Fiche de mathématiques
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Bac Gabon 2022

Série A1

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Durée : 3 heures
Coefficient : 4


L'usage de la calculatrice est autorisé

5 points

exercice 1

Questionnaire à choix multiples

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant cinq questions indépendantes . Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte .
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre (a,b,c ou d) correspondant à l'affirmation exacte.
Aucune justification n'est demandée . Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou une abscence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point .

Bac Gabon 2022 série A1 : image 4


5 points

exercice 2

Probabilités conditionnelles

Dans un centre d'examen de baccalauréat , on dénombre 800 candidats appartenant aux 3 catégories suivantes :

La catégorie "A" composée de candidats libres .
La catégorie "B" composée de candidats provenant des lycées publics .
La catégorie "C" composée de candidats provenant des lycées privés .

Parmi tous ces candidats , on note que :

50\% appartiennent à la catégorie "B" .
10\% appartiennent à la catégorie "A"
70\% sont des garçons .

On note également que :

80\% des candidats de la catégorie "A" sont des garçons .
60\% des candidats de la catégorie "B" sont des garçons .

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline &\text{Catégorie A}&\text{Catégorie B}&\text{Catégorie C}&\textbf{Totaux}\\ \hline \text{Garçons G} & &&256&560 \\ \hline \text{Filles F} &&160&& \\\hline\textbf{Totaux}&80&&&800\\\hline \end{array}


2. On interroge un candidat au hasard . Déterminer la probabilité que ce candidat soit :
a. une fille d'un lycée public .
b. une candidate libre .
c. un garçon d'un lycée privé .

3. Le candidat choisi est un garçon . Quelle est la probabilité qu'il provienne d'un lycée public ?

5 points

exercice 3

Statistiques

Dans le tableau ci-dessous , on donne le nombre x de personnes contaminées par la covid-19 et le nombre y d'hospitalisations en réanimation par semaine .

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Semaines}&1&2&3&4&5&6\\  \hline \text{Nombre }x\text{ de contaminations} & 80&85&95&100&105&110 \\ \hline \text{Nombre }y\text{ d'hospitalisations en reanimation} &8&9&10&10&12&11 \\\hline \end{array}


Les résultats seront donnés à 10^{-2} près .

1.a. Dans un repère orthogonal , représenter le nuage de points de coordonnées (x_i,y_i) de cette série statistique .
b. La forme du nuage suggère-t-elle un ajustement affine ? Justifier votre réponse .

2. Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points .

3. On donne : \sum x_i^2=55\text{ }775\enskip;\enskip\sum y_i^2=610\enskip;\enskip\sum x_iy_i=5825\enskip\text{ et }cov(x,y)=12,53 .
Calculer r , le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique .

4. Vérifier qu'une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés est : y=0,11x-0,54 .

5. Le pays dispose de 25 lits de réanimation réservés aux malades de al covid-19 . Si cette tendance est maintenue , à partir de quel nombre de contaminations tous les lits du service de réanimation seront-ils occupés ?

5 points

exercice 4

Etude d'une fonction comportant \ln

f est la fonction définie sur ]0;+\infty[ par : f(x)=\dfrac{1}{x}-\ln x et (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O,I,J) .

1.a. Déterminer la limite de f en 0 , puis interpréter graphiquement ce résultat .
b. Déterminer la limite de f en +\infty .

2.a. Soit f' la fonction dérivée de f . Montrer que f'(x)=-\dfrac{1+x}{x^2} .
b. En déduire le sens de variation de f .

3.a. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique \alpha dans l'intervalle ]1,7;1,8[ .
b. En déduire le signe de f sur ]0;+\infty[ .

4. Tracer (C) dans le repère (O,I,J) .








exercice 1



1) La bonne réponse est a.

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2) La bonne réponse est c.

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3) La bonne réponse est b.

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4) La bonne réponse est d.

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5) La bonne réponse est a.

