Fiche de mathématiques

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Bac Gabon 2022

Série A1

Durée : 3 heures
Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé
5 points

exercice 1

Questionnaire à choix multiples

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant cinq questions indépendantes . Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte .
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre (a,b,c ou d) correspondant à l'affirmation exacte.
Aucune justification n'est demandée . Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou une abscence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point .

5 points

exercice 2

Probabilités conditionnelles

Dans un centre d'examen de baccalauréat , on dénombre $800$ candidats appartenant aux 3 catégories suivantes :

La catégorie "A" composée de candidats libres .
La catégorie "B" composée de candidats provenant des lycées publics .
La catégorie "C" composée de candidats provenant des lycées privés .

Parmi tous ces candidats , on note que :

$50\%$ appartiennent à la catégorie "B" .
$10\%$ appartiennent à la catégorie "A"
$70\%$ sont des garçons .

On note également que :

$80\%$ des candidats de la catégorie "A" sont des garçons .
$60\%$ des candidats de la catégorie "B" sont des garçons .

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline &\text{Catégorie A}&\text{Catégorie B}&\text{Catégorie C}&\textbf{Totaux}\\ \hline \text{Garçons G} & &&256&560 \\ \hline \text{Filles F} &&160&& \\\hline\textbf{Totaux}&80&&&800\\\hline \end{array}$

2. On interroge un candidat au hasard . Déterminer la probabilité que ce candidat soit :
a. une fille d'un lycée public .
b. une candidate libre .
c. un garçon d'un lycée privé .

3. Le candidat choisi est un garçon . Quelle est la probabilité qu'il provienne d'un lycée public ?

5 points

exercice 3

Statistiques

Dans le tableau ci-dessous , on donne le nombre $x$ de personnes contaminées par la covid-19 et le nombre $y$ d'hospitalisations en réanimation par semaine .

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Semaines}&1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{Nombre }x\text{ de contaminations} & 80&85&95&100&105&110 \\ \hline \text{Nombre }y\text{ d'hospitalisations en reanimation} &8&9&10&10&12&11 \\\hline \end{array}$

Les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près .

1.a. Dans un repère orthogonal , représenter le nuage de points de coordonnées $(x_i,y_i)$ de cette série statistique .
b. La forme du nuage suggère-t-elle un ajustement affine ? Justifier votre réponse .

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage de points .

3. On donne : $\sum x_i^2=55\text{ }775\enskip;\enskip\sum y_i^2=610\enskip;\enskip\sum x_iy_i=5825\enskip\text{ et }cov(x,y)=12,53$ .
Calculer $r$ , le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique .

4. Vérifier qu'une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est : $y=0,11x-0,54$ .

5. Le pays dispose de $25$ lits de réanimation réservés aux malades de al covid-19 . Si cette tendance est maintenue , à partir de quel nombre de contaminations tous les lits du service de réanimation seront-ils occupés ?

5 points

exercice 4

Etude d'une fonction comportant $\ln$

$f$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{1}{x}-\ln x$ et $(C)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ .

1.a. Déterminer la limite de $f$ en $0$ , puis interpréter graphiquement ce résultat .
b. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .

2.a. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Montrer que $f'(x)=-\dfrac{1+x}{x^2}$ .
b. En déduire le sens de variation de $f$ .

3.a. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]1,7;1,8[$ .
b. En déduire le signe de $f$ sur $]0;+\infty[$ .

4. Tracer $(C)$ dans le repère $(O,I,J)$ .

Correction

exercice 1

1) La bonne réponse est a.

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2) La bonne réponse est c.

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3) La bonne réponse est b.

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4) La bonne réponse est d.

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5) La bonne réponse est a.

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exercice 2

1)On sait que:

Parmi tous les candidats, $50\%$ appartiennent à la catégorie B , donc le total de cette catégorie est $800\times 0,5 = 400$ .

On en déduit que le total de la catégorie C est: $800-80-400= 320$ .

On calcule aussi facilement le total des filles: $800-560=240$

Le nombre de filles dans la catégorie C: $320-256=64$

Le nombre de garçons dans la catégorie B: $400-160=240$

Puisque $80\%$ des candidats de la catégorie A sont des garçons, alors le nombre de garçons dans cette catégorie est: $80\times 0,8=64$

Finalement, le nombre de filles dans la catégorie A: $80-64=16$

Complétons alors le tableau:

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline &\text{Catégorie A}&\text{Catégorie B}&\text{Catégorie C}&\textbf{Totaux}\\ \hline \text{Garçons G} &64 &240&256&560 \\ \hline \text{Filles F} &16&160&64& 240\\\hline\textbf{Totaux}&80&400&320&800\\\hline \end{array}$

2-a) La probabilité que ce candidat soit une fille d'un lycée public, c'est-à-dire, une fille de la catégorie B , est: $\boxed{P(F\cap B)=\dfrac{160}{800}=\dfrac{1}{5}}$

b) La probabilité que ce candidat soit une candidate libre , c'est-à-dire, une fille de la catégorie A , est: $\boxed{P(F\cap A)=\dfrac{16}{800}=\dfrac{1}{50}}$

c) La probabilité que ce candidat soit un garçon d'un lycée privé , c'est-à-dire, un garçon de la catégorie C , est: $\boxed{P(G\cap C)=\dfrac{256}{800}=\dfrac{8}{25}}$

3) Ici, on choisit parmi les garçons, qui sont 560 au total .

La probabilité qu'un garçon provienne d'un lycée public ( donc de la catégorie B) est: $\boxed{P_G(B)=\dfrac{240}{560}=\dfrac{3}{7}}$

exercice 3

1-a) Pour un affichage optimal du nuage de points, on choisit l'origine du repère $(60,0)$ .

