d'une courbe (C) de f si :

x\in E_f\text{ , }a-x\in E_f \text{ , }a+x\in E_f \text{ , alors }f(a-x)+f(a+x)=2b

a) Calculer f(2-x)\text{ et }f(2+x) en fonction de x .
b) En déduire que le point A(2,2) est centre de symétrie à la courbe (C) .

4) Montrer que la courbe (C) admet deux asymptotes .

5) Montrer que f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2} .

6) Déterminer la fonction dérivée f' de f .

7) Pour tout x\in E_f \text{ , } f'(x)<0 . Dresser le tableau de variation de f .

8) Construire dans le plan ; la courbe (C) et les deux asymptotes .

On donne :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-2&0&1&\dfrac{3}{2}&3&4\\  \hline  f(x)&\dfrac{7}{4}&\dfrac{3}{2}&1&0&3&\dfrac{5}{2} \\ \hline   \end{array}


4 points

exercice 3

Le tableau suivant représente l'évolution du nombre de boeufs pendant six années consécutives dans un parc donné .
x_i représente l'année et y_i le nombre de boeufs .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x_i&1&2&3&4&5&6\\  \hline  y_i&2&3&4&6&8&10 \\ \hline   \end{array}

Cette série est divisée en deux sous séries suivantes :

\text{Sous-série I} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \enskip\enskip\enskip\enskip\text{Sous-série II}\\\\ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline x_i&1&2&3\\  \hline  y_i&2&3&4 \\ \hline   \end{tabular}\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip \begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline x_i&4&5&6\\  \hline  y_i&6&8&10 \\ \hline   \end{tabular}


1) Calculer les coordonnées des points G_1(\bar{x_1};\bar{y_1}) \text{ et }G_2(\bar{x_2};\bar{y_2}) respectivement points moyens des séries I et II .

2) Déterminer une équation cartésienne de la droite (G_1G_2) .

3) Combien de boeufs pourrait-on compter dans ce parc à la fin de la septième année ?






exercice 1

Partie A

1-a) Développons , réduisons et ordonnons le polynôme P :

\begin{matrix} P(x)&=&(3x-1)(x+2)(x-2)\\&=&(3x-1)(x^2-2^2)\\&=&(3x-1)(x^2-4)\\&=&3x\times x^2+3x\times (-4) -1\times x^2-1\times (-4) \\&=& 3x^3-12x-x^2+4\\&=&\boxed{3x^3-x^2-12x+4}\end{matrix}

b) On remarque que l'équation (E) n'est autre que l'équation P(x)=0 .
On utilise la forme factorisée du polynôme P pour résoudre (E) :

\begin{matrix} (E)\text{ : }3x^3-x^2-12x+4=0&\iff& (3x-1)(x+2)(x-2)=0 \\&\iff& 3x-1=0\text{ ou }x+2=0\text{ ou }x-2=0 \\&\iff&3x=1 \text{ ou }x=-2 \text{ ou }x=2 \\&\iff& x=\dfrac{1}{3}\text{ ou }x=-2 \text{ ou }x=2  \end{matrix}

L'ensemble des solutions de l'équation (E) est donc :
\boxed{S_{(E)}=\left\lbrace -2\text{ ; }\dfrac{1}{3}\text{ ; }2\right\rbrace }


c) Dans l'équation (E) résolue en b) , il suffit de remplacer l'inconnue x par \ln(x) , on obtient :

\begin{matrix}3(\ln x)^3-(\ln x)^2-12\ln x+4=0 &\iff& \ln x = -2\text{ ou }\ln x=\dfrac{1}{3} \text{ ou }\ln x = 2 \\&\iff& e^{\ln x} = e^{-2}\text{ ou }e^{\ln x}=e^{\frac{1}{3}} \text{ ou }e^{\ln x} = e^2\\&\iff& x=e^{-2}\text{ ou }x=\sqrt[3]{e}\text{ ou }x=e^2 \end{matrix}

L'ensemble des solutions de l'équation est donc :
\boxed{S=\left\lbrace e^{-2}\text{ ; }\sqrt[3]{e}\text{ ; }e^2\right\rbrace }


