Fiche de mathématiques

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Bac Gabon 2022

Série C-SI

Durée : 4 heures
Coefficient : 5

L'usage de la calculatrice est autorisé

5 points

exercice 1

Questions à choix multiples

Pour chacune des questions , une seule des quatre propositions est exacte . Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Exemple : Question 1 Réponse A .
Une bonne réponse rapporte 1 pt , une mauvaise fait perdre 0,5 point et l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point . Si le total des points est négatif , la note de cet exercice est ramenée à zéro .

1. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y''+\omega^2y=0$ .
Les solutions de cette équation sont de la forme :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline (A\cos\omega x+B\sin\omega x)e^{2x}&(Ax+B)e^{\omega x}&A \cos\omega x+B\sin\omega x&(Ax+B)e^{-\omega x}\\\hline \end{array}$

2. Chez l'homme l'angine peut être provoquée soit par une bactérie , soit par un virus . On admet qu'une personne malade ne peut être à la fois porteur du virus et de la bactérie et que l'angine est bactérienne dans $20\%$ des cas . Sur un échantillon de $n\enskip (n\geq 2)$ hommes la probabilité d'obtenir au moins une personne atteinte de l'angine dû à une bactérie est :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}&\text{ Aucune réponse n'est juste}\\\hline \end{array}$

3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$ . On considère les points $A\text{ et }B$ d'affixes respectives $-1+2i\text{ et }i$ .
L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|i\bar{z}-2+i|=|z-i|$ est :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{Un cercle de}&\text{La médiatrice du}&\text{Aucune réponse}&\text{Une sphère de}\\\text{diamètre }[AB]&