Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.
2 points
exercice 1
On donne les groupes de mots ( la droite de régression , des primitives , une bijection , fonction dérivable , extremum relatif ) et les phrases incomplètes dans le tableau ci-dessous :
Ecris , sur ta feuille de copie , le numéro de chauqe phrase incomplète suivi du groupe de mots à écrire à la place des pointillés pour que la phrase soit vraie .
2 points
exercice 2
Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous , les informations des colonnes permettent d'obtenir trois affirmations dont une seule est vraie .
Ecris , sur ta feuille de copie , le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie .
3 points
exercice 3
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct .
sont les points du plan complexe d'affixes respectives : .
1. Justifie que le triangle est isocèle en .
2. Soit la similitude directe du plan d'écriture complexe : .
a) Justifie que : .
b) Détermine les éléments caractéristiques de .
c) Détermine l'image du cercle de diamètre par .
4 points
exercice 4
On donne la fonction numérique définie sur par : .
est sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé .
On considère la suite définie par : .
1. Sur la feuille annexe à rendre avec la copie , construis à l'aide de et de la droite d'équation y=x , les quatre premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses .
2. On admet que la fonction est dérivable et strictement croissante sur .
a) Démontre par récurrence que : .
b) Démontre que : .
c) Déduis de 2.a) et 2.b) que la suite est décroissante .
3.a) Déduis de 2.a) et 2.c) que la suite est convergente .
b) Justifie que la limite de la suite est égale à .
4 points
exercice 5
Soit la fonction numérique définie sur par : .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé .
L'unité graphique est .
1.a) Justifie que f est continue en .
b) Justifie que .
c) Interprète graphiquement le résultat de 1.b) .
2. On admet que .
Interprète graphiquement ces résultats .
3.a) On suppose que est dérivable sur .
Justifie que : .
b) Etudie les variations de .
c) Dresse le tableau de variation de .
4. Trace la courbe .
(Tu pourras tracer l'axe des abscisses dans le sens de la longueur du papier millimétré) .
5.a) A l'aide d'une intégration par parties , justifie que l'intégrale telle que est égale à .
b) On admet que , sur , est au-dessous de l'axe des abscisses .
Calcule l'aire en de la partie du plan limitée par la courbe , la droite et les droites d'équations .
5 points
exercice 6
Lors de la kermesse en fin d'année dans ton lycée, le comité d'organisation a initié un jeu d'adresse .
Le jeu comprend quatre épreuves .
Le joueur reçoit boules après une mise de .
Une épreuve consiste à lancer une boule dans un trou situé à .
Le jeu est terminé lorsque le joueur à lancé les quatre boules .
On suppose que les lancers sont indépendantes.
A chaque épreuve :
si le joueur à loger la boule dans le trou , le comité d'organisation lui remet tickets .
s'il ne réussit pas à loger la boule dans le trou , il ne gagne aucun ticket .
On admet que le joueur a de chance de loger une boule dans le trou .
Le comité d'organisation récompense à hauteur de le joueur qui possède à la fin du jeu au moins tickets .
Un élève affirme qu'un joueur a moins de de chance de gagner les .
A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques , dis si l'affirmation de cet élève est justifiée ou non .
Sans calculer le discriminent de cette dernière, on remarque que
L'équation caractéristique associée admet deux racines réelles distincts, donc les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
3) La bonne réponse est A
Cliquez pour afficher
4) La bonne réponse est B
Cliquez pour afficher
On a
Donc:
exercice 3
1) On a:
On obtient donc , d'où:
2-a) est la similitude directe du plan d'écriture complexe :
On a:
Et:
On en tire que:
b) Cherchons les éléments caractérisitiques de
Centre: Puisque est le centre de la similitude .
Rapport: C'est le module du coefficient de
Angle: C'est un argument du coefficient de
Conclusion:
c) Puisque
Alors l'image de est:
D'où:
exercice 4
1)Méthode: On commence par construire sur l'axe des abscisses, puis, en sachant que est l'image de par la fonction , on utilise la courbe pour construire sur l'axe des ordonnées, enfin, on utilise la droite pour "projeter" sur l'axe des abscisses.
On construit de la même manière .
2-a) Démontrons par récurrence que : .
Initialisation: pour
La proposition est vérifiée pour .
Hérédité: Supposons qu'on a, pour un certain montrons alors que dans ce cas , on a aussi
Puisque que est une fonction strictement croissante sur
Or, on sait que: .
On en déduit que:
Conclusion : On conclut par récurrence que :
b)On a:
Or, pour tout
On en déduit que:
c) Puisque , alors il est évident que
Donc le signe de est celui de .
De plus
On en tire que:
On en déduit que:
3-a) On a vu que la suite est décroissante .
Et que
D'où:
b) On sait que :
est continue sur , donc aussi sur .
Donc la limite de est solution de l'équation .
Or, et donc, seul convient.
exercice 5
1-a) Puisque , alors:
De plus , on obtient donc:
D'où:
b) Calcul:
c) On déduit de que n'est pas dérivable à droite en .
Interprétation graphique:
2) On a .
Interprétation graphique:
3-a) est dérivable sur
Ou encore:
b) On résoud l'équation
Or, on sait que la fonction est croissante sur
c) A partir de ce qui précède, on dresse le tableau de variations de
En effet, on a:
4) Même si c'est non demandé, et afin de construire le graphique d'une manière plus précise, on cherche le point d'intersection de avec l'axe des abscisses . Pour cela, on résoud l'équation
Donc coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse .
On peut aussi déterminer l'équation de la tangente en ce point:
On a:
L'équation de la tangente au point d'abscisse est donc:
Graphique:
5-a) Intégration par parties :
On pose
Donc :
b) L'aire de la partie du plan limitée par la courbe , la droite qui est l'axe des abscisses, et les droites d'équations est en unité d'aire (UA) :
Et puisque la courbe est en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle , alors
On en déduit que:
Finalement, puisque l'unité graphique est 2cm , alors
exercice 6
Pour dire si l'affirmation de l'élève est vraie ou non, on utilise des notions de probabilité. Pour ce faire:
On utilise la variable aléatoire qui correspond au nombre d'épreuves réussies.
On détermine la loi binomiale associée à
On calcule , car pour obtenir au moins 4 tickets qui permetteront de gagner , un joueur doit réussir à loger au moins boules dans le trou.
On compare à car l'élève affirme qu'un joueur a moins de de chance de gagner les .
Puisque le joueur reçoit boules, alors les valeurs prises par sont: .
De plus, le joueur a de chance de loger une boule dans le trou, donc suit la loi binomiale de paramètres
Donc:
On obtient:
Calculons
On en tire que:
On conclut que:
Publié par malou/Panter
le
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