On choisit aussi l'échelle suivante:
1cm pour 5 rangs (contaminations) sur l'axe des abscisses.
1cm pour 5 rangs (hospitalisations en réanimation) sur l'axe des ordonnées.

Le nuage de points de la série statistique:

b) On remarque que le nuage a une forme allongée autour d'une droite , donc:

$\boxed{\text{ On peut envisager un ajustement linéaire affine }}$

2) Les coordonnées du point moyen $G(\bar{x},\bar{y})$ sont tels que $\bar{x}\text{ et }\bar{y}$ sont respectivement les moyennes des $x_i \text{ et }y_i$ .

On a :

$\bar{x}=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_i=\dfrac{1}{6}(80+85+95+100+105+110) =\dfrac{575}{6}\approx 95,83$

$\bar{y}=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}y_i=\dfrac{1}{6}(8+9+10+10+12+11) =\dfrac{60}{6}=10$

$\boxed{ \text{ Le point moyen }G\text{ de cette série statistique a pour coordonnées } G(95,83 \text{ ; }10) }$

3) Le coefficient de corrélation linéaire est: $r=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sqrt{\text{var}(x)\enskip\text{var}(y)}}$

Calculons les variances de $x$ et de $y\text{ : }$

$\text{var}(x)=\left(\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_i^2 \right)-\bar{x}^2 =\dfrac{1}{6}\times 55775-(95,83)^2 \approx 112,44$

$\text{var}(y)=\left(\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}y_i^2 \right)-\bar{y}^2 =\dfrac{1}{6}\times 610-(10)^2 \approx 1,67$

De plus, on a la donnée $\text{ cov}(x;y)=12,53$

Donc: $r=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sqrt{\text{var}(x)\enskip\text{var}(y)}}=\dfrac{12,53}{\sqrt{ 112,44\times 1,67}}\approx 0,91\Rightarrow\boxed{r\approx 0,91}$

4) L'équation cartésienne de la droite de régression linéaire est de la forme $y = mx +p$ avec $m=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\text{var}(x)}\text{ et }p=\bar{y}-m\bar{x}$
Calculons $m\text{ et }p\text{ : }$

$\begin{matrix}m&=&\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\text{var}(x)}&=&\dfrac{12,53}{112,44}&\approx&0,11\end{matrix}$

$\begin{matrix}p&=&\bar{y}-m\bar{x}&=&10-0,11\times 95,83 &\approx&-0,54 \end{matrix}$

On conclut alors que:

$\boxed{\text{Une équation cartésienne de la droite de régression de }y \text{ en }x\text{ s'écrit: }y=0,11x-0,54}$

5)On a $y=0,11x-0,54 \iff y+0,54=0,11 x \iff x=\dfrac{1}{0,11}(y+0,54)$

Le pays dispose de $25$ lits de réanimation , donc $y=25$ , il s'ensuit que $x=\dfrac{1}{0,11}(25+0,54)\approx 232,18$

$\boxed{\text{La totalité des lits du service de réanimation sera occupée à partir de la } 232^{\text{ème}} \text{ contamination }}$

exercice 4

1-a)On a $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\text{ , donc: }$

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}-\ln x =+\infty -(-\infty)=+\infty$

$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}$

Interprétation graphique:

$\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe }(C)}$

b) On a $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0 \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty\text{ , donc: }$

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}-\ln x =0 -(+\infty)=-\infty$

$\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}$

Remarque :

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2-a) La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:

$\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\left(\dfrac{1}{x}-\ln x\right)'=-\dfrac{1}{x^2} -\dfrac{1}{x} =-\left(\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{x}{x^2}\right)=-\dfrac{1+x}{x^2}$

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=-\dfrac{1+x}{x^2}}$

b) Puisque pour tout réel $x\in]0;+\infty[\text{ : }x^2 >0 \text{ et } x+1>0$

Donc, pour tout $x\in]0;+\infty[\text{ : }\dfrac{1+x}{x^2}>0$

On obtient donc:

pour tout $x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=-\dfrac{1+x}{x^2}<0$

On en déduit que:

$\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ }$

On dresse le tableau de variations de $f\text{: }$

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & 0 & & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & - & \\ \hline & \dbarre & +\infty & & \\ f & \dbarre & & \searrow & \\ & \dbarre & & & -\infty \\ \hline \end{array}}$

3.a)Sur $]0;+\infty[\text{ , }f$ est continue comme somme de fonctions continues sur cet intervalle , de plus, elle est strictement décroissante.

Et puisque $]1,7;1,8[\subset ]0;+\infty[\text{ , alors }f$ est continue et strictement décroissante sur $]1,7;1,8[$

De plus, on a:

$f(1,7)=\dfrac{1}{1,7}-\ln (1,7)\approx 0,06>0$
$f(1,8)=\dfrac{1}{1,8}-\ln (1,8)\approx -0,03 <0$

Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):

$\boxed{f(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1,7;1,8[}$

b) On a $\alpha\in]0;+\infty[$ (car $]1,7;1,8[\subset ]0;+\infty[$ )

Et puisque $f$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[\text{ : }$

Pour tout $0<x\leq \alpha\Longrightarrow f(x)\geq f(\alpha)=0$

Pour tout $x\geq \alpha\Longrightarrow f(x)\leq f(\alpha)=0$

On conclut alors que:

$\boxed{\begin{matrix} \text{ Pour tout }x\in]0;\alpha]\text{ : }f(x)\geq 0 \\ \text{ Pour tout }x\in[\alpha,+\infty[\text{ : }f(x)\leq 0 \end{matrix}}$

4) Le graphique:

Publié par malou/Panter le 13-04-2023

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