Fiche de mathématiques
> >

Bac Gabon 2022

Série B

Partager :



Durée : 3 heures
Coefficient : 3

5 points

exercice 1

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) . Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte .
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie .
Aucune justification n'est demandée . Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse , abscente , multiple ou surchargée ne rapporte ni n'enlève aucun point .

1) E \text{ et } F sont deux évènements disjoints tels que p(E)=0,5 \text{ et }p(F)=0,2 \text{ . Alors }p(E\cup F)=\cdots

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\  \hline 0,7&0,6&0,1&1\\\hline \end{array}


2) On considère une fonction f définie et continue sur l'intervalle ]0;+\infty[ . Son tableau de variations est donné ci-dessous :

Bac Gabon 2022 série B : image 2


On peut être certain qu'une primitive F de la fonction f sur l'intervalle ]0;+\infty[ est :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\  \hline \text{négative sur }&\text{positive sur }&\text{strictement  }&\text{strictement }\\\text{  l'intervalle }[3;5]&\text{ l'intervalle }[5;11]&\text{ décroissante sur }&\text{ décroissante sur }\\&&\text{ l'intervalle }]-3;0]&\text{ l'intervalle }[3;+\infty[\\\hline \end{array}


3) g est une fonction définie et dérivable sur \R . La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe représentative de la fonction g dans un repère du plan a pour équation réduite : y=-x+3 . Alors on peut dire que :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\  \hline g'(1)=3&g'(x)=-1&g(1)=3&g'(1)=-1\\\hline \end{array}


4) Les droites d'équations (d)\text{ : }(1-\sqrt{2})x+y+\sqrt{2}-2=0 \enskip\text{ et }\enskip (d')\text{ : }x-y(\sqrt{2}+2)+2=0 \text{ sont : }

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\  \hline \text{sécantes}&\text{strictement parallèles}&\text{confondues}&\text{on ne peut rien dire}\\\hline \end{array}


5) Le système suivant de trois équations à deux inconnues x et y\enskip \begin{cases}x-2y=-5\\-x+y=3\\2x+y=0\end{cases}

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\  \hline \text{n'a aucune solution}&\text{a une solution }(-1;2)&\text{a une infinité de solutions}&\text{ne peut pas être résolu}\\\hline \end{array}


5 points

exercice 2

Suites numériques

Le service commercial d'une société de distribution d'internet d'une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante :

chaque année , la société accueille 400 nouveaux abonnés .
chaque année , 40\% des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés .

En 2020 cette société comptait 1500 abonnés .
On considère le nombre d'abonnés est modélisé par la suite (a_n) définie par :

a_{n+1}=0,6a_n+400\text{ avec }a_0=1500


1) Calculer le nombre d'abonnés en 2021 et en 2022 .

2) On considère la suite (v_n) définie par v_n=a_n-1000 .
a) Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,6 .
b) Déterminer l'expression de v_n en fonction de n .
c) En déduire que : a_n=500\times 0,6^n+1000.

3) En 2020 le prix d'un abonnement annuel à internet de cette société était de 300000\text{ }FCFA.
a) Quelle a été la recette de cette société en 2020 ?
b) Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5\% . On note P_n le prix de l'abonnement annuel pour l'année 2020+n .
Indiquer la nature de la suite (P_n) en justifiant la réponse .
En déduire l'expression de P_n en fonction de n .
c) Montrer que , pour l'année 2020+n , la recette totale annuelle R_n réalisée par la société est donnée par : R_n=(500\times 0,6^n+1000)\times(300000\times 1,05^n) .
En déduire la recette éventuelle de cette société en 2022 .

10 points

probleme

Etude de fonction
Les parties A et B peuvent être traités indépendamment


Un malafoutier commercialise du jus de palme . Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine .
Cette production est vendue dans sa totalité . Pour la fabrication de ce jus de palme , il achète des écorces de bois divers et un conservateur puis , il paye la main d'?uvre d'un jeune apprenti .
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction f définie pour tout nombre réel x de l'intervalle I=]0;3] par f(x)=10x^2-20x\ln x .
Lorsque x représente le nombre de centaines de litres de jus de palme , f(x) est le coût total de fabrication en dizaines de milliers de FCFA .
La recette , en dizaines de milliers de FCFA , est donnée par une fonction g définie sur le même intervalle .

Partie A

La courbe (C) représentative de la fonction f et la droite (D) représentative de la fonction linéaire g sont données ci-dessous .

Bac Gabon 2022 série B : image 1


1) Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification .
a) Donner le prix de vente en FCFA de 100 litres de jus de palme .
b) Donner l'expression de g(x) en fonction de x .
c) Combien l'artisan doit-il produire de litres de jus de palme au minimum pour que l'entreprise dégage un bénéfice ?

2) On admet que :
\displaystyle\int_{1}^{3}20x\ln x\text{ d}x = 90\ln 3-40

a) En déduire la valeur exacte puis , une valeur arrondie à l'unité près de \displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x .
b) En déduire , pour une production comprise entre 100 et 300 litres , la valeur moyenne (arrondie au FCFA) du coût de production .

Partie B

On note B(x) le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de x centaines de litres de jus de palme produits .
D'après les données précédentes , pour tout x de l'intervalle [1;3] , on a : B(x)=-10x^2+10x+20x\ln x
B(x) est exprimé en dizaine de milliers de FCFA .

1) On note B' la fonction dérivée de la fonction B . Montrer que , pour tout nombre x de 'lintervalle [1;3] , on a : B'(x)=-20x+20\ln x+30 .

2) On donne le tableau de variation de la fonction B' sur l'intervalle [1;3] .

\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|}\hline  x&1&& &&&3 \\\hline\niveau{2}{3} B'(x) & \niveau{3}{3}B'(1) && \niveau{2}{3}\decroit  &&\niveau{1}{3}&B'(3)  \\\hline\end{tabvar}


a) Montrer que l'équation B'(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle [2,3;2,4] .
Puis , Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près par défaut .
b) En déduire le signe de B'(x) sur l'intervalle [1;3] puis dresser le tableau de variation de la fonction B sur ce même intervalle .

3) Le malafoutier a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 85000\text{ } FCFA . Est-ce envisageable ?









exercice 1



1) La bonne réponse est A

 Cliquez pour afficher


2) La bonne réponse est D

 Cliquez pour afficher


3) La bonne réponse est D

 Cliquez pour afficher


4) La bonne réponse est A

 Cliquez pour afficher


5) La bonne réponse est B

 Cliquez pour afficher




exercice 2



1) La suite (a_n) est définie par : a_{n+1}=0,6a_n+400\text{ avec }a_0=1500

L'année 2021 correspond au rang n=1\text{ , donc le nombre d'abonnées en 2021 est: }a_{1}=0,6 a_0+400=0,6\times 1500+400=1300

L'année 2022 correspond au rang n=2\text{ , donc le nombre d'abonnées en 2022 est: }a_{2}=0,6 a_1+400=0,6\times 1300+400=1180

\boxed{\text{Le nombre d'abonnées est }1300\text{ en }2021 \text{ , et }1180\text{ en }2022}


2-a) Pour tout entier naturel n\text{ : }

\begin{matrix} v_{n+1}&=&a_{n+1}-1000&=&0,6a_n+400-1000\\&=& 0,6a_n-600 &=& 0,6(a_n-1000)\\&=& 0,6 v_n \end{matrix}

D'où:
\forall n\in\N\text{ : }v_{n+1}=0,6v_n


\boxed{\text{ La suite }(v_n) \text{ est une suite géométrique de raison }0,6}


b) Puisque (v_n) est une suite géométrique de raison 0,6

Alors pour tout entier naturel n  \text{ : }v_{n}=v_{0}\times 0,6^{n} , or, v_0=a_0-1000=1500-1000=500

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_{n}=500\times 0,6^{n}}


c) Pour tout entier naturel n  \text{ : }v_{n}=500\times 0,6^{n}\text{ et }v_n=a_n-1000

Donc, pour tout entier n\text{ : } a_n=v_n+1000\text{ ; D'où :}

\boxed{ \forall n\in\N\text{ : }a_n= 500\times 0,6^{n}+1000}


3-a) La société comptait en 2020 1500 abonnés , donc directement:

\boxed{\text{La recette de la société en 2020 était : } 1500\times 300000= 450000000\text{ FCFA }}


b) Puisque le prix de l'abonnement augmente chaque année de 5\% . Alors la suite (P_n) est définie par :

P_0=300000 \text{ le prix de l'abonnement en 2020 (l'an qui correspond au rang) }n=0

\text{Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }P_{n+1}=1,05P_n \text{ , avec :}

\begin{matrix} \bullet & P_n\text{ le prix de l'abonnement à l'année correspondante au rang } n\\ \bullet & P_{n+1} \text{ le prix de l'abonnement à l'année correspondante au rang } n+1\end{matrix}

(En effet, augmenter de 5\% revient à multiplier par 1,05)

On en tire que:
\boxed{(P_n)\text{ est une suite géométrique de raison }1,05}


Alors pour tout entier naturel n  \text{ : }P_{n}=P_{0}\times 1,05^{n} \text{ avec, } P_0=300000

Conclusion:
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }P_{n}=300000\times 1,05^{n}}


c) La recette totale annuelle R_n réalisée par la société pour l'année 2020+n est le produit du prix de l'abonnement pour l'année 2020+n par le nombre d'abonnés a_n en 2020+n.

D'où:
\forall n\in \N\text{ : } R_n=a_n\times P_n\Longrightarrow \boxed{ \forall n\in \N\text{ : }  R_n=(500\times 0,6^n+1000)\times(300000\times 1,05^n) }


L'année 2022 correspond au rang n=2\text{ , }la recette éventuelle de cette société en 2022 est donc R_2\text{ :}

R_2= (500\times 0,6^2+1000)\times(300000\times 1,05^2) } \Rightarrow   \boxed{R_2=390285000 \text{ FCFA}}




probleme




Partie A

1-a) Le prix de vente en FCFA de 100 litres de jus de palme correspond à g(1)\text{ :}

\boxed{ g(1)=10 \Rightarrow \text{ Le prix de vente de 100 litres est }100000\text{ FCFA}}


b) g est une fonction linéaire, donc de forme g(x)=ax\text{ ; } a\in\R

Déterminons a\text{ : } g(1)=10\Rightarrow a\times 1=10 \Rightarrow a=10

\boxed{ g(x)=10x}


c) L'entreprise dégage un bénéfice si la recette g(x) est supérieure au coût de fabrication f(x), donc graphiquement, si (D) est au-dessus de (C).

Ceci est réalisé pour x \geq 1 , donc:

\boxed{\text{L'artisan doit produire au minimum 100 litres de jus de palme }}


2-a) On a:

\begin{matrix}\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle\int_{1}^{3}10x^2-20x\ln x\text{ d}x \\&=& \displaystyle\int_{1}^{3}10x^2\text{ d}x-\displaystyle\int_{1}^{3}20x\ln x\text{ d}x\\&=& 10\displaystyle\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3-(90\ln 3-40)\\&=& \dfrac{10}{3}\left(27-1)-90\ln 3+40 \\&=& \dfrac{260}{3}+\dfrac{120}{3}-90\ln 3 \\&=& \boxed{ \dfrac{380}{3}-90\ln 3 }\end{matrix}

La valeur arrondie à l'unité près est donc:

\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x=\dfrac{380}{3}-90\ln 3\approx 27,79 \Longrightarrow \boxed{\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x=28\text{ (à l'unité près)}}


b) Le coût total de fabrication étant modélisé par la fonction f , la valeur moyenne (arrondie au FCFA) du coût d'une production comprise entre 100 et 300 litres est donc:

m=\dfrac{1}{3-1}\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{2} \times 28 \Longrightarrow \boxed{m=14}


Conclusion:

\boxed{\text{La valeur moyenne (arrondie au FCFA) du coût d'une production entre 100 et 300 litres est 140000 FCFA}}



Partie B

1) La fonction bénéfice B définie pour tout x de l'intervalle [1;3] par B(x)=-10x^2+10x+20x\ln x est une fonction dérivable sur [1;3] comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:

\begin{matrix}\forall x\in[1;3]\text{ : }B'(x)&=&\left(-10x^2+10x+20x\ln x\right)'&=& -10\times 2x +10+20(x'\ln x+x(\ln x)') \\&=& -20x+10+20\left(\ln x+x\times\dfrac{1}{x}\right)&=& -20x+10+20(\ln x+1) \\&=& -20x+10+20\ln x+20 &=& -20x+30+20\ln x \end{matrix}

D'où:
\boxed{\forall x\in[1;3]\text{ : } B'(x)=-20x+20\ln x+30}


2-a) La fonction B' est Continue sur [1;3] comme somme de fonctions continues sur cet intervalle.

Or, d'après le tableau de variations donnée, la fonction B' est strictement décroissante sur [1;3]

Et puisque [2,3;2,4]\text{ est inclus dans } [1;3] , alors la fonction B' est continue et strictement décroissante sur [2,3;2,4].

De plus, on a:

B'(2,3)=-20\times 2,3+20\ln (2,3)+30\approx 0,66>0

B'(2,4)=-20\times 2,4+20\ln (2,4)+30\approx -0,49<0

Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):

\boxed{B'(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur l'intervalle }[2,3;2,4]}


Calculons B'(2,35)\text{ : }

B'(2,35)=-20\times 2,35+20\ln (2,35)+30\approx 0,08>0

On en tire que \alpha >2,35

Calculons B'(2,36)\text{ : }

B'(2,36)=-20\times 2,36+20\ln (2,36)+30\approx -0,03<0

On en déduit que: 2,35 <\alpha <2,36

Donc:
\boxed{2,35 \text{ est une valeur approchée de }\alpha \text{ à }10^{-2} \text{ près par défaut} }


b) La fonction B' est continue et strictement décroissante sur [1;3] avec B'(\alpha)=0 \text{ , avec }\alpha\approx 2,35\in [1;3]

D'où:

\boxed{\begin{matrix}\bullet \text{ Pour tout }x\in[1;\alpha]\text{ : }B'(x)\geq 0 \\ \bullet \text{ Pour tout }x\in[\alpha;3]\text{ : }B'(x)\leq 0\end{matrix}}


Calculons les images de 1\text{ , }\alpha\text{ et }3 \text{ par la fonction }B\text{ : }

B(1)= -10\times 1^2+10\times 1+20\times 1\times \ln 1=-10+10+0=0

B(\alpha)\approx -10\times 2,35^2+10\times 2,35+20\times 2,35\times \ln 2,35\approx 8,43

B(3)= -10\times 3^2+10\times 3+20\times 3\times \ln 3=60(\ln 3-1)\approx 5,91

Dressons alors le tableau de variations de la fonction bénéfice B\text{ : }

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x     & 1  &                 &\alpha\approx 2,35  &        &   3                                        \\ \hline B'(x) &          & +              &\barre{0}      & -     &                                   \\ \hline       &        &        &   B(\alpha)\approx 8,43      & &       \\  B           &          &\nearrow&          &     \searrow       &                                    \\	             & 0       &        &  & &                           60(\ln 3-1)                 \\  \hline \end{array}}


3) On remarque que la fonction bénéfice B admet un maximum en \alpha et qui vaut B(\alpha)\approx 8,43

Donc pour tout x appartenant à [1;3]\text{ : }B(x)\leq 8,43

Cela veut dire que le malafoutier peut atteindre au maximum un bénéfice de 84300\text{ } FCFA

Finalement, 84300<85000

On conclut alors que:

\boxed{\text{Atteindre un bénéfice d'au moins 85000 FCFA N'est PAS envisageable}}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
/
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !