Fiche de mathématiques
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Bac Côte d'Ivoire 2022

Mathématiques Série B

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Durée : 3 heures
Coefficient : 4


L'usage d'une calculatrice scientifique est autorisé.


exercice 1

On repique des plantes de 10 cm de haut sous une serre . La taille maximale de ces plantes est de 1 m .
On note f(t) la taille , en mètre (m) d'une plante après t jours . On a donc f(0)=0,1 .
Le modèle de Verharlot consiste à considérer que la vitesse de croissance d'une plante évolue suivant la relation f'(t)=af(t)(1-f(t)) , où a
est une constante non nulle dépendant des conditions expérimentales , autrement dit , f est une solution sur [0,+\infty[ de l'équation différentielle : (E)\text{ : }y'=ay(1-y) .

1. On pose , pour tout t élément de ]0,+\infty[ \text{ : }z(t)=\dfrac{1}{f(t)} .
a) Déterminer z'(t) en fonction de f(t) .
b) Justifier que z est une solution de (E) si et seulement si z'=-az+a .

2. On se propose de résoudre l'équation différentielle (E)\text{ : }z'+az=a
a) Résoudre l'équation différentielle homogène : z'+az=0 .
b) Déterminer une solution particulière z_0 de l'équation (E) sous la forme d'une fonction constante p(t)=b .
c) En déduire une solution générale de (E) .
d) Justifier que , pour tout nombre réel positif t , on a : f(t)= \dfrac{1}{9e^{-at}+1}



exercice 2

Un vendeur de vêtements propose en vente des chemises et des pantalons qui sont confectionnés uniquement , soit en velours , soit en bazin , soit en lin .
Le client ne peut choisir qu'une seule article , soit une chemise , soit un pantalon .

Le vendeur a observé que :
\bullet 70\% de ses clients achètent une chemise et 10\% d'entre eux achètent une chemise en lin .
\bullet Lorsqu'un client achète un pantalon , il n'achète jamais un pantalon en basin , mais demande un pantalon velours dans 60\% des cas .

On considère les évènements suivants :
B:" Le client achète du bazin" .
C:"Le client achète une chemise" .
L:"Le client achète du lin" .
V:"Le client achète du velours" .

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre des probabilités.
Déterminer les nombres réels x,y\text{ et }z indiqués sur l'arbre .
Bac Côte d'Ivoire 2022 série B : image 1


2.a) Calculer la probabilité que le client achète une chemise en velours .
b) Calculer la probabilité que le client achète un pantalon en lin .

3. Montrer que la probabilité que le client achète du velours est 0,53 .

4.
La chemise est vendue à 3000 F l'unité .
Le pantalon en velours est vendu à 1000 F l'unité , celui en lin ou bien en bazin à 2000 F .

a) On note x_i la valeur possible en francs (F) du gain du vendeur et p_i la probabilité de réalisation .
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du vendeur en justifiant les réponses .

\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{ Valeur } x_i&3000&2000&1000\\  \hline  \text{ Probabilité }p_i &&& \\ \hline   \end{array}

b) Calculer l'espérance mathématique de la vente .
c) Déterminer le gain en francs (F) que le vendeur peut espérer pour 150 articles vends .



probleme

Partie A

Soit g la fonction définie sur ]0;+\infty[ par : g(x)=\dfrac{1}{2}x^2+1-\ln x .

1. On admet que la fonction g est dérivable sur ]0;+\infty[ et g' sa fonction dérivée .
a) Démontrer que pour tout x élément de ]0;+\infty[ \text{ , }g'(x)=\dfrac{x^2-1}{x} .
b) Justifier que :
\begin{matrix} \bullet &\text{ Pour tout }x\in]0;1[\text{ , } &g'(x) < 0 \\\bullet &\text{ Pour tout }x\in]1;+\infty[ \text{ , }&g'(x)>0\end{matrix}


2.a) Justifier que g(1) est le minimum de g sur ]0;+\infty[ .
b) En déduire que pour tout x élément de ]0;+\infty[ \text{ , }g(x)>0 .

Partie B

On considère la fonction f définie sur ]0;+\infty[ par : f(x)=3-x-\dfrac{2\ln x}{x} .
Soit (\mathscr C) la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O;I;J) .
Unités graphiques : OI=2\text{ cm et }OJ=1\text{ cm}

1.a) Calculer la limite de f en 0 puis interpréter graphiquement le résultat .
b) Calculer \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) .
c) Démontrer que la droite (D) d'équation y=-x+3 une asymptote à (\mathscr C) en +\infty .
d) Etudier les positions relatives de (\mathscr C) par rapport à (D) .

2. On admet que la fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[ et f' sa fonction dérivée .
a) Démontrer que, pour tout x élément de ]0;+\infty[ \text{ , }f'(x)=\dfrac{-2g(x)}{x^2} .
b) En déduire les variations de f sur ]0;+\infty[ puis dresser son tableau de variation .

3.a) Déterminer une équation de la tangente (T) à (\mathscr C) au point d'abscisse 1 .
b) Tracer les droites (D) et (T) puis construire (\mathscr C) dans le repère (O;I;J) .

Partie C

On considère la fonction H définie sur ]0;+\infty[ par : H(x)=(\ln x)^2 .

1. On admet que la fonction H est dérivable sur ]0;+\infty[ et H' sa fonction dérivée .
a) Déterminer H'(x) pour tout x élément de ]0;+\infty[ .
b) Justifier que pour tout x élément de ]0;+\infty[ \text{ , }f(x)=3-x-H'(x) .

2. En déduire une primitive F de f qui prend la valeur 2 en 1 .







exercice 1



1-a) Pour tout t\in ]0,+\infty[ \text{ : }z(t)=\dfrac{1}{f(t)} .
Donc, pour tout t\in]0;+\infty[\text{ : }\begin{matrix}z'(t)&=&\left(\dfrac{1}{f(t)}\right)'&=&\dfrac{-f'(t)}{(f(t))^2}\end{matrix}

\boxed{\forall t\in]0;+\infty[\text{ : }z'(t)=-\dfrac{f'(t)}{(f(t))^2}}


b) Erreur dans l'énoncé : Justifier que \red f\black est une solution de (E) si et seulement si z'=-az+a

On a:

\begin{matrix}f\text{ est solution de }(E)&\iff& \forall t\in[0;+\infty[\text{ : }f'(t)=af(t)(1-f(t)) \\&\iff& \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }\dfrac{f'(t)}{(f(t))^2}=\dfrac{af(t)(1-f(t))}{(f(t))^2}\\&\iff& \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }-\dfrac{f'(t)}{(f(t))^2}=\dfrac{a(f(t)-1)}{f(t)}\\&\iff&  \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }z'(t)=a\left(1-\dfrac{1}{f(t)}\right)\\&\iff&  \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }z'(t)=a(1-z(t))\\&\iff&  \forall t\in[0;+\infty[ \text{ : }z'(t)=-az(t)+a\\&\iff& \boxed{z'=-az+a}\end{matrix}

Donc:
\boxed{f \text{ est une solution de }(E) \text{ si et seulement si }z'=-az+a}


Remarque:

 Cliquez pour afficher


2) Dans cette partie de l'exercice, une nouvelle équation différentielle est aussi notée (E)\text{ : }z'+az=a , pour éviter toute ambiguité, nous noterons cette dernière (E')\text{ : }z'+az=a , pour la distinguer de (E)\text{ : }y'=ay(1-y)

a)D'après le cours, les solutions de l'équation homogène z'+az=0 sont les fonctions de la forme z(t)=k e^{-at} \enskip \text{ avec }k\in\R.

\boxed{\text{ Les solutions de l'équation }z'+az=0\text{ sont de la forme }z\text{ : }t\mapsto ke^{-at} \text{ / }k\in\R }


b) Soit z_0=p(t)=b\in\R une solution particulière de (E')

Donc: z_0'+az_0=a\iff p'(t)+ap(t)=a\iff 0+ab=a \iff b=1\enskip\text{ ( car }a\neq 0\text{)}

\boxed{\text{ La fonction constante }z_0\text{ : }x\mapsto 1 \text{ est une solution particulière de }(E') }


c) Une solution générale de (E') est la somme de la solution homogène trouvée en a) et d'une solution particulière trouvée en b) , donc:

\boxed{\text{ Une solution générale de }(E') \text{ est donc }z\text{ : }t\mapsto ke^{-at}+1 }


d) On a, z est solution de l'équation (E') , alors pour tout t\in[0;+\infty[\text{ , }z s'écrit sous la forme z(t)=ke^{-at}+1\text{ , }k\in\R

Alors, pour tout t\in[0;+\infty[\text{ : }f(t)=\dfrac{1}{z(t)}=\dfrac{1}{ke^{-at}+1}

Finalement, on a f(0)=0,1 \Longrightarrow \dfrac{1}{ke^{-a\times 0 }+1}=0,1 \text{ , et donc }\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{10} \iff k+1=10\iff k=9

Conclusion:
\boxed{\text{ Pour tout réel } t\geq 0\text{ : }f(t)= \dfrac{1}{9e^{-at}+1}}


exercice 2

1) On a

x+0,7=1\iff \boxed{x=0,3}
y+0,4+0,1=1\iff \boxed{y=0,5}
z+0+0,6=1\iff \boxed{z=0,4}

Et on complète l'arbre pondéré:
Bac Côte d'Ivoire 2022 série B : image 3


2-a) La probabilité que le client achète une chemise en velours est P(C\cap V) , donc:

P(C\cap V)=0,7\times 0,5 \Rightarrow \boxed{P(C\cap V)=0,35}


b) La probabilité que le client achète un pantalon en lin est P(\bar{C}\cap L) , donc:

P(\bar{C}\cap L)=0,3\times 0,4 \Rightarrow \boxed{P(\bar{C}\cap L)=0,12}


3) La probabilité P que le client achète du velours est P(C\cap V)+P(\bar{C}\cap V), donc:

P(C\cap V)+P(\bar{C}\cap V)=0,35+0,3\times 0,6 = 0,35+0,18 \Rightarrow \boxed{P(C\cap V)+P(\bar{C}\cap V)=0,53}


4-a) On sait que:

La chemise est vendue à 3000 F l'unité, donc: p(x=3000)=P(C)=0,7

Le pantalon en lin ou en bazin est vendu à 1000 F l'unité, donc: p(x=2000)=P(\bar{C}\cap L)+P(\bar{C}\cap B)=0,12+0=0,12

Le pantalon en velours est vendu à 1000 F l'unité, donc: p(x=1000)=P(\bar{C}\cap V)=0,3\times 0,6=0,18

Vérification: p(x=1000)+p(x=2000)+p(x=3000)=0,18+0,12+0,7=1

On complète le tableau:
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{ Valeur } x_i&3000&2000&1000\\  \hline  \text{ Probabilité }p_i &0,7&0,12&0,18 \\ \hline   \end{array}


b) Calculons l'espérance mathématique \overset{{\white{.}}}{E(X)} de X .

E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^3x_i\,p(X=x_i)=1000\times 0,18+2000\times0,12+3000\times0,7 \Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=2520}

c) Puisque E(X)=2520 , alors le vendeur peut espérer gagner 2520F par article vendu.

Alors, pour 150 articles vendus:

\boxed{\text{Le vendeur peut espérer gagner }150\times 2520=378000F }


probleme

Partie A

1-a) La fonction g est dérivable sur ]0;+\infty[.

\begin{matrix} \forall x>0\text{ : }g'(x)&=& \left(\dfrac{1}{2}x^2+1-\ln x  \right)' \\&=& x-\dfrac{1}{x} \\&=& \dfrac{x^2-1}{x}\end{matrix}

\boxed{\forall x>0\text{ : }g'(x)=  \dfrac{x^2-1}{x}  }


b) On a: \forall x>0\text{ : }g'(x)=  \dfrac{x^2-1}{x} =\dfrac{(x-1)(x+1) }{x}

Sur ]0;+\infty [\text{ , on a } x>0\text{ et } x+1>0 \text{ , donc le signe de } g'(x) \text{ est celui de } x-1

Dressons le tableau de signes de x-1

 \begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline  x&0&&1&&+\infty\\\hline x-1&\dbarre&-&\barre{0}&+& \\\hline g'(x)&\dbarre&-&\barre{0}&+&   \\\hline\end{tabvar}