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exercice 2



1)On sait que:

Parmi tous les candidats, 50\% appartiennent à la catégorie B , donc le total de cette catégorie est 800\times 0,5 = 400.

On en déduit que le total de la catégorie C est: 800-80-400= 320.

On calcule aussi facilement le total des filles: 800-560=240

Le nombre de filles dans la catégorie C: 320-256=64

Le nombre de garçons dans la catégorie B: 400-160=240

Puisque 80\% des candidats de la catégorie A sont des garçons, alors le nombre de garçons dans cette catégorie est: 80\times 0,8=64

Finalement, le nombre de filles dans la catégorie A: 80-64=16


Complétons alors le tableau:

\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline &\text{Catégorie A}&\text{Catégorie B}&\text{Catégorie C}&\textbf{Totaux}\\ \hline \text{Garçons G} &64 &240&256&560 \\ \hline \text{Filles F} &16&160&64& 240\\\hline\textbf{Totaux}&80&400&320&800\\\hline \end{array}


2-a) La probabilité que ce candidat soit une fille d'un lycée public, c'est-à-dire, une fille de la catégorie B , est: \boxed{P(F\cap B)=\dfrac{160}{800}=\dfrac{1}{5}}

b) La probabilité que ce candidat soit une candidate libre , c'est-à-dire, une fille de la catégorie A , est: \boxed{P(F\cap A)=\dfrac{16}{800}=\dfrac{1}{50}}

c) La probabilité que ce candidat soit un garçon d'un lycée privé , c'est-à-dire, un garçon de la catégorie C , est: \boxed{P(G\cap C)=\dfrac{256}{800}=\dfrac{8}{25}}

3) Ici, on choisit parmi les garçons, qui sont 560 au total .

La probabilité qu'un garçon provienne d'un lycée public ( donc de la catégorie B) est: \boxed{P_G(B)=\dfrac{240}{560}=\dfrac{3}{7}}



exercice 3



1-a) Pour un affichage optimal du nuage de points, on choisit l'origine du repère (60,0).

On choisit aussi l'échelle suivante:
1cm pour 5 rangs (contaminations) sur l'axe des abscisses.
1cm pour 5 rangs (hospitalisations en réanimation) sur l'axe des ordonnées.

Le nuage de points de la série statistique:

Bac Gabon 2022 série A1 : image 5


b) On remarque que le nuage a une forme allongée autour d'une droite , donc:

\boxed{\text{ On peut envisager un ajustement linéaire affine }}


2) Les coordonnées du point moyen G(\bar{x},\bar{y}) sont tels que \bar{x}\text{ et }\bar{y} sont respectivement les moyennes des x_i \text{ et }y_i.

On a :

 \bar{x}=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_i=\dfrac{1}{6}(80+85+95+100+105+110) =\dfrac{575}{6}\approx 95,83

\bar{y}=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}y_i=\dfrac{1}{6}(8+9+10+10+12+11) =\dfrac{60}{6}=10

\boxed{ \text{ Le point moyen }G\text{ de cette série statistique a pour coordonnées } G(95,83 \text{ ; }10) }


3) Le coefficient de corrélation linéaire est: r=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sqrt{\text{var}(x)\enskip\text{var}(y)}}

Calculons les variances de x et de y\text{ : }

\text{var}(x)=\left(\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_i^2 \right)-\bar{x}^2 =\dfrac{1}{6}\times 55775-(95,83)^2 \approx 112,44

\text{var}(y)=\left(\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}y_i^2 \right)-\bar{y}^2 =\dfrac{1}{6}\times 610-(10)^2 \approx 1,67

De plus, on a la donnée \text{ cov}(x;y)=12,53

Donc:
r=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\sqrt{\text{var}(x)\enskip\text{var}(y)}}=\dfrac{12,53}{\sqrt{ 112,44\times 1,67}}\approx 0,91\Rightarrow\boxed{r\approx 0,91}


4) L'équation cartésienne de la droite de régression linéaire est de la forme y = mx +p avec m=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\text{var}(x)}\text{ et }p=\bar{y}-m\bar{x}
Calculons m\text{ et }p\text{ : }

\begin{matrix}m&=&\dfrac{\text{cov}(x;y)}{\text{var}(x)}&=&\dfrac{12,53}{112,44}&\approx&0,11\end{matrix}

\begin{matrix}p&=&\bar{y}-m\bar{x}&=&10-0,11\times 95,83 &\approx&-0,54 \end{matrix}

On conclut alors que:

\boxed{\text{Une équation cartésienne de la droite de régression de }y \text{ en }x\text{ s'écrit: }y=0,11x-0,54}


5)On a y=0,11x-0,54 \iff y+0,54=0,11 x \iff x=\dfrac{1}{0,11}(y+0,54)

Le pays dispose de 25 lits de réanimation , donc y=25, il s'ensuit que x=\dfrac{1}{0,11}(25+0,54)\approx 232,18

\boxed{\text{La totalité des lits du service de réanimation sera occupée à partir de la } 232^{\text{ème}} \text{ contamination }}




exercice 4



1-a)On a \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty\text{ , donc: }

\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}-\ln x =+\infty -(-\infty)=+\infty

\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}


Interprétation graphique:

\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe }(C)}


b) On a \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0 \text{ et }\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty\text{ , donc: }

\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}-\ln x =0 -(+\infty)=-\infty

\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}


Remarque :

 Cliquez pour afficher


2-a) La fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:

\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\left(\dfrac{1}{x}-\ln x\right)'=-\dfrac{1}{x^2} -\dfrac{1}{x} =-\left(\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{x}{x^2}\right)=-\dfrac{1+x}{x^2}

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=-\dfrac{1+x}{x^2}}


b) Puisque pour tout réel x\in]0;+\infty[\text{ : }x^2 >0 \text{ et } x+1>0

Donc, pour tout x\in]0;+\infty[\text{ : }\dfrac{1+x}{x^2}>0

On obtient donc:

pour tout x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=-\dfrac{1+x}{x^2}<0


On en déduit que:

\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est strictement décroissante sur }]0;+\infty[ }


On dresse le tableau de variations de f\text{: }

\begin{array}{|c|cccc|} \hline x     & 0 &    &                   &   +\infty                                          \\ \hline f'(x) &    \dbarre   &   & -     &                                   \\ \hline       &   \dbarre  & +\infty  &       &    \\  f         &   \dbarre   &   &   \searrow       &                                   \\	             &   \dbarre   &    &        &                   -\infty                          \\  \hline \end{array}}


3.a)Sur ]0;+\infty[\text{ , }f est continue comme somme de fonctions continues sur cet intervalle , de plus, elle est strictement décroissante.

Et puisque ]1,7;1,8[\subset ]0;+\infty[\text{ , alors }f est continue et strictement décroissante sur ]1,7;1,8[

De plus, on a:

f(1,7)=\dfrac{1}{1,7}-\ln (1,7)\approx 0,06>0
f(1,8)=\dfrac{1}{1,8}-\ln (1,8)\approx -0,03 <0

Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):

\boxed{f(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur }]1,7;1,8[}


b) On a \alpha\in]0;+\infty[ (car ]1,7;1,8[\subset ]0;+\infty[)

Et puisque f est strictement décroissante sur ]0;+\infty[\text{ : }

Pour tout 0<x\leq \alpha\Longrightarrow f(x)\geq f(\alpha)=0

Pour tout x\geq \alpha\Longrightarrow f(x)\leq f(\alpha)=0

On conclut alors que:

\boxed{\begin{matrix} \text{ Pour tout }x\in]0;\alpha]\text{ : }f(x)\geq 0 \\ \text{ Pour tout }x\in[\alpha,+\infty[\text{ : }f(x)\leq 0  \end{matrix}}


4) Le graphique:

Bac Gabon 2022 série A1 : image 6
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