Fiche de mathématiques
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Bac Côte d'Ivoire 2022

Mathématiques Série G1

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Durée : 1h30
Coefficient : 1


L'usage de la calculatrice scientifique est autorisé.


exercice 1

Chaque mois , le comptable de la boulangerie BONPAIN fait le bilan de la dépense x_i effectuée ainsi que celui du bénéfice y_i réalisé relativement à l'investissement.

Au terme de huit mois consécutifs d'activités, il a établi le tableau exprimant x_i et y_i en millions de francs CFA (F CFA)

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{ Numéro du mois }&1&2&3&4&5&6&7&8\\  \hline  \text{ Dépense }x_i\text{ (en millions de F CFA) } &4,5&6,6&5,4&7,8&10,2&9&8,5&10,8  \\ \hline \text{ Bénéfice }y_i \text{ (en millions de F CFA) }&1,2&3&1,8&3,4&5&4,5&4,2&6 \\ \hline   \end{array}

1. Représenter graphiquement le nuage de points associé à la série double (x_i,y_i) dans le plan muni d'un repère orthonormé .

Unités graphiques :

en abscisse : \text{1cm } pour 1 millions de F CFA .
en ordonnée : \text{1cm } pour 1 millions de F CFA .

2.a) Calculer la dépense moyenne de X .

b) Calculer le bénéfice moyen de Y .

c) En déduire les coordonnées du point moyen G du nuage points .

3. Tous résultats des calculs à 10^{-2} près .

a) Calculer les coordonnées du point moyen G_1 des quatre premiers points du nuage , puis les coordonnées du point moyen G_2 des quatre derniers points , puis tracer la droite (G_1G_2) .

b) En utilisant la méthode de Mayer , déterminer une équation de la droite d'ajustement affine (G_1G_2) .

4. Quel serait le bénéfice réalisé par cette boulangerie si elle effectue des dépenses de 25 500 000 F CFA ?



exercice 2

Une étude sur la rentabilité d'une unité de production de jus de fruit , a permis d'exprimer le bénéfice mensuel B en centaines de milliers de francs CFA (F CFA) ,

en fonction de la quantité x en centaine de litres vendus par l'expression : B(x)=-2x^3+33x^2-168x+500 .

1. Calculer B(3) et B(9) .

2. On admet que B est dérivable sur [3;9] et on note B' sa dérivée .

a) Vérifier que pour tout x élément de [3;9]\text{ , }B'(x)=-6(x-4)(x-7) .

b) Etudier le signe de B' sur [3;9] et en déduire les variations de B sur [3;9] .

c) Calculer B(4) et B(7) puis dresser le tableau de variation de B sur [3;9] .

3.a) Déterminer en F CFA le bénéfice mensuel maximal que peut réaliser cette unité de production de jus de fruit .

b) Préciser la quantité de litres de jus de fruit à vendre par mois pour réaliser ce bénéfice .







exercice 1

1) Voir le graphique ci-dessous.

2-a) Calculons la dépense moyenne:

 \bar{X}=\dfrac{1}{8}\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_i=\dfrac{1}{8}(4,5+6,6+5,4+7,8+10,2+9+8,5+10,8) =\dfrac{62,8}{8}=7,85

\boxed{\text{ La dépense moyenne est : }\bar{X}=7,85\enskip\text{ (M F CFA)}}


b) Calculons le bénéfice moyen:

 \bar{Y}=\dfrac{1}{8}\displaystyle\sum_{i=1}^{8}y_i=\dfrac{1}{8}(1,2+3+1,8+3,4+5+4,5+4,2+6) =\dfrac{29,1}{8}=3,6375\approx 3,64

\boxed{\text{ Le bénéfice moyen est : }\bar{Y}=3,64\enskip\text{ (M F CFA)}}


c) Les coordonnées du point moyen sont G(\bar{X};\bar{Y}). Donc, directement:

\boxed{G(7,85\enskip;\enskip 3,64)}


3-a) Calcul des coordonnées du point moyen G_1(\bar{x_1};\bar{y_1}) :

On a : \begin{cases} \bar{x_1}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}x_i=\dfrac{1}{4}(4,5+6,6+5,4+7,8) =\dfrac{24,3}{4}=6,075\approx 6,08  			\\   \bar{y_1}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=1}^{4}y_i=\dfrac{1}{4}(1,2+3+1,8+3,4) =\dfrac{9,4}{4}=2,35 			\end{cases}

Donc :
\boxed{G_1(6,08;2,35)\text{ est le point moyen des quatre premiers points }}


Calcul des coordonnées du point moyen G_2(\bar{x_2};\bar{y_2}) :

On a : \begin{cases} \bar{x_2}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=5}^{8}x_i=\dfrac{1}{4}(10,2+9+8,5+10,8) =\dfrac{24,3}{4}=9,625\approx 9,63  			\\   \bar{y_2}=\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=5}^{8}y_i=\dfrac{1}{4}(5+4,5+4,2+6) =\dfrac{19,7}{4}=4,925\approx 4,93 			\end{cases}

Donc :
\boxed{G_2(9,63;4,93)\text{ est le point moyen des quatre dernierss points }}


Le graphique:

Bac Côte d'Ivoire 2022 série G1 : image 1


b) Notons (G_1G_2)\text{ : }y=mx+p une équation cartésienne de la droite (G_1G_2) .