On en tire que:

\boxed{\begin{matrix} \bullet &\text{ Pour tout }x\in]0;1[\text{ , } &g'(x) < 0 \\\bullet &\text{ Pour tout }x\in]1;+\infty[ \text{ , }&g'(x)>0\end{matrix}  }


2-a) On déduit de la question précédente que:

g est strictement décroissante sur ]0;1[
g est strictement croissante sur ]1;+\infty[

Dressons alors le tableau de variations de g\text{ : }

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x     & 0 &                 &1  &        &   +\infty                                          \\ \hline g'(x) &    \dbarre      & -              &\barre{0}      & +     &                                   \\ \hline       &   \dbarre     &        &          & &      \\  g          &   \dbarre       &\searrow&          &     \nearrow       &                                    \\	             &   \dbarre       &        &  g(1) & &                                             \\  \hline \end{array}}


On en déduit que:
\boxed{ g(1)\text{ est un minimum de } g\text{ sur } ]0;+\infty[}


b) Puisque g(1) est un minimum de g sur ]0;+\infty[. Alors:

\forall x\in ]0;+\infty[\text{ : } g(x)\geq g(1)


Or, g(1)=\dfrac{1}{2}+1-\ln 1 =\dfrac{3}{2}>0

Donc:

\boxed{\forall x\in ]0;+\infty[\text{ : } g(x)>0}



Partie B

1-a) Puisque \displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \enskip\enskip \text{ et } \enskip\enskip  \displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty

Alors \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=   \displaystyle\lim_{x\to 0^+} 3-x-\dfrac{2\ln x}{x} = \displaystyle\lim_{x\to 0^+} 3-x-2\times \dfrac{1}{x} \times \ln x =3-2\times(+\infty)\times(-\infty)=+\infty

\boxed{  \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)= +\infty}


Interprétation graphique:

\boxed{\text{L'axe des ordonnées (d'équation }x=0\text{) est une  asymptote verticale à la courbe } (\mathscr{C})}


b) On a la limite usuelle suivante \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0

Alors \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=   \displaystyle\lim_{x\to +\infty} 3-x-2\dfrac{\ln x}{x} =3-\infty-2\times 0=-\infty

\boxed{  \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)= -\infty}


c) On calcule \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)-y\text{ tel que } y=-x+3

\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)-y=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}  3-x-\dfrac{2\ln x}{x}+x-3 = \displaystyle\lim_{x\to +\infty} =-\dfrac{2\ln x}{x}=0

En effet, on a \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0

Donc

\boxed{\text{ La droite }(D)\text{ : }y=-x+3 \text{ est une asymptote oblique à }(\mathscr C) \text{ en }+\infty }


d) Etudier les positions relatives de (\mathscr C) par rapport à (D) revient à étudier le signe de f(x)-y \text{ tel que }y=-x+3

\begin{matrix} \forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x)-y&=& -\dfrac{2\ln x}{x} \end{matrix}

Puisque pour tout réel x\in]0;+\infty[\text{ : }x>0\text{ , alors le signe de }f(x)-y\text{ est l'opposé de celui de }\ln x

Or, d'après le cours, on sait que:

Pour tout x\in]0;1[\text{ : }\ln x < 0 \enskip\enskip\text{ , et pour tout }x\in ]1;+\infty[\text{ : }\ln x > 0 \enskip\enskip\text{ , avec }\ln 1= 0

On en tire que:

\begin{matrix} \forall x\in ]0;1[ \text{ : }f(x)-y> 0 \Rightarrow f(x)> y \\ \text{ Si }x=1\text{ : }f(x)=y \\ \forall x\in]1;\infty[\text{ : }\text{ : } f(x)-y< 0 \Rightarrow f(x)< y\end{matrix}


Ce qui s'interprète graphiquement par:

\boxed{\begin{matrix} \bullet  & (\mathscr C) \text{ est au-dessus de } (D) \text{ sur }]0;1[ \\\bullet & (\mathscr C) \text{ coupe } (D) \text{ au point } A(1;f(1))=A(1;2) \\ \bullet  & (\mathscr C) \text{ est en dessous de } (D) \text{ sur }]1;+\infty[\end{matrix}}


En effet: f(1)=3-1-2\ln 1=2

2-a) La fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[.

\begin{matrix} \forall x>0\text{ : }f'(x)&=& \left(3-x-\dfrac{2\ln x}{x}  \right)' &=& -1-2\left(\dfrac{(\ln x)'x-x'\ln x}{x^2}\right)\\&=& -1-2\dfrac{\dfrac{x}{x}-\ln x}{x^2} &=& -1-2\dfrac{1-\ln x}{x^2}\\&=& \dfrac{-x^2-2(1-\ln x)}{x^2}&=&\dfrac{-x^2-2+2\ln x}{x^2}\\&=&-2\times \dfrac{\dfrac{x^2}{2}+1-\ln x}{x^2}&=&\dfrac{-2g(x)}{x^2}\end{matrix}

D'où:
\boxed{\forall x \in  ]0;+\infty[ \text{ , }f'(x)=\dfrac{-2g(x)}{x^2}}


b) On a vu que \text{ pour tout }x>0\text{ , }g(x)>0\text{ et }x^2>0\text{ . Donc: }

\text{ Pour tout }x>0\text{ , } f'(x)= \dfrac{-2g(x)}{x^2}< 0


On en déduit que:

\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ }


Dressons alors le tableau de variations de f\text{ : }

\begin{array}{|c|cccc|} \hline x     & 0& &               &   +\infty                                          \\ \hline f'(x) &    \dbarre  &    &              -     &                                   \\ \hline       & \dbarre  &+\infty             & &      \\  f          &   \dbarre  &    &\searrow&                                      \\	             &   \dbarre&       &        &                           -\infty                    \\  \hline \end{array}}


3-a) Une équation de la tangente (T) \text{ à } (\mathscr C) au point d'abscisse 1 s'écrit:

(T)\text{ : }y=f'(1)(x-1)+f(1)


On a déjà calculé f(1)=2\text{ , calculons }f'(1)\text{ : }f'(1)=\dfrac{-2g(1)}{1^2}=-2g(1)=-2\times\dfrac{3}{2}=-3

On trouve:
(T)\text{ : }y=-3(x-1)+2 \iff \boxed{ (T)\text{ : } y=-3x+5}


b) Graphique:

Bac Côte d'Ivoire 2022 série B : image 2



Partie C

1-a) La fonction H définie sur ]0;+\infty[ par H(x)=(\ln x)^2 est dérivable sur ]0;+\infty[ .

Donc, \forall x\in]0;+\infty[\text{ : }H'(x)=\left((\ln x)^2\right)'=2(\ln x)'\ln x = 2\times\dfrac{1}{x}\times\ln x = \dfrac{2\ln x}{x}

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }H'(x) = \dfrac{2\ln x}{x}}


b) Puisque pour tout réel x strictement positif : f(x)=3-x-\dfrac{2\ln x}{x}

Alors directement:

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x) = 3-x-H'(x)}


2) Une primitive F de f s'écrit: F(x)=\displaystyle \int f(x)\text{ d}x

Donc :

\begin{matrix}F(x)&=&\displaystyle \int f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle \int 3-x-H'(x)\text{ d}x \\&=& 3x-\dfrac{x^2}{2}-H(x)+k \text{ / }k\in\R &=& 3x-\dfrac{x^2}{2}-(\ln x)^2  +k \text{ / }k\in\R\end{matrix}

Finalement, F prend la valeur 2 en 1 , autrement dit, F(1)=2

F(1)=2\iff 3-\dfrac{1}{2}-(\ln 1)^2  +k =2\iff 3-\dfrac{1}{2}+k=2 \iff k=2-3+\dfrac{1}{2} = \dfrac{-2+1}{2}\iff \boxed{k=-\dfrac{1}{2}}

Donc: F(x)=3x-\dfrac{x^2}{2}-(\ln x)^2  -\dfrac{1}{2}} =3x-\dfrac{x^2+1}{2} -(\ln x)^2

Conclusion:

\boxed{\text{Une primitive }F \text{ de }f \text{ telle que } F(1)=2 \text{ est définie par }F(x)=3x-\dfrac{x^2+1}{2} -(\ln x)^2}
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