Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2022 toujours : des sujets venus d'ailleurs

Bac 2022 Bac Côte d'Ivoire

Série D

Durée : 4 heures
Coefficient : 4

Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

2 points

exercice 1

On donne les groupes de mots ( la droite de régression , des primitives , une bijection , fonction dérivable , extremum relatif ) et les phrases incomplètes dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{ N° }&\textbf{ Phrases incomplètes }\\ \hline 1. & \text{ Toute fonction } f \text{ continue et strictement croissante sur un intervalle } K \text{ définit }\dots\dots\dots\dots \text{ de }K\text{ sur }f(K). \\ \hline 2. & \text{ Soit }(X,Y)\text{ une série statistique double ayant une forte corrélation entre }X\text{ et }Y \text{ et telle que }V(X)\neq 0 . \text{ Une }\\&\text{ équation de }\dots\dots\dots\dots \text{ de }Y \text{ en } X \text{ est }y=ax+b \text{ où } a=\dfrac{\text{cov}(X,Y) }{V(X)} \text{et }b=\bar{Y}-a\bar{X} \text{ , }\bar{X}\text{ et }\bar{Y} \text{étant les }\\& \text{ moyennes respectives de }X\text{ et }Y . \\ \hline 3. &\text{ Toute fonction continue sur un intervalle }I\text{ admet } \dots\dots\dots\dots \text{ sur }I .\\ \hline 4. &\text{ Toute } \dots\dots\dots\dots \text{ en un point }a\text{ est continue en }a . \\ \hline \end{array}$

Ecris , sur ta feuille de copie , le numéro de chauqe phrase incomplète suivi du groupe de mots à écrire à la place des pointillés pour que la phrase soit vraie .

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous , les informations des colonnes $A\text{, }B\text{ et }C$ permettent d'obtenir trois affirmations dont une seule est vraie .

Ecris , sur ta feuille de copie , le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie .

$\begin{array}{|c|l|l|l|l|}\hline \textbf{ N° }&\textbf{ Enoncés }&A&B&C\\ \hline 1. & \text{Une primitive sur } \R \text{ de la fonction}&x\mapsto-2e^{-2x+5}&x\mapsto\dfrac{1}{2}e^{-2x+5}&x\mapsto-\dfrac{1}{2}e^{-2x+5} \\&x\mapsto e^{-2x+5} \text{ est }\dots&&&\\\hline 2. &\text{Les solutions de l'équation différentielle }&x\mapsto ke^{2x}+k'e^{-2x}\text { , }&x\mapsto k\cos(2x)+k'\sin(2x)\text{ , }&x\mapsto ke^{4x}+k'e^{-4x}\text{ , }\\&y''-4y=0 \text{ sont de la forme }\dots & (k,k')\in\R\times\R & (k,k')\in\R\times\R & (k,k')\in\R\times\R \\\hline 3.&\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-e^x)\text{ est égale à }\dots&-\infty&+\infty&0\\\hline 4.&\text{La forme exponentielle }&2e^{i\frac{\pi}{4}}&\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} &\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}} \\ &\text{du nombre complexe}-1+i\text{ est}\dots&&&\\ \hline \end{array}$

3 points

exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

$A,B,C,D\text{ et }I$ sont les points du plan complexe d'affixes respectives : $-\sqrt{2} \text{ ; }1+i\text{ ; }1-i\text{ ; }3+i\text{ et }1$ .

1. Justifie que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ .

2. Soit $S$ la similitude directe du plan d'écriture complexe : $z'=(1+i)z+1-3i$ .

a) Justifie que : $S(D)=D \text{ et }S(B)=C$ .

b) Détermine les éléments caractéristiques de $S$ .

c) Détermine l'image $(C')$ du cercle $(C)$ de diamètre $[BD]$ par $S$ .

4 points

exercice 4

On donne la fonction numérique $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{5x+2}{4x+7}$ .

$(C)$ est sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$ .

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\begin{cases}u_0=4\\\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}$ .

1. Sur la feuille annexe à rendre avec la copie , construis à l'aide de $(C)$ et de la droite $(D)$ d'équation y=x $\text{[math]}$ , les quatre premiers termes $u_0,u_1,u_2\text{ et }u_3$ de la suite $(u_n)$ sur l'axe des abscisses .