On a alors : m=\dfrac{\bar{y_2}-\bar{y_1}}{\bar{x_2}-\bar{x_1}}=\dfrac{4,93-2,35}{9,63-6,08}=\dfrac{2,58}{3,55} \approx 0,73

On remplace m par sa valeur dans l'équation : (G_1G_2)\text{ : }y=0,73x+b

On sait que G_1 est un point de (G_1G_2) , on a donc :

\begin{matrix}\bar{y_1}=0,73\bar{x_1}+p &\iff& 2,35=0,73\times 6,08 +p\\&\iff& p=2,35-4,44\\&\iff& p= -2,09 \end{matrix}

Conclusion :

\boxed{\begin{matrix} \text{L'équation cartésienne de la droite }(G_1G_2) \text{ s'écrit : }y=0,73x-2,09\end{matrix}}


4)Par calcul , on a x=25,5 , alors :

\begin{matrix}y=0,73x-2,09&\iff& y=0,73\times 25,5-2,09\\&\iff& y=16,529\approx 16,53\end{matrix}

On en déduit que :

\boxed{\text{Le bénéfice réalisé sera de 16 530 000 F CFA si BONPAIN effectue des dépenses de 25 500 000 F CFA}}




exercice 2

1) On a : B(x)=-2x^3+33x^2-168x+500

Donc : B(3)=-2\times 3^3+33\times 3^2-168\times 3+500=239

Et : B(9)=-2\times 9^3+33\times 9^2-168\times 9+500=203


\boxed{B(3)=239\enskip\text{ et }\enskip B(9)=203}


2-a) B est dérivable sur [3;9] , donc :

\begin{matrix}\text{Pour tout }x\in [3;9]\text{ : }B'(x)&=&(-2x^3+33x^2-168x+500 )'\\&=&-2\times 3x^2+33\times 2x-168 \\&=& -6x^2+66x-168 \end{matrix}

D'autre part , on a pour tout réel x\in [3;9]\text{ : }

\begin{matrix}-6(x-4)(x-7)&=&-6(x^2-7x-4x+28)&=&-6(x^2-11x+28)&=&-6x^2+66x-168\end{matrix}

On en déduit que :

\boxed{\text{Pour tout }x\text{ de }[3;9]\text{ : }B'(x)=-6(x-4)(x-7)}


b)Le signe de B'(x) est l'opposé de celui du produit (x-4)(x-7) , dressons alors le tableau de signes :

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCCCCCC|}\hline  x&3& &&4&&&&7&&&9\\ \hline x-4&&-&&\barre{0}&&+&&\barre{}&&+&\\ \hline x-7&&-&&\barre{}&&-&&\barre{0}&&+&\\ \hline (x-4)(x-7)&&+&&\barre{0}&&-&&\barre{0}&&+&\\ \hline B'(x)=-6(x-4)(x-7)&&-&&\barre{0}&&+&&\barre{0}&&-&\\ \hline\end{tabvar}


Conclusion:

\boxed{\begin{matrix} \text{Pour tout }x\text{ appartenant à } [3;4]\cup [7;9]\text{ : }B'(x)\leq 0 \\\text{Pour tout }x\text{ appartenant à } [4;7]\text{ : }B'(x)\geq 0\end{matrix}}


On en tire que:

\boxed{\begin{matrix} B\text{ est décroissante sur } [3;4]\cup [7;9]\\B\text{ est croissante sur }[4;7]\end{matrix}}


c) Calculons les images de 4 et 7 par la fonction B\text{ : }

B(4)=-2\times 4^3+33\times 4^2-168\times 4+500=228

B(7)=-2\times 7^3+33\times 7^2-168\times 7+500=255

\boxed{B(4)=228\enskip\text{ et }\enskip B(7)=255}


Et on dresse le tableau de variations de la fonction B\text{ : }

\begin{array}{|c|rccccccc|} \hline x     & 3        &   &           &  4  &         &    7&      & 9\\ \hline B'(x) &   &   & -         &\barre{0}        &+        &\barre{0}&-     &                                    \\ \hline       &  239 &   &          &     &         &        255 &        &                                   \\  f       &   &   &  \searrow  &               &\nearrow  &         & \searrow &                                 \\	       &   &  &           &	228	    &          &       &         &203 \\  \hline \end{array}


3-a) D'après le tableau de variations, la fonction B admet un maximum en x=7 qui est B(7)=255 .

Donc:

\boxed{\text{Le bénéfice mensuel maximal que peut réaliser cette unité est 255 F CFA}}


b) Puisque la fonction B admet le maximum de B(7)=255 en x=7 .

Alors:

\boxed{\text{Il faut vendre }700\text{ }\ell  \text{ de jus de fruit par mois pour réaliser ce bénéfice . }}
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