Fiche de mathématiques

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Bac Gabon 2022

Série B

Durée : 3 heures
Coefficient : 3
5 points

exercice 1

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) . Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte .
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie .
Aucune justification n'est demandée . Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse , abscente , multiple ou surchargée ne rapporte ni n'enlève aucun point .

1) $E \text{ et } F$ sont deux évènements disjoints tels que $p(E)=0,5 \text{ et }p(F)=0,2 \text{ . Alors }p(E\cup F)=\cdots$

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\ \hline 0,7&0,6&0,1&1\\\hline \end{array}$

2) On considère une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle $]0;+\infty[$ . Son tableau de variations est donné ci-dessous :

On peut être certain qu'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$ est :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\ \hline \text{négative sur }&\text{positive sur }&\text{strictement }&\text{strictement }\\\text{ l'intervalle }[3;5]&\text{ l'intervalle }[5;11]&\text{ décroissante sur }&\text{ décroissante sur }\\&&\text{ l'intervalle }]-3;0]&\text{ l'intervalle }[3;+\infty[\\\hline \end{array}$

3) $g$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$ . La tangente au point d'abscisse $1$ à la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère du plan a pour équation réduite : $y=-x+3$ . Alors on peut dire que :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\ \hline g'(1)=3&g'(x)=-1&g(1)=3&g'(1)=-1\\\hline \end{array}$

4) Les droites d'équations $(d)\text{ : }(1-\sqrt{2})x+y+\sqrt{2}-2=0 \enskip\text{ et }\enskip (d')\text{ : }x-y(\sqrt{2}+2)+2=0 \text{ sont : }$

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\ \hline \text{sécantes}&\text{strictement parallèles}&\text{confondues}&\text{on ne peut rien dire}\\\hline \end{array}$

5) Le système suivant de trois équations à deux inconnues $x$ et $y\enskip \begin{cases}x-2y=-5\\-x+y=3\\2x+y=0\end{cases}$

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D\\ \hline \text{n'a aucune solution}&\text{a une solution }(-1;2)&\text{a une infinité de solutions}&\text{ne peut pas être résolu}\\\hline \end{array}$

5 points

exercice 2

Suites numériques

Le service commercial d'une société de distribution d'internet d'une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante :

chaque année , la société accueille $400$ nouveaux abonnés .
chaque année , $40\%$ des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés .

En $2020$ cette société comptait $1500$ abonnés .
On considère le nombre d'abonnés est modélisé par la suite $(a_n)$ définie par :

$a_{n+1}=0,6a_n+400\text{ avec }a_0=1500$

1) Calculer le nombre d'abonnés en $2021$ et en $2022$ .

2) On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=a_n-1000$ .
a) Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,6$ .
b) Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ .
c) En déduire que : $a_n=500\times 0,6^n+1000$ .

3) En $2020$ le prix d'un abonnement annuel à internet de cette société était de $300000\text{ }FCFA$ .
a) Quelle a été la recette de cette société en $2020$ ?
b) Chaque année le prix de cet abonnement augmente de $5\%$ . On note $P_n$ le prix de l'abonnement annuel pour l'année $2020+n$ .
Indiquer la nature de la suite $(P_n)$ en justifiant la réponse .
En déduire l'expression de $P_n$ en fonction de $n$ .
c) Montrer que , pour l'année $2020+n$ , la recette totale annuelle $R_n$ réalisée par la société est donnée par : $R_n=(500\times 0,6^n+1000)\times(300000\times 1,05^n)$ .
En déduire la recette éventuelle de cette société en $2022$ .

10 points

probleme

Etude de fonction
Les parties A et B peuvent être traités indépendamment

Un malafoutier commercialise du jus de palme . Il peut en produire entre $0$ et $300$ litres par semaine .
Cette production est vendue dans sa totalité . Pour la fabrication de ce jus de palme , il achète des écorces de bois divers et un conservateur puis , il paye la main d'?uvre d'un jeune apprenti .
Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $I=]0;3]$ par $f(x)=10x^2-20x\ln x$ .
Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de litres de jus de palme , $f(x)$ est le coût total de fabrication en dizaines de milliers de FCFA .
La recette , en dizaines de milliers de FCFA , est donnée par une fonction $g$ définie sur le même intervalle .

Partie A

La courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$ et la droite $(D)$ représentative de la fonction linéaire $g$ sont données ci-dessous .

1) Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification .
a) Donner le prix de vente en FCFA de $100$ litres de jus de palme .
b) Donner l'expression de $g(x)$ en fonction de $x$ .
c) Combien l'artisan doit-il produire de litres de jus de palme au minimum pour que l'entreprise dégage un bénéfice ?

2) On admet que :
$\displaystyle\int_{1}^{3}20x\ln x\text{ d}x = 90\ln 3-40$
a) En déduire la valeur exacte puis , une valeur arrondie à l'unité près de $\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x$ .
b) En déduire , pour une production comprise entre $100$ et $300$ litres , la valeur moyenne (arrondie au FCFA) du coût de production .

Partie B

On note $B(x)$ le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de x centaines de litres de jus de palme produits .
D'après les données précédentes , pour tout x de l'intervalle $[1;3]$ , on a : $B(x)=-10x^2+10x+20x\ln x$
Où $B(x)$ est exprimé en dizaine de milliers de FCFA .

1) On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ . Montrer que , pour tout nombre $x$ de 'lintervalle $[1;3]$ , on a : $B'(x)=-20x+20\ln x+30$ .

2) On donne le tableau de variation de la fonction $B'$ sur l'intervalle $[1;3]$ .

$\begin{tabvar}{|C|CCCCCC|}\hline x&1&& &&&3 \\\hline\niveau{2}{3} B'(x) & \niveau{3}{3}B'(1) && \niveau{2}{3}\decroit &&\niveau{1}{3}&B'(3) \\\hline\end{tabvar}$

a) Montrer que l'équation $B'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[2,3;2,4]$ .
Puis , Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut .
b) En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[1;3]$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur ce même intervalle .

3) Le malafoutier a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins $85000\text{ } FCFA$ . Est-ce envisageable ?

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exercice 1

1) La bonne réponse est A

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2) La bonne réponse est D

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3) La bonne réponse est D

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4) La bonne réponse est A

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5) La bonne réponse est B

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exercice 2

1) La suite $(a_n)$ est définie par : $a_{n+1}=0,6a_n+400\text{ avec }a_0=1500$

L'année 2021 correspond au rang $n=1\text{ , donc le nombre d'abonnées en 2021 est: }a_{1}=0,6 a_0+400=0,6\times 1500+400=1300$

L'année 2022 correspond au rang $n=2\text{ , donc le nombre d'abonnées en 2022 est: }a_{2}=0,6 a_1+400=0,6\times 1300+400=1180$

$\boxed{\text{Le nombre d'abonnées est }1300\text{ en }2021 \text{ , et }1180\text{ en }2022}$

2-a) Pour tout entier naturel $n\text{ : }$

$\begin{matrix} v_{n+1}&=&a_{n+1}-1000&=&0,6a_n+400-1000\\&=& 0,6a_n-600 &=& 0,6(a_n-1000)\\&=& 0,6 v_n \end{matrix}$

D'où: $\forall n\in\N\text{ : }v_{n+1}=0,6v_n$

$\boxed{\text{ La suite }(v_n) \text{ est une suite géométrique de raison }0,6}$

b) Puisque $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,6$

Alors pour tout entier naturel $n \text{ : }v_{n}=v_{0}\times 0,6^{n}$ , or, $v_0=a_0-1000=1500-1000=500$

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_{n}=500\times 0,6^{n}}$

c) Pour tout entier naturel $n \text{ : }v_{n}=500\times 0,6^{n}\text{ et }v_n=a_n-1000$

Donc, pour tout entier $n\text{ : } a_n=v_n+1000\text{ ; D'où :}$

$\boxed{ \forall n\in\N\text{ : }a_n= 500\times 0,6^{n}+1000}$

3-a) La société comptait en 2020 1500 abonnés , donc directement:

$\boxed{\text{La recette de la société en 2020 était : } 1500\times 300000= 450000000\text{ FCFA }}$

b) Puisque le prix de l'abonnement augmente chaque année de $5\%$ . Alors la suite $(P_n)$ est définie par :

$P_0=300000 \text{ le prix de l'abonnement en 2020 (l'an qui correspond au rang) }n=0$

$\text{Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }P_{n+1}=1,05P_n \text{ , avec :}$

$\begin{matrix} \bullet & P_n\text{ le prix de l'abonnement à l'année correspondante au rang } n\\ \bullet & P_{n+1} \text{ le prix de l'abonnement à l'année correspondante au rang } n+1\end{matrix}$

(En effet, augmenter de $5\%$ revient à multiplier par $1,05$ )

On en tire que: $\boxed{(P_n)\text{ est une suite géométrique de raison }1,05}$

Alors pour tout entier naturel $n \text{ : }P_{n}=P_{0}\times 1,05^{n} \text{ avec, } P_0=300000$

Conclusion: $\boxed{\forall n\in\N\text{ : }P_{n}=300000\times 1,05^{n}}$

c) La recette totale annuelle $R_n$ réalisée par la société pour l'année $2020+n$ est le produit du prix de l'abonnement pour l'année $2020+n$ par le nombre d'abonnés $a_n$ en $2020+n$ .

D'où: $\forall n\in \N\text{ : } R_n=a_n\times P_n\Longrightarrow \boxed{ \forall n\in \N\text{ : } R_n=(500\times 0,6^n+1000)\times(300000\times 1,05^n) }$

L'année 2022 correspond au rang $n=2\text{ , }$ la recette éventuelle de cette société en 2022 est donc $R_2\text{ :}$

$R_2= (500\times 0,6^2+1000)\times(300000\times 1,05^2) } \Rightarrow \boxed{R_2=390285000 \text{ FCFA}}$

probleme

Partie A

1-a) Le prix de vente en FCFA de 100 litres de jus de palme correspond à $g(1)\text{ :}$

$\boxed{ g(1)=10 \Rightarrow \text{ Le prix de vente de 100 litres est }100000\text{ FCFA}}$

b) $g$ est une fonction linéaire, donc de forme $g(x)=ax\text{ ; } a\in\R$

Déterminons $a\text{ : } g(1)=10\Rightarrow a\times 1=10 \Rightarrow a=10$

$\boxed{ g(x)=10x}$

c) L'entreprise dégage un bénéfice si la recette $g(x)$ est supérieure au coût de fabrication $f(x)$ , donc graphiquement, si $(D)$ est au-dessus de $(C)$ .

Ceci est réalisé pour $x \geq 1$ , donc:

$\boxed{\text{L'artisan doit produire au minimum 100 litres de jus de palme }}$

2-a) On a:

$\begin{matrix}\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle\int_{1}^{3}10x^2-20x\ln x\text{ d}x \\&=& \displaystyle\int_{1}^{3}10x^2\text{ d}x-\displaystyle\int_{1}^{3}20x\ln x\text{ d}x\\&=& 10\displaystyle\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3-(90\ln 3-40)\\&=& \dfrac{10}{3}\left(27-1)-90\ln 3+40 \\&=& \dfrac{260}{3}+\dfrac{120}{3}-90\ln 3 \\&=& \boxed{ \dfrac{380}{3}-90\ln 3 }\end{matrix}$

La valeur arrondie à l'unité près est donc:

$\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x=\dfrac{380}{3}-90\ln 3\approx 27,79 \Longrightarrow \boxed{\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x=28\text{ (à l'unité près)}}$

b) Le coût total de fabrication étant modélisé par la fonction $f$ , la valeur moyenne (arrondie au FCFA) du coût d'une production comprise entre 100 et 300 litres est donc:

$m=\dfrac{1}{3-1}\displaystyle\int_{1}^{3}f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{2} \times 28 \Longrightarrow \boxed{m=14}$

Conclusion:

$\boxed{\text{La valeur moyenne (arrondie au FCFA) du coût d'une production entre 100 et 300 litres est 140000 FCFA}}$

Partie B

1) La fonction bénéfice $B$ définie pour tout $x$ de l'intervalle $[1;3]$ par $B(x)=-10x^2+10x+20x\ln x$ est une fonction dérivable sur $[1;3]$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, alors:

$\begin{matrix}\forall x\in[1;3]\text{ : }B'(x)&=&\left(-10x^2+10x+20x\ln x\right)'&=& -10\times 2x +10+20(x'\ln x+x(\ln x)') \\&=& -20x+10+20\left(\ln x+x\times\dfrac{1}{x}\right)&=& -20x+10+20(\ln x+1) \\&=& -20x+10+20\ln x+20 &=& -20x+30+20\ln x \end{matrix}$

D'où: $\boxed{\forall x\in[1;3]\text{ : } B'(x)=-20x+20\ln x+30}$

2-a) La fonction $B'$ est Continue sur $[1;3]$ comme somme de fonctions continues sur cet intervalle.

Or, d'après le tableau de variations donnée, la fonction $B'$ est strictement décroissante sur $[1;3]$

Et puisque $[2,3;2,4]\text{ est inclus dans } [1;3]$ , alors la fonction $B'$ est continue et strictement décroissante sur [2,3;2,4].

De plus, on a:

$B'(2,3)=-20\times 2,3+20\ln (2,3)+30\approx 0,66>0$

$B'(2,4)=-20\times 2,4+20\ln (2,4)+30\approx -0,49<0$

Donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.):

$\boxed{B'(x)=0\text{ admet une solution unique notée }\alpha\text{ sur l'intervalle }[2,3;2,4]}$

Calculons $B'(2,35)\text{ : }$

$B'(2,35)=-20\times 2,35+20\ln (2,35)+30\approx 0,08>0$

On en tire que $\alpha >2,35$

Calculons $B'(2,36)\text{ : }$

$B'(2,36)=-20\times 2,36+20\ln (2,36)+30\approx -0,03<0$

On en déduit que: $2,35 <\alpha <2,36$

Donc: $\boxed{2,35 \text{ est une valeur approchée de }\alpha \text{ à }10^{-2} \text{ près par défaut} }$

b) La fonction $B'$ est continue et strictement décroissante sur $[1;3]$ avec $B'(\alpha)=0 \text{ , avec }\alpha\approx 2,35\in [1;3]$

D'où:

$\boxed{\begin{matrix}\bullet \text{ Pour tout }x\in[1;\alpha]\text{ : }B'(x)\geq 0 \\ \bullet \text{ Pour tout }x\in[\alpha;3]\text{ : }B'(x)\leq 0\end{matrix}}$

Calculons les images de $1\text{ , }\alpha\text{ et }3 \text{ par la fonction }B\text{ : }$

$B(1)= -10\times 1^2+10\times 1+20\times 1\times \ln 1=-10+10+0=0$

$B(\alpha)\approx -10\times 2,35^2+10\times 2,35+20\times 2,35\times \ln 2,35\approx 8,43$

$B(3)= -10\times 3^2+10\times 3+20\times 3\times \ln 3=60(\ln 3-1)\approx 5,91$

Dressons alors le tableau de variations de la fonction bénéfice $B\text{ : }$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 1 & &\alpha\approx 2,35 & & 3 \\ \hline B'(x) & & + &\barre{0} & - & \\ \hline & & & B(\alpha)\approx 8,43 & & \\ B & &\nearrow& & \searrow & \\ & 0 & & & & 60(\ln 3-1) \\ \hline \end{array}}$

3) On remarque que la fonction bénéfice $B$ admet un maximum en $\alpha$ et qui vaut $B(\alpha)\approx 8,43$

Donc pour tout $x$ appartenant à $[1;3]\text{ : }B(x)\leq 8,43$

Cela veut dire que le malafoutier peut atteindre au maximum un bénéfice de $84300\text{ } FCFA$

Finalement, $84300<85000$

On conclut alors que:

$\boxed{\text{Atteindre un bénéfice d'au moins 85000 FCFA N'est PAS envisageable}}$

Publié par malou/Panter le 13-04-2023

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