2. On admet que la fonction $f$ est dérivable et strictement croissante sur $]0,+\infty[$ .

a) Démontre par récurrence que : $\forall n\in \N \text{ , }u_n>\dfrac{1}{2}$ .

b) Démontre que : $\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{2(u_n+1)(-2u_n+1)}{4u_n+7}$ .

c) Déduis de 2.a) et 2.b) que la suite $(u_n)$ est décroissante .

3.a) Déduis de 2.a) et 2.c) que la suite $(u_n)$ est convergente .

b) Justifie que la limite de la suite $(u_n)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$ .

4 points

exercice 5

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0,+\infty[$ par : $\begin{cases} f(x)=x\ln x-2x \text{ , si }x>0 \\f(0)=0 \end{cases}$ .

On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$ .

L'unité graphique est $2\text{ cm}$ .

1.a) Justifie que f est continue en $0$ .

b) Justifie que $\displaystyle \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 0\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=-\infty$ .

c) Interprète graphiquement le résultat de 1.b) .

2. On admet que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ .

Interprète graphiquement ces résultats .

3.a) On suppose que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ .

Justifie que : $\forall x\in]0,+\infty[ \text{ , }f'(x)=-1+\ln x$ .

b) Etudie les variations de $f$ .

c) Dresse le tableau de variation de $f$ .

4. Trace la courbe $(C_f)$ .

(Tu pourras tracer l'axe des abscisses dans le sens de la longueur du papier millimétré) .

5.a) A l'aide d'une intégration par parties , justifie que l'intégrale $K$ telle que $K=\displaystyle \int_{1}^{2} x\ln x\text{ d}x$ est égale à $2\ln 2-\dfrac{3}{4}$ .

b) On admet que , sur $[1,2]$ , $(C_f)$ est au-dessous de l'axe des abscisses $(OI)$ .

Calcule l'aire en $\text{cm}^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $(C_f)$ , la droite $(OI)$ et les droites d'équations $x=1\text{ et }x=2$ .

5 points

exercice 6

Lors de la kermesse en fin d'année dans ton lycée, le comité d'organisation a initié un jeu d'adresse .

Le jeu comprend quatre épreuves .

Le joueur reçoit $4$ boules après une mise de $100\text{ F CFA}$ .

Une épreuve consiste à lancer une boule dans un trou situé à $10 \text{ m}$ .

Le jeu est terminé lorsque le joueur à lancé les quatre boules .

On suppose que les $4$ lancers sont indépendantes.

A chaque épreuve :

si le joueur à loger la boule dans le trou , le comité d'organisation lui remet $2$ tickets .

s'il ne réussit pas à loger la boule dans le trou , il ne gagne aucun ticket .

On admet que le joueur a $25\%$ de chance de loger une boule dans le trou .

Le comité d'organisation récompense à hauteur de $2500\text{ F CFA }$ le joueur qui possède à la fin du jeu au moins $4$ tickets .

Un élève affirme qu'un joueur a moins de $20\%$ de chance de gagner les $2500\text{ F CFA}$ .

A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques , dis si l'affirmation de cet élève est justifiée ou non .

Annexe à rendre avec la copie

Bac Côte d'Ivoire 2022 série D : image 1

Correction

exercice 1

Les mots manquants sont:

1) Une bijection

2) La droite de regression

3) Des primitives

4) Fonction dérivable

exercice 2

1) La bonne réponse est C

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2) La bonne réponse est A

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3) La bonne réponse est A

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4) La bonne réponse est B

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exercice 3

1) On a:

$AB=|z_B-z_A|=|1+i-(-\sqrt{2})|=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{1+2\sqrt{2}+2+1}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

$AC=|z_C-z_A|=|1-i-(-\sqrt{2})|=\sqrt{(1+\sqrt{2})^2+(-1)^2}=\sqrt{1+2\sqrt{2}+2+1}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$

On obtient donc $AB=AC$ , d'où:

$\boxed{\text{Le triangle }ABC \text{ est isocèle en }A}$

2-a) $S$ est la similitude directe du plan d'écriture complexe : $z'=(1+i)z+1-3i$

On a:

$\begin{matrix} (1+i)z_D+1-3i&=& (1+i)(3+i)+1-3i &=& 3+i+3i-1+1-3i &=& 3+i &=& z_D \end{matrix}$

Et:

$\begin{matrix} (1+i)z_B+1-3i&=& (1+i)^2+1-3i &=& 1+2i-1+1-3i&=& 1-i &=& z_C \end{matrix}$

On en tire que:
$\boxed{S(D)=D\text{ et }S(B)=C}$

b) Cherchons les éléments caractérisitiques de $S\text{ : }$

Centre: Puisque $S(D)=D\text{ , alors }D$ est le centre de la similitude $S$ .

Rapport: C'est le module du coefficient de $z\text{ : }r=|1+i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Angle: C'est un argument du coefficient de $z\text{ : }$

$\begin{matrix} 1+i&=&\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\\&=&\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)\\&=&\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\end{matrix}$

Conclusion:

$\boxed{\text{La similitude }S\text{ est de centre le point }D \text{ , d'angle de mesure }\dfrac{\pi}{4} \text{ et de rapport }\sqrt{2} }$

c) Puisque $S(D)=D\text{ et }S(B)=C$

Alors l'image de $[BD]$ est: $S([BD])=[S(B)S(D)]=[CD]$

D'où:

$\boxed{\text{L'image du cercle }(C) \text{ de diamètre }[BD] \text{ par }S \text{ est le cercle }(C')\text{ de diamètre }[CD]}$

exercice 4

1) Méthode: On commence par construire $u_0=4$ sur l'axe des abscisses, puis, en sachant que $u_1$ est l'image de $u_0$ par la fonction $f$ , on utilise la courbe $(C)$ pour construire $u_1=f(u_0)$ sur l'axe des ordonnées, enfin, on utilise la droite $(D)\text{ : }y=x$ pour "projeter" $u_1$ sur l'axe des abscisses.

On construit de la même manière $u_2=f(u_1)\text{ et }u_3=f(u_2)$ .

Bac Côte d'Ivoire 2022 série D : image 2

2-a) Démontrons par récurrence que : $\forall n\in \N \text{ , }u_n>\dfrac{1}{2}$ .

Initialisation: pour $n=0\text{ : }u_0=4>\dfrac{1}{2}$
La proposition est vérifiée pour $n=0$ .

Hérédité: Supposons qu'on a, pour un certain $n\in\N \text{ , } u_n>\dfrac{1}{2}\text{ , }$ montrons alors que dans ce cas , on a aussi $u_{n+1}>\dfrac{1}{2}$
Puisque que $f$ est une fonction strictement croissante sur $]0;+\infty[ \text{ , donc }u_n>\dfrac{1}{2} \Longrightarrow f(u_n)>f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
Or, on sait que: $\begin{matrix} f(u_n)=u_{n+1} &\text{ et }& f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5\times\dfrac{1}{2}+2}{4\times\dfrac{1}{2}+7}=\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2} \end{matrix}$ .

On en déduit que: $u_{n+1}>\dfrac{1}{2}$

Conclusion : On conclut par récurrence que :

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n>\dfrac{1}{2}}$

b)On a:

$\begin{matrix}\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_{n}&=& f(u_n)-u_n &=& \dfrac{5u_n+2}{4u_n+7}-u_n \\&=& \dfrac{(5u_n+2)-u_n(4u_n+7)}{4u_n+7}&=&\dfrac{5u_n+2-4u_n^2+7u_n}{4u_n+7} \\&=& \dfrac{-4u_n^2-2u_n+2}{4u_n+7}&=& \dfrac{2(-2u_n^2-u_n+1)}{4u_n+7} \end{matrix}$

Or, pour tout $n\in\N\text{ : }2(u_n+1)(-2u_n+1)=2(-2u_n^2+u_n-2u_n+1)=2(-2u_n^2-u_n+1)$

On en déduit que:

$\boxed{\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{2(u_n+1)(-2u_n+1)}{4u_n+7}}$

c) Puisque $\forall n\in\N\text{ : }u_n>\dfrac{1}{2}$ , alors il est évident que $u_n+1>0\text{ et }4u_n+7>0$

Donc le signe de $u_{n+1}-u_n$ est celui de $(-2u_n+1)$ .

De plus $u_n>\dfrac{1}{2}\Rightarrow -2u_n<-1\Rightarrow -2u_n+1<0$

On en tire que: $\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_{n}<0$

On en déduit que:

$\boxed{\text{La suite }(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite décroissante.}}$

3-a) On a vu que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est décroissante .

Et que $\text{ : }\forall n\in\N\text{ , }u_n>\dfrac{1}{2}\text{ , donc }(u_n)_{n\in\N} \text{ est minorée par }\dfrac{1}{2}$

D'où: $\boxed{\text{La suite }(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite convergente.}}$

b) On sait que :

$f$ est continue sur $]0;+\infty[$ , donc aussi sur $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ .

$u_0=4\in\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$

$f\left(\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\right)=\left]\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{4}\right[\Longrightarrow f\left(\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\right)\subset \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
$\text{En effet } f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\text{ , }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x+2}{4x+7}=\dfrac{5}{4}\text{ et }f \text{ est strictement croissante sur }\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$

$(u_n)\text{ est convergente }$

Donc la limite $\ell$ de $(u_n)$ est solution de l'équation $f(x)=x$ .

$\begin{matrix} f(\ell)=\ell&\iff& \dfrac{5\ell+2}{4\ell+7}=\ell &\iff& 5\ell + 2 = \ell(4\ell+7) \\&\iff& 5\ell + 2 = 4\ell ^2+7\ell &\iff& 4\ell^2+2\ell -2=0 \\&\iff& 2\ell^2+\ell-1=0&\iff& (\ell+1)(2\ell-1)=0&\text{ (On a factorisé ce même trinôme en }\red 2-b)\black\text{) }\\&\iff& \ell+1=0 \text{ ou }2\ell-1=0 &\iff& \ell=-1\text{ ou }\ell=\dfrac{1}{2}\end{matrix}$

Or, $-1\notin \left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ et donc, seul $\ell=\dfrac{1}{2}$ convient.

$\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell=\dfrac{1}{2} }$

exercice 5

1-a) Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x=0$ , alors:

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x-2x =0-0=0$

De plus $f(0)=0$ , on obtient donc: $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)$

D'où:

$\boxed{f\text{ est continue en }0}$

b) Calcul:

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x\ln x-2x}{x}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x(\ln x-2)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\ln x - 2 =-\infty$

$\boxed{\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=-\infty }$

c) On déduit de $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=-\infty$ que $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ .

Interprétation graphique:

$\boxed{(C_f) \text{ admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse }0\text{ , donc au point }O(0;0)}$

2) On a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ .

Interprétation graphique:

$\boxed{\text{La courbe }(C_f) \text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des abscisses au voisinage de }+\infty}$

3-a) $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[\text{ :}$

$\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=&\left(x\ln x-2x\right)'&=& x'\ln x+x(\ln x)'-2 \\&=& \ln x +x\times\dfrac{1}{x}-2 &=& \ln x-1 \end{matrix}$

Ou encore:

$\boxed{ \forall x\in]0;+\infty[ \text{ , }f'(x)=-1+\ln x}$

b) On résoud l'équation $f'(x)=0\iff \ln x=1\iff x=e$

Or, on sait que la fonction $\ln$ est croissante sur $]0;+\infty[\text{ , alors: }$

$\forall x\in]0;e]\text{ : }0<x\leq e\iff \ln x\leq 1 \iff -1+\ln x\leq 0\iff f'(x)\leq 0$

$\forall x\in[e;+\infty[\text{ : }x\geq e\iff \ln x\geq 1 \iff -1+\ln x\geq 0 \iff f'(x)\geq 0$

$\boxed{\begin{matrix}f\text{ est décroissante sur } ]0;e] \\ f\text{ est croissante sur }[e;+\infty[ \end{matrix}}$

c) A partir de ce qui précède, on dresse le tableau de variations de $f\text{: }$

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & e & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & - &\barre{0} & + & \\ \hline & \dbarre & 0 & & & & +\infty \\ f & \dbarre & &\searrow& & \nearrow & \\ & \dbarre & & & -e & & \\ \hline \end{array}}$

En effet, on a: $f(e)=e\ln e -2e=e-2e=-e$

4) Même si c'est non demandé, et afin de construire le graphique $(C_f)$ d'une manière plus précise, on cherche le point d'intersection de $(C_f)$ avec l'axe des abscisses $(OI)$ . Pour cela, on résoud l'équation $f(x)=0$

$f(x)=0\iff x\ln x-2x=0\iff x\ln x=2x \iff \ln x=2\iff x=e^2$

Donc $(C_f)$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $e^2$ .

On peut aussi déterminer l'équation de la tangente en ce point: $y=f'(e^2)(x-e^2)+f(e^2)$

On a: $f(e^2)=0\text{ (évident), et } f'(e^2)=-1+\ln e^2=-1+2\ln e=-1+2=1$

L'équation de la tangente au point d'abscisse $e^2$ est donc: $y=x-e^2$

Graphique:

Bac Côte d'Ivoire 2022 série D : image 3

5-a) Intégration par parties :

On pose $\begin{cases}u(x)=\ln x \\v'(x)=x \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v(x)=\dfrac{x^2}{2}\end{cases}$

Donc :

$\begin{matrix}K&=&\displaystyle \int_{1}^{2}x\ln x\text{ d}x&=& \displaystyle \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_{1}^{2} -\int_{1}^{2}\dfrac{1}{x}\times\dfrac{x^2}{2}\text{ d}x \\\\&=& \displaystyle \dfrac{2^2}{2}\ln 2- 0 -\dfrac 1 2 \int_{1}^{2}x\text{ d}x &=& 2\ln 2-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} \\\\&=& 2\ln 2-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{1}{2}\right) &=& 2\ln 2-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2} \\\\&=& 2\ln 2-\dfrac{3}{4} \end{matrix}$

$\boxed{ K=2\ln 2-\dfrac{3}{4}}$

b) L'aire de la partie du plan limitée par la courbe $(C_f)$ , la droite $(OI)$ qui est l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1\text{ et }x=2$ est en unité d'aire (UA) :

$A=\displaystyle \int_{1}^{2}|f(x)|\text{ d}x$

Et puisque la courbe $(C_f)$ est en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[1;2]$ , alors $\forall x\in [1;2]\text{ : } f(x)\leq 0$

$A=\displaystyle \int_{1}^{2}|f(x)|\text{ d}x= \int_{1}^{2}-f(x)\text{ d}x= \int_{1}^{2}2x-x\ln x\text{ d}x = \int_{1}^{2}2x\text{ d}x -K$

On en déduit que:

$A=\left[x^2\right]_1^2-K= 4-1-2\ln 2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{12+3}{4}-2\ln 2=\dfrac{15}{4}-2\ln 2 \enskip (UA)$

Finalement, puisque l'unité graphique est 2cm , alors $1\text{ UA}=2\text{ cm}\times 2\text{ cm}=4\text{ cm}^2$

$\boxed{A= 15-8\ln 2\text{ cm}^2 }$

exercice 6

Pour dire si l'affirmation de l'élève est vraie ou non, on utilise des notions de probabilité. Pour ce faire:

On utilise la variable aléatoire $X$ qui correspond au nombre d'épreuves réussies.
On détermine la loi binomiale associée à $X.$
On calcule $P(X\geq 2)$ , car pour obtenir au moins 4 tickets qui permetteront de gagner $2500\text{ F CFA}$ , un joueur doit réussir à loger au moins $2$ boules dans le trou.
On compare $P(X\geq 2)$ à $0,2\enskip$ car l'élève affirme qu'un joueur a moins de $20\%$ de chance de gagner les $2500\text{ F CFA}$ .

Puisque le joueur reçoit $4$ boules, alors les valeurs prises par $X$ sont: $0\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }3\text{ et }4$ .

De plus, le joueur a $25\%$ de chance de loger une boule dans le trou, donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4\text{ et }p=0,25$

Donc: $\displaystyle P(X=k)={4\choose k }\times (0,25)^k\times (1-0,25)^{4-k} \text{ , avec }k\in\lbrace 0;1;2;3;4\rbrace }}$

On obtient: $\displaystyle P(X=k)={4\choose k }\times (0,25)^k\times (0,75)^{4-k}\text{ , avec }k\in\lbrace 0;1;2;3;4\rbrace }$

Calculons $P(X\geq 2)\text{ , on a : }$

$\begin{matrix}P(X\geq 2 )&=&P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\\\&=&\displaystyle {4\choose 2 }\times (0,25)^2\times (0,75)^{4-2}+{4\choose 3 }\times (0,25)^3\times (0,75)^{4-3}+{4\choose 4 }\times (0,25)^4\times (0,75)^{4-4} \\\\&=& 6\times (0,25)^2\times (0,75)^{2}+4\times (0,25)^3\times 0,75+ (0,25)^4 \\\\&\approx &\boxed{0,2617}\end{matrix}$

On en tire que: $\boxed{P(X\geq 2)>0,2}$

On conclut que:

$\boxed{\text{L'affirmation de l'élève est fausse: Un joueur a environ }26\%\text{ de chance de gagner }2500 \text{ F CFA}}$

Publié par malou/Panter le 04-04-2023

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