2) Résolution du système d'équation :

\begin{matrix}\begin{cases} x-3y=4\\2x+y=1\end{cases} &\iff& \begin{cases} 2x-6y=8\\2x+y=1\end{cases} &\enskip (\text{ on multiplie la première équation par }2)&\\&\iff& \begin{cases} -7y=7\\2x+y=1\end{cases}&\enskip \text{ (Soustraction des deux equations }L_1-L_2 )&\\&\iff& \begin{cases} y=-1\\2x=1-y\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} y=-1\\x=\dfrac{1}{2}(1-y)\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} y=-1\\x=\dfrac{1}{2}\times 2\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} y=-1\\x=1\end{cases} \end{matrix}

L'ensemble des solutions du système est :
\boxed{S=\left\lbrace (1;-1)\right\rbrace }


3) Dans le système résolue en 2) , il suffit de remplacer l'inconnue x par \ln(x) et y par e^{y}, on obtient :

Donc : \ln x=1 \text{ et }e^{y}=-1

Ce qui est impossible car pour tout réel y\text{ , }e^{y} >0 .

L'ensemble des solutions du système est donc vide :
\boxed{S=\emptyset }


Partie B

1) Décomposition en facteurs premiers :

126=2\times 3 \times 3 \times 7 = \boxed{2\times 3^2\times 7 }

198=2\times 3 \times 3 \times 11 = \boxed{2\times 3^2\times 11}

2)

Pour le PPCM , on multiplie tous les facteurs , s'il y a des facteurs en commun , on ne les considère qu'une seule fois , on obtient :

PPCM(126;198)=2\times 3^2\times 7 \times 11 = \boxed{1386}

Pour le PGCD , on ne multiplie que les facteurs en commun , on obtient :

PGCD(126;198)=2\times 3^2 = \boxed{18}

3) Directement :

\dfrac{126}{198}=\dfrac{7\times 3^2\times 2 }{11\times 3^2 \times 2 }= \boxed{\dfrac{7}{11}}

exercice 2

On considère la fonction numérique f définie par : f(x)=2+\dfrac{1}{x-2} .

1) Notons E_f l'ensemble de définition de la fonction f , donc :

x\in E_f\iff x-2\neq 0\iff x\neq 2

La fonction f est donc définie pour tout réel différent de 2 .

Donc :
\boxed{E_f=\R\backslash\lbrace 2\rbrace =]-\infty;2[\cup]2;+\infty[ }
.

2) Calcul des limites :

\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x) \text{ : }
On a \displaystyle \lim_{x\to-\infty} x-2 = -\infty , donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x-2}=0
D'où : \displaystyle \lim_{x\to-\infty} 2+\dfrac{1}{x-2}=2
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=2}


\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) \text{ : }
On a \displaystyle \lim_{x\to+\infty} x-2 = +\infty , donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x-2}=0
D'où : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} 2+\dfrac{1}{x-2}=2
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=2}


\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x) \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)

Etudions le signe de x-2 :

On a x-2=0\iff x=0

Le coefficient directeur étant 1 qui est positif, le signe de x-2 est donc positif à droite de 2 , et négatif à gauche de 2 .

Tableau de signe :

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline  x&-\infty& &&2&&&+\infty\\\hline x-2&&-&&\barre{0}&&+&\\\hline\end{tabvar}

On en tire que \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} x-2=0^{-} \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}  x-2=0^{+}

Donc : \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} \dfrac{1}{x-2}=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} \dfrac{1}{x-2}=+\infty

Il s'ensuit que : \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} 2+\dfrac{1}{x-2}=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} 2+\dfrac{1}{x-2}=+\infty

Ou encore :
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty}


3-a) On a \forall x\in E_f \text{ tel que }2-x\in E_f \text{ et  } 2-x\in E_f :

f(2-x)=2+\dfrac{1}{(2-x)-2}=2+\dfrac{1}{2-x-2}=2+\dfrac{1}{-x}=\boxed{2-\dfrac{1}{x}}

f(2+x)=2+\dfrac{1}{(2+x)-2}=2+\dfrac{1}{2+x-2}=\boxed{2+\dfrac{1}{x}}

b) On a \forall x\in E_f \text{ tel que }2-x\in E_f \text{ et  } 2-x\in E_f :
f(\blue 2\black-x) +f(\blue 2\black +x)=2-\dfrac{1}{x}+2+\dfrac{1}{x}=2+2=4

Donc f(\blue 2\black-x) +f(\blue 2\black +x)=2 \times \red 2 .

On en déduit que :
\boxed{\text{ Le point }A(\blue 2\black ; \red 2\black ) \text{ est centre de symétrie de la courbe }(C)}


4)
D'après 2) , \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=-\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=+\infty

Donc :
\boxed{\text{ La droite d'équation }x=2 \text{ est un asymptote verticale à la courbe }(C)\text{ à gauche et à droite } }

De plus , \displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=2

Donc :
\boxed{\text{ La droite d'équation }y=2 \text{ est asymptote horizontale à la courbe }(C)\text{ au voisinage de }-\infty\text{ et de }+\infty }


5) Pour tout x de E_f , on a :

\begin{matrix}f(x)&=&2+\dfrac{1}{x-2}&=&\dfrac{2(x-2)}{x-2}+\dfrac{1}{x-2}\\\\&=& \dfrac{2(x-2)+1}{x-2}&=&\dfrac{2x-4+1}{x-2}\\\\&=&\boxed{\dfrac{2x-3}{x-2}}\end{matrix}

6) La fonction f est une fonction homographique d'après 5) , donc elle est dérivable sur son ensemble de définition E_f .
Pour le calcul de la dérivée , il est plus facile d'utiliser la première expression de f .
Pour tout x de E_f , on a : f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}

d'où f'(x)= \boxed{-\dfrac{1}{(x-2)^2}}

7) Pour tout x de E_f , on a f'(x)<0 , ce qui permet de dresser le tableau de variation de la fonction f :

Attention : Il faut mettre double barre en 2 pour indiquer que la fonction f (et sa dérivée) n'est pas définie en 2 .

\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x     & -\infty  &        &          & 2      &            &        &   +\infty                                          \\ \hline f'(x) &          & -      &          &\dbarre &            &-       &                                         \\ \hline       &  2       &        &          &\dbarre &+\infty     &        &                                         \\  f           &          &\searrow&          &\dbarre &            &\searrow&                                         \\	             &          &        &  -\infty &\dbarre &            &        & 2                                      \\  \hline \end{array}


8) Le tracé de la courbe (C) :
On utilise les points donnés dans le tableau (construits ici en rouge).

Bac Congo-Brazzaville 2022 série A : image 1


exercice 3

1)
Calcul des coordonnées du point moyen G_1(\bar{x_1};\bar{y_1}) de la sous-série I :

On a : \begin{cases} \bar{x_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(1+2+3) =\dfrac{6}{3}=2  			\\   \bar{y_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(2+3+4) =\dfrac{9}{3}=3 			\end{cases}

Donc :
\boxed{G_1(2;3)\text{ est le point moyen de la sous-série I }}


Calcul des coordonnées du point moyen G_2(\bar{x_2};\bar{y_2}) de la sous-série II :

On a : \begin{cases} \bar{x_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(4+5+6) =\dfrac{15}{3}=5  			\\   \bar{y_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(6+8+10) =\dfrac{24}{3}=8 			\end{cases}

Donc :
\boxed{G_2(5;8)\text{ est le point moyen de la sous-série II }}


2) Notons (G_1G_2)\text{ : }y=ax+b une équation cartésienne de la droite (G_1G_2) .

On a alors : a=\dfrac{\bar{y_2}-\bar{y_1}}{\bar{x_2}-\bar{x_1}}=\dfrac{8-3}{5-2}=\dfrac{5}{3} \enskip \left(\approx 1,66\right)

On remplace a par sa valeur dans l'équation : (G_1G_2)\text{ : }y=\dfrac{5}{3}x+b

On sait que G_1 est un point de (G_1G_2) , on a donc :

\begin{matrix}\bar{y_1}=\dfrac{5}{3}\bar{x_1}+b &\iff& 3=\dfrac{5}{3}\times 2 +b\\&\iff& b=3-\dfrac{10}{3}\\&\iff& b= \dfrac{9-10}{3}  \\&\iff& b=-\dfrac{1}{3} \enskip \left(\approx -0,33\right)\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\begin{matrix} \text{L'équation cartésienne de la droite }(G_1G_2) \text{ s'écrit : }y=\dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{3}\\ \left(\text{ ou approximativement }y=1,66x-0,33 \right)\end{matrix}}


Remarque : On peut aussi utiliser le fait que G_2 appartient à la droite (G_1G_2) pour déterminer b .

3) La septième année correspond à x=7 , on obtient donc :

y=\dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{3} =\dfrac{5}{3}\times 7 -\dfrac{1}{3} = \dfrac{35-1}{3}\approx 11,33

On conclut alors que :

\boxed{\text{Le nombre de boeufs dans le parc à la fin du septième année est estimé à }11 }
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