Fiche de mathématiques
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Bac 2022 Bac Côte d'Ivoire

Série D

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Durée : 4 heures
Coefficient : 4


Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.



2 points

exercice 1

On donne les groupes de mots ( la droite de régression , des primitives , une bijection , fonction dérivable , extremum relatif ) et les phrases incomplètes dans le tableau ci-dessous :

\begin{array}{|c|l|}\hline \textbf{ N° }&\textbf{ Phrases incomplètes }\\  \hline 1. & \text{ Toute fonction } f \text{ continue et strictement croissante sur un intervalle } K \text{ définit }\dots\dots\dots\dots \text{ de }K\text{ sur }f(K).  \\  \hline 2. & \text{ Soit }(X,Y)\text{ une série statistique double ayant une forte corrélation entre }X\text{ et }Y  \text{ et telle que }V(X)\neq 0 . \text{ Une }\\&\text{ équation de }\dots\dots\dots\dots \text{ de }Y \text{ en } X \text{ est }y=ax+b \text{ où } a=\dfrac{\text{cov}(X,Y) }{V(X)} \text{et }b=\bar{Y}-a\bar{X} \text{ , }\bar{X}\text{ et }\bar{Y} \text{étant les }\\& \text{ moyennes respectives de }X\text{ et }Y .  \\ \hline 3. &\text{ Toute fonction continue sur un intervalle }I\text{ admet } \dots\dots\dots\dots \text{ sur }I .\\ \hline 4. &\text{ Toute } \dots\dots\dots\dots \text{ en un point }a\text{ est continue en }a . \\ \hline   \end{array}

Ecris , sur ta feuille de copie , le numéro de chauqe phrase incomplète suivi du groupe de mots à écrire à la place des pointillés pour que la phrase soit vraie .

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous , les informations des colonnes A\text{, }B\text{ et }C permettent d'obtenir trois affirmations dont une seule est vraie .

Ecris , sur ta feuille de copie , le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie .

\begin{array}{|c|l|l|l|l|}\hline \textbf{ N° }&\textbf{ Enoncés }&A&B&C\\  \hline 1. & \text{Une primitive sur } \R \text{ de la fonction}&x\mapsto-2e^{-2x+5}&x\mapsto\dfrac{1}{2}e^{-2x+5}&x\mapsto-\dfrac{1}{2}e^{-2x+5}  \\&x\mapsto e^{-2x+5} \text{ est }\dots&&&\\\hline 2. &\text{Les solutions de l'équation différentielle }&x\mapsto ke^{2x}+k'e^{-2x}\text { , }&x\mapsto k\cos(2x)+k'\sin(2x)\text{ , }&x\mapsto ke^{4x}+k'e^{-4x}\text{ , }\\&y''-4y=0 \text{ sont de la forme }\dots & (k,k')\in\R\times\R & (k,k')\in\R\times\R  & (k,k')\in\R\times\R \\\hline 3.&\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-e^x)\text{ est égale à }\dots&-\infty&+\infty&0\\\hline 4.&\text{La forme exponentielle }&2e^{i\frac{\pi}{4}}&\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} &\sqrt{2}e^{-i\frac{3\pi}{4}} \\ &\text{du nombre complexe}-1+i\text{ est}\dots&&&\\ \hline  \end{array}

3 points

exercice 3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) .

A,B,C,D\text{ et }I sont les points du plan complexe d'affixes respectives : -\sqrt{2} \text{ ; }1+i\text{ ; }1-i\text{ ; }3+i\text{ et }1 .

1. Justifie que le triangle ABC est isocèle en A .

2. Soit S la similitude directe du plan d'écriture complexe : z'=(1+i)z+1-3i .

a) Justifie que : S(D)=D \text{ et }S(B)=C .

b) Détermine les éléments caractéristiques de S .

c) Détermine l'image (C') du cercle (C) de diamètre [BD] par S .

4 points

exercice 4

On donne la fonction numérique f définie sur [0,+\infty[ par : f(x)=\dfrac{5x+2}{4x+7} .

(C) est sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J) .

On considère la suite (u_n) définie par : \begin{cases}u_0=4\\\forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}=f(u_n)\end{cases} .

1. Sur la feuille annexe à rendre avec la copie , construis à l'aide de (C) et de la droite (D) d'équation y=x , les quatre premiers termes u_0,u_1,u_2\text{ et }u_3 de la suite (u_n) sur l'axe des abscisses .

2. On admet que la fonction f est dérivable et strictement croissante sur ]0,+\infty[ .

a) Démontre par récurrence que : \forall n\in \N \text{ , }u_n>\dfrac{1}{2} .

b) Démontre que : \forall n\in\N\text{ , }u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{2(u_n+1)(-2u_n+1)}{4u_n+7} .

c) Déduis de 2.a) et 2.b) que la suite (u_n) est décroissante .

3.a) Déduis de 2.a) et 2.c) que la suite (u_n) est convergente .

b) Justifie que la limite de la suite (u_n) est égale à \dfrac{1}{2} .

4 points

exercice 5

Soit f la fonction numérique définie sur [0,+\infty[ par : \begin{cases} f(x)=x\ln x-2x \text{ , si }x>0 \\f(0)=0 \end{cases} .

On note (C_f) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,I,J) .

L'unité graphique est 2\text{ cm} .

1.a) Justifie que f est continue en 0 .

b) Justifie que \displaystyle \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 0\\>\end{smallmatrix}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=-\infty .

c) Interprète graphiquement le résultat de 1.b) .

2. On admet que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty .

Interprète graphiquement ces résultats .

3.a) On suppose que f est dérivable sur ]0,+\infty[ .

Justifie que : \forall x\in]0,+\infty[ \text{ , }f'(x)=-1+\ln x .

b) Etudie les variations de f .

c) Dresse le tableau de variation de f .

4. Trace la courbe (C_f).

(Tu pourras tracer l'axe des abscisses dans le sens de la longueur du papier millimétré) .

5.a) A l'aide d'une intégration par parties , justifie que l'intégrale K telle que K=\displaystyle \int_{1}^{2} x\ln x\text{ d}x est égale à 2\ln 2-\dfrac{3}{4} .

b) On admet que , sur [1,2] , (C_f) est au-dessous de l'axe des abscisses (OI) .

Calcule l'aire en \text{cm}^2 de la partie du plan limitée par la courbe (C_f) , la droite (OI) et les droites d'équations x=1\text{ et }x=2 .

5 points

exercice 6

Lors de la kermesse en fin d'année dans ton lycée, le comité d'organisation a initié un jeu d'adresse .

Le jeu comprend quatre épreuves .

Le joueur reçoit 4 boules après une mise de 100\text{ F CFA} .

Une épreuve consiste à lancer une boule dans un trou situé à 10 \text{ m} .

Le jeu est terminé lorsque le joueur à lancé les quatre boules .

On suppose que les 4 lancers sont indépendantes.

A chaque épreuve :

si le joueur à loger la boule dans le trou , le comité d'organisation lui remet 2 tickets .

s'il ne réussit pas à loger la boule dans le trou , il ne gagne aucun ticket .

On admet que le joueur a 25\% de chance de loger une boule dans le trou .

Le comité d'organisation récompense à hauteur de 2500\text{ F CFA } le joueur qui possède à la fin du jeu au moins 4 tickets .

Un élève affirme qu'un joueur a moins de 20\% de chance de gegner les 2500\text{ F CFA} .

A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques , dis si l'affirmation de cet élève est justifiée ou non .

Annexe à rendre avec la copie



Bac Côte d'Ivoire 2022 série D : image 1
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