L'usage d'une calculatrice scientifique est autorisé.
exercice 1
On repique des plantes de de haut sous une serre . La taille maximale de ces plantes est de .
On note la taille , en mètre d'une plante après jours . On a donc .
Le modèle de Verharlot consiste à considérer que la vitesse de croissance d'une plante évolue suivant la relation , où est une constante non nulle dépendant des conditions expérimentales , autrement dit , est une solution sur de l'équation différentielle : .
1. On pose , pour tout élément de .
a) Déterminer en fonction de .
b) Justifier que est une solution de si et seulement si .
2. On se propose de résoudre l'équation différentielle a) Résoudre l'équation différentielle homogène : .
b) Déterminer une solution particulière de l'équation sous la forme d'une fonction constante .
c) En déduire une solution générale de .
d) Justifier que , pour tout nombre réel positif , on a :
exercice 2
Un vendeur de vêtements propose en vente des chemises et des pantalons qui sont confectionnés uniquement , soit en velours , soit en bazin , soit en lin .
Le client ne peut choisir qu'une seule article , soit une chemise , soit un pantalon .
Le vendeur a observé que :
de ses clients achètent une chemise et d'entre eux achètent une chemise en lin .
Lorsqu'un client achète un pantalon , il n'achète jamais un pantalon en basin , mais demande un pantalon velours dans des cas .
On considère les évènements suivants :
B:" Le client achète du bazin" .
C:"Le client achète une chemise" .
L:"Le client achète du lin" .
V:"Le client achète du velours" .
1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre des probabilités.
Déterminer les nombres réels indiqués sur l'arbre .
2.a) Calculer la probabilité que le client achète une chemise en velours .
b) Calculer la probabilité que le client achète un pantalon en lin .
3. Montrer que la probabilité que le client achète du velours est .
4. La chemise est vendue à 3000 F l'unité .
Le pantalon en velours est vendu à 1000 F l'unité , celui en lin ou bien en bazin à 2000 F .
a) On note la valeur possible en francs (F) du gain du vendeur et la probabilité de réalisation .
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du vendeur en justifiant les réponses .
b) Calculer l'espérance mathématique de la vente .
c) Déterminer le gain en francs (F) que le vendeur peut espérer pour articles vends .
probleme
Partie A
Soit la fonction définie sur par : .
1. On admet que la fonction est dérivable sur et sa fonction dérivée .
a) Démontrer que pour tout élément de .
b) Justifier que :
2.a) Justifier que est le minimum de sur .
b) En déduire que pour tout élément de .
Partie B
On considère la fonction f définie sur par : .
Soit la représentation graphique de dans le plan rapporté à un repère orthogonal .
Unités graphiques :
1.a) Calculer la limite de en puis interpréter graphiquement le résultat .
b) Calculer .
c) Démontrer que la droite d'équation une asymptote à en .
d) Etudier les positions relatives de par rapport à .
2. On admet que la fonction est dérivable sur et sa fonction dérivée .
a) Démontrer que, pour tout élément de .
b) En déduire les variations de sur puis dresser son tableau de variation .
3.a) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse .
b) Tracer les droites et puis construire dans le repère .
Partie C
On considère la fonction définie sur par : .
1. On admet que la fonction est dérivable sur et sa fonction dérivée .
a) Déterminer pour tout élément de .
b) Justifier que pour tout élément de .
2. En déduire une primitive de qui prend la valeur en .
b)Erreur dans l'énoncé : Justifier que est une solution de si et seulement si
On a:
Donc:
Remarque:
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L'exercice suppose que la fonction ne s'annule pas sur par définition de la fonction , on peut donc diviser par .
2) Dans cette partie de l'exercice, une nouvelle équation différentielle est aussi notée , pour éviter toute ambiguité, nous noterons cette dernière , pour la distinguer de
a)D'après le cours, les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme .
b) Soit une solution particulière de
Donc:
c) Une solution générale de est la somme de la solution homogène trouvée en a) et d'une solution particulière trouvée en b) , donc:
d) On a, est solution de l'équation , alors pour tout s'écrit sous la forme
Alors, pour tout
Finalement, on a
Conclusion:
exercice 2
1) On a
Et on complète l'arbre pondéré:
2-a) La probabilité que le client achète une chemise en velours est , donc:
b) La probabilité que le client achète un pantalon en lin est , donc:
3) La probabilité que le client achète du velours est , donc:
4-a) On sait que:
La chemise est vendue à 3000 F l'unité, donc:
Le pantalon en lin ou en bazin est vendu à 1000 F l'unité, donc:
Le pantalon en velours est vendu à 1000 F l'unité, donc:
Vérification:
On complète le tableau:
b) Calculons l'espérance mathématique de .
c) Puisque , alors le vendeur peut espérer gagner 2520F par article vendu.
Alors, pour 150 articles vendus:
probleme
Partie A
1-a) La fonction est dérivable sur .
b) On a:
Sur
Dressons le tableau de signes de
On en tire que:
2-a) On déduit de la question précédente que:
est strictement décroissante sur est strictement croissante sur
Dressons alors le tableau de variations de
On en déduit que:
b) Puisque est un minimum de sur . Alors:
Or,
Donc:
Partie B
1-a) Puisque
Alors
Interprétation graphique:
b) On a la limite usuelle suivante
Alors
c) On calcule
En effet, on a
Donc
d) Etudier les positions relatives de par rapport à revient à étudier le signe de
Puisque pour tout réel
Or, d'après le cours, on sait que:
Pour tout
On en tire que:
Ce qui s'interprète graphiquement par:
En effet:
2-a) La fonction est dérivable sur .
D'où:
b) On a vu que
On en déduit que:
Dressons alors le tableau de variations de
3-a) Une équation de la tangente au point d'abscisse s'écrit:
On a déjà calculé
On trouve:
b)Graphique:
Partie C
1-a) La fonction définie sur par est dérivable sur .
Donc,
b) Puisque pour tout réel strictement positif :
Alors directement:
2) Une primitive de s'écrit:
Donc :
Finalement, prend la valeur en , autrement dit,
Donc:
Conclusion:
Publié par malou/Panter
le
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