Fiche de mathématiques

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Bac Côte d'Ivoire 2022

Mathématiques Série B

Durée : 3 heures
Coefficient : 4

L'usage d'une calculatrice scientifique est autorisé.

exercice 1

On repique des plantes de $10 cm$ de haut sous une serre . La taille maximale de ces plantes est de $1 m$ .
On note $f(t)$ la taille , en mètre $(m)$ d'une plante après $t$ jours . On a donc $f(0)=0,1$ .
Le modèle de Verharlot consiste à considérer que la vitesse de croissance d'une plante évolue suivant la relation $f'(t)=af(t)(1-f(t))$ , où $a$
est une constante non nulle dépendant des conditions expérimentales , autrement dit , $f$ est une solution sur $[0,+\infty[$ de l'équation différentielle : $(E)\text{ : }y'=ay(1-y)$ .

1. On pose , pour tout $t$ élément de $]0,+\infty[ \text{ : }z(t)=\dfrac{1}{f(t)}$ .
a) Déterminer $z'(t)$ en fonction de $f(t)$ .
b) Justifier que $z$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $z'=-az+a$ .

2. On se propose de résoudre l'équation différentielle $(E)\text{ : }z'+az=a$
a) Résoudre l'équation différentielle homogène : $z'+az=0$ .
b) Déterminer une solution particulière $z_0$ de l'équation $(E)$ sous la forme d'une fonction constante $p(t)=b$ .
c) En déduire une solution générale de $(E)$ .
d) Justifier que , pour tout nombre réel positif $t$ , on a : $f(t)= \dfrac{1}{9e^{-at}+1}$

exercice 2

Un vendeur de vêtements propose en vente des chemises et des pantalons qui sont confectionnés uniquement , soit en velours , soit en bazin , soit en lin .
Le client ne peut choisir qu'une seule article , soit une chemise , soit un pantalon .

Le vendeur a observé que :
$\bullet 70\%$ de ses clients achètent une chemise et $10\%$ d'entre eux achètent une chemise en lin .
$\bullet$ Lorsqu'un client achète un pantalon , il n'achète jamais un pantalon en basin , mais demande un pantalon velours dans $60\%$ des cas .

On considère les évènements suivants :
B:" Le client achète du bazin" .
C:"Le client achète une chemise" .
L:"Le client achète du lin" .
V:"Le client achète du velours" .

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre des probabilités.
Déterminer les nombres réels $x,y\text{ et }z$ indiqués sur l'arbre .

Bac Côte d'Ivoire 2022 série B : image 1

2.a) Calculer la probabilité que le client achète une chemise en velours .
b) Calculer la probabilité que le client achète un pantalon en lin .

3. Montrer que la probabilité que le client achète du velours est $0,53$ .

4.
La chemise est vendue à 3000 F l'unité .
Le pantalon en velours est vendu à 1000 F l'unité , celui en lin ou bien en bazin à 2000 F .

a) On note $x_i$ la valeur possible en francs (F) du gain du vendeur et $p_i$ la probabilité de réalisation .
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du vendeur en justifiant les réponses .

$\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{ Valeur } x_i&3000&2000&1000\\ \hline \text{ Probabilité }p_i &&& \\ \hline \end{array}$
b) Calculer l'espérance mathématique de la vente .
c) Déterminer le gain en francs (F) que le vendeur peut espérer pour $150$ articles vends .

probleme

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{1}{2}x^2+1-\ln x$ .

1. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $g'$ sa fonction dérivée .
a) Démontrer que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty[ \text{ , }g'(x)=\dfrac{x^2-1}{x}$ .
b) Justifier que :
$\begin{matrix} \bullet &\text{ Pour tout }x\in]0;1[\text{ , } &g'(x) < 0 \\\bullet &\text{ Pour tout }x\in]1;+\infty[ \text{ , }&g'(x)>0\end{matrix}$

2.a) Justifier que $g(1)$ est le minimum de $g$ sur $]0;+\infty[$ .
b) En déduire que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty[ \text{ , }g(x)>0$ .

Partie B

On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=3-x-\dfrac{2\ln x}{x}$ .
Soit $(\mathscr C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal $(O;I;J)$ $\text{[math]}$ .
Unités graphiques : $OI=2\text{ cm et }OJ=1\text{ cm}$

1.a) Calculer la limite de $f$ en $0$ puis interpréter graphiquement le résultat .
b) Calculer $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$ .
c) Démontrer que la droite $(D)$ d'équation $y=-x+3$ une asymptote à $(\mathscr C)$ en $+\infty$ .
d) Etudier les positions relatives de $(\mathscr C)$ par rapport à $(D)$ .

2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'$ sa fonction dérivée .
a) Démontrer que, pour tout $x$ élément de $]0;+\infty[ \text{ , }f'(x)=\dfrac{-2g(x)}{x^2}$ .
b) En déduire les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ puis dresser son tableau de variation .

3.a) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathscr C)$ au point d'abscisse $1$ .
b) Tracer les droites $(D)$ et $(T)$ puis construire $(\mathscr C)$ dans le repère $(O;I;J)$ .

Partie C

On considère la fonction $H$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $H(x)=(\ln x)^2$ .

1. On admet que la fonction $H$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $H'$ sa fonction dérivée .
a) Déterminer $H'(x)$ pour tout $x$ élément de $]0;+\infty[$ .
b) Justifier que pour tout $x$ élément de $]0;+\infty[ \text{ , }f(x)=3-x-H'(x)$ .

2. En déduire une primitive $F$ de $f$ qui prend la valeur $2$ en $1$ .

Correction

exercice 1

1-a) Pour tout $t\in ]0,+\infty[ \text{ : }z(t)=\dfrac{1}{f(t)}$ .
Donc, pour tout $t\in]0;+\infty[\text{ : }\begin{matrix}z'(t)&=&\left(\dfrac{1}{f(t)}\right)'&=&\dfrac{-f'(t)}{(f(t))^2}\end{matrix}$

$\boxed{\forall t\in]0;+\infty[\text{ : }z'(t)=-\dfrac{f'(t)}{(f(t))^2}}$

b) Erreur dans l'énoncé : Justifier que $\red f\black$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $z'=-az+a$

On a:

$\begin{matrix}f\text{ est solution de }(E)&\iff& \forall t\in[0;+\infty[\text{ : }f'(t)=af(t)(1-f(t)) \\&\iff& \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }\dfrac{f'(t)}{(f(t))^2}=\dfrac{af(t)(1-f(t))}{(f(t))^2}\\&\iff& \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }-\dfrac{f'(t)}{(f(t))^2}=\dfrac{a(f(t)-1)}{f(t)}\\&\iff& \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }z'(t)=a\left(1-\dfrac{1}{f(t)}\right)\\&\iff& \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }z'(t)=a(1-z(t))\\&\iff& \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }z'(t)=-az(t)+a\\&\iff& \boxed{z'=-az+a}\end{matrix}$

Donc: $\boxed{f \text{ est une solution de }(E) \text{ si et seulement si }z'=-az+a}$

Remarque:

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2) Dans cette partie de l'exercice, une nouvelle équation différentielle est aussi notée $(E)\text{ : }z'+az=a$ , pour éviter toute ambiguité, nous noterons cette dernière $(E')\text{ : }z'+az=a$ , pour la distinguer de $(E)\text{ : }y'=ay(1-y)$

a)D'après le cours, les solutions de l'équation homogène $z'+az=0$ sont les fonctions de la forme $z(t)=k e^{-at} \enskip \text{ avec }k\in\R$ .

$\boxed{\text{ Les solutions de l'équation }z'+az=0\text{ sont de la forme }z\text{ : }t\mapsto ke^{-at} \text{ / }k\in\R }$

b) Soit $z_0=p(t)=b\in\R$ une solution particulière de $(E')$

Donc: $z_0'+az_0=a\iff p'(t)+ap(t)=a\iff 0+ab=a \iff b=1\enskip\text{ ( car }a\neq 0\text{)}$

$\boxed{\text{ La fonction constante }z_0\text{ : }x\mapsto 1 \text{ est une solution particulière de }(E') }$

c) Une solution générale de $(E')$ est la somme de la solution homogène trouvée en a) et d'une solution particulière trouvée en b) , donc:

$\boxed{\text{ Une solution générale de }(E') \text{ est donc }z\text{ : }t\mapsto ke^{-at}+1 }$

d) On a, $z$ est solution de l'équation $(E')$ , alors pour tout $t\in[0;+\infty[\text{ , }z$ s'écrit sous la forme $z(t)=ke^{-at}+1\text{ , }k\in\R$

Alors, pour tout $t\in[0;+\infty[\text{ : }f(t)=\dfrac{1}{z(t)}=\dfrac{1}{ke^{-at}+1}$

Finalement, on a $f(0)=0,1 \Longrightarrow \dfrac{1}{ke^{-a\times 0 }+1}=0,1 \text{ , et donc }\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{10} \iff k+1=10\iff k=9$

Conclusion: $\boxed{\text{ Pour tout réel } t\geq 0\text{ : }f(t)= \dfrac{1}{9e^{-at}+1}}$

exercice 2

1) On a

$x+0,7=1\iff \boxed{x=0,3}$
$y+0,4+0,1=1\iff \boxed{y=0,5}$
$z+0+0,6=1\iff \boxed{z=0,4}$

Et on complète l'arbre pondéré:

Bac Côte d'Ivoire 2022 série B : image 3

2-a) La probabilité que le client achète une chemise en velours est $P(C\cap V)$ , donc:

$P(C\cap V)=0,7\times 0,5 \Rightarrow \boxed{P(C\cap V)=0,35}$

b) La probabilité que le client achète un pantalon en lin est $P(\bar{C}\cap L)$ , donc:

$P(\bar{C}\cap L)=0,3\times 0,4 \Rightarrow \boxed{P(\bar{C}\cap L)=0,12}$

3) La probabilité $P$ que le client achète du velours est $P(C\cap V)+P(\bar{C}\cap V)$ , donc:

$P(C\cap V)+P(\bar{C}\cap V)=0,35+0,3\times 0,6 = 0,35+0,18 \Rightarrow \boxed{P(C\cap V)+P(\bar{C}\cap V)=0,53}$

4-a) On sait que:

La chemise est vendue à 3000 F l'unité, donc: $p(x=3000)=P(C)=0,7$

Le pantalon en lin ou en bazin est vendu à 1000 F l'unité, donc: $p(x=2000)=P(\bar{C}\cap L)+P(\bar{C}\cap B)=0,12+0=0,12$

Le pantalon en velours est vendu à 1000 F l'unité, donc: $p(x=1000)=P(\bar{C}\cap V)=0,3\times 0,6=0,18$

Vérification: $p(x=1000)+p(x=2000)+p(x=3000)=0,18+0,12+0,7=1$

On complète le tableau: $\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{ Valeur } x_i&3000&2000&1000\\ \hline \text{ Probabilité }p_i &0,7&0,12&0,18 \\ \hline \end{array}$

b) Calculons l'espérance mathématique $\overset{{\white{.}}}{E(X)}$ de $X$ .

$E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^3x_i\,p(X=x_i)=1000\times 0,18+2000\times0,12+3000\times0,7 \Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=2520}$

c) Puisque $E(X)=2520$ , alors le vendeur peut espérer gagner 2520F par article vendu.

Alors, pour 150 articles vendus:

$\boxed{\text{Le vendeur peut espérer gagner }150\times 2520=378000F }$

probleme

Partie A

1-a) La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ .

$\begin{matrix} \forall x>0\text{ : }g'(x)&=& \left(\dfrac{1}{2}x^2+1-\ln x \right)' \\&=& x-\dfrac{1}{x} \\&=& \dfrac{x^2-1}{x}\end{matrix}$

$\boxed{\forall x>0\text{ : }g'(x)= \dfrac{x^2-1}{x} }$

b) On a: $\forall x>0\text{ : }g'(x)= \dfrac{x^2-1}{x} =\dfrac{(x-1)(x+1) }{x}$

Sur $]0;+\infty [\text{ , on a } x>0\text{ et } x+1>0 \text{ , donc le signe de } g'(x) \text{ est celui de } x-1$

Dressons le tableau de signes de $x-1$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x&0&&1&&+\infty\\\hline x-1&\dbarre&-&\barre{0}&+& \\\hline g'(x)&\dbarre&-&\barre{0}&+& \\\hline\end{tabvar}$

On en tire que:

$\boxed{\begin{matrix} \bullet &\text{ Pour tout }x\in]0;1[\text{ , } &g'(x) < 0 \\\bullet &\text{ Pour tout }x\in]1;+\infty[ \text{ , }&g'(x)>0\end{matrix} }$

2-a) On déduit de la question précédente que:

$g$ est strictement décroissante sur $]0;1[$
$g$ est strictement croissante sur $]1;+\infty[$

Dressons alors le tableau de variations de $g\text{ : }$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & &1 & & +\infty \\ \hline g'(x) & \dbarre & - &\barre{0} & + & \\ \hline & \dbarre & & & & \\ g & \dbarre &\searrow& & \nearrow & \\ & \dbarre & & g(1) & & \\ \hline \end{array}}$

On en déduit que: $\boxed{ g(1)\text{ est un minimum de } g\text{ sur } ]0;+\infty[}$

b) Puisque $g(1)$ est un minimum de $g$ sur $]0;+\infty[$ . Alors:

$\forall x\in ]0;+\infty[\text{ : } g(x)\geq g(1)$

Or, $g(1)=\dfrac{1}{2}+1-\ln 1 =\dfrac{3}{2}>0$

Donc:

$\boxed{\forall x\in ]0;+\infty[\text{ : } g(x)>0}$

Partie B

1-a) Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \enskip\enskip \text{ et } \enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$

Alors $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)= \displaystyle\lim_{x\to 0^+} 3-x-\dfrac{2\ln x}{x} = \displaystyle\lim_{x\to 0^+} 3-x-2\times \dfrac{1}{x} \times \ln x =3-2\times(+\infty)\times(-\infty)=+\infty$

$\boxed{ \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)= +\infty}$

Interprétation graphique:

$\boxed{\text{L'axe des ordonnées (d'équation }x=0\text{) est une asymptote verticale à la courbe } (\mathscr{C})}$

b) On a la limite usuelle suivante $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$

Alors $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty} 3-x-2\dfrac{\ln x}{x} =3-\infty-2\times 0=-\infty$

$\boxed{ \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)= -\infty}$

c) On calcule $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)-y\text{ tel que } y=-x+3$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)-y=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} 3-x-\dfrac{2\ln x}{x}+x-3 = \displaystyle\lim_{x\to +\infty} =-\dfrac{2\ln x}{x}=0$

En effet, on a $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$

Donc

$\boxed{\text{ La droite }(D)\text{ : }y=-x+3 \text{ est une asymptote oblique à }(\mathscr C) \text{ en }+\infty }$

d) Etudier les positions relatives de $(\mathscr C)$ par rapport à $(D)$ revient à étudier le signe de $f(x)-y \text{ tel que }y=-x+3$

$\begin{matrix} \forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x)-y&=& -\dfrac{2\ln x}{x} \end{matrix}$

Puisque pour tout réel $x\in]0;+\infty[\text{ : }x>0\text{ , alors le signe de }f(x)-y\text{ est l'opposé de celui de }\ln x$

Or, d'après le cours, on sait que:

Pour tout $x\in]0;1[\text{ : }\ln x < 0 \enskip\enskip\text{ , et pour tout }x\in ]1;+\infty[\text{ : }\ln x > 0 \enskip\enskip\text{ , avec }\ln 1= 0$

On en tire que:

$\begin{matrix} \forall x\in ]0;1[ \text{ : }f(x)-y> 0 \Rightarrow f(x)> y \\ \text{ Si }x=1\text{ : }f(x)=y \\ \forall x\in]1;\infty[\text{ : }\text{ : } f(x)-y< 0 \Rightarrow f(x)< y\end{matrix}$

Ce qui s'interprète graphiquement par:

$\boxed{\begin{matrix} \bullet & (\mathscr C) \text{ est au-dessus de } (D) \text{ sur }]0;1[ \\\bullet & (\mathscr C) \text{ coupe } (D) \text{ au point } A(1;f(1))=A(1;2) \\ \bullet & (\mathscr C) \text{ est en dessous de } (D) \text{ sur }]1;+\infty[\end{matrix}}$

En effet: $f(1)=3-1-2\ln 1=2$

2-a) La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ .

$\begin{matrix} \forall x>0\text{ : }f'(x)&=& \left(3-x-\dfrac{2\ln x}{x} \right)' &=& -1-2\left(\dfrac{(\ln x)'x-x'\ln x}{x^2}\right)\\&=& -1-2\dfrac{\dfrac{x}{x}-\ln x}{x^2} &=& -1-2\dfrac{1-\ln x}{x^2}\\&=& \dfrac{-x^2-2(1-\ln x)}{x^2}&=&\dfrac{-x^2-2+2\ln x}{x^2}\\&=&-2\times \dfrac{\dfrac{x^2}{2}+1-\ln x}{x^2}&=&\dfrac{-2g(x)}{x^2}\end{matrix}$

D'où: $\boxed{\forall x \in ]0;+\infty[ \text{ , }f'(x)=\dfrac{-2g(x)}{x^2}}$

b) On a vu que $\text{ pour tout }x>0\text{ , }g(x)>0\text{ et }x^2>0\text{ . Donc: }$

$\text{ Pour tout }x>0\text{ , } f'(x)= \dfrac{-2g(x)}{x^2}< 0$

On en déduit que:

$\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ }$

Dressons alors le tableau de variations de $f\text{ : }$

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & 0& & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & - & \\ \hline & \dbarre &+\infty & & \\ f & \dbarre & &\searrow& \\ & \dbarre& & & -\infty \\ \hline \end{array}}$

3-a) Une équation de la tangente $(T) \text{ à } (\mathscr C)$ au point d'abscisse $1$ s'écrit:

$(T)\text{ : }y=f'(1)(x-1)+f(1)$

On a déjà calculé $f(1)=2\text{ , calculons }f'(1)\text{ : }f'(1)=\dfrac{-2g(1)}{1^2}=-2g(1)=-2\times\dfrac{3}{2}=-3$

On trouve: $(T)\text{ : }y=-3(x-1)+2 \iff \boxed{ (T)\text{ : } y=-3x+5}$

b) Graphique:

Bac Côte d'Ivoire 2022 série B : image 2

Partie C

1-a) La fonction $H$ définie sur $]0;+\infty[$ par $H(x)=(\ln x)^2$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ .

Donc, $\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }H'(x)=\left((\ln x)^2\right)'=2(\ln x)'\ln x = 2\times\dfrac{1}{x}\times\ln x = \dfrac{2\ln x}{x}$

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }H'(x) = \dfrac{2\ln x}{x}}$

b) Puisque pour tout réel $x$ strictement positif : $f(x)=3-x-\dfrac{2\ln x}{x}$

Alors directement:

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x) = 3-x-H'(x)}$

2) Une primitive $F$ de $f$ s'écrit: $F(x)=\displaystyle \int f(x)\text{ d}x$

Donc :

$\begin{matrix}F(x)&=&\displaystyle \int f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle \int 3-x-H'(x)\text{ d}x \\&=& 3x-\dfrac{x^2}{2}-H(x)+k \text{ / }k\in\R &=& 3x-\dfrac{x^2}{2}-(\ln x)^2 +k \text{ / }k\in\R\end{matrix}$

Finalement, $F$ prend la valeur $2$ en $1$ , autrement dit, $F(1)=2$

$F(1)=2\iff 3-\dfrac{1}{2}-(\ln 1)^2 +k =2\iff 3-\dfrac{1}{2}+k=2 \iff k=2-3+\dfrac{1}{2} = \dfrac{-2+1}{2}\iff \boxed{k=-\dfrac{1}{2}}$

Donc: $F(x)=3x-\dfrac{x^2}{2}-(\ln x)^2 -\dfrac{1}{2}} =3x-\dfrac{x^2+1}{2} -(\ln x)^2$

Conclusion:

$\boxed{\text{Une primitive }F \text{ de }f \text{ telle que } F(1)=2 \text{ est définie par }F(x)=3x-\dfrac{x^2+1}{2} -(\ln x)^2}$

Publié par malou/Panter le 31-03-2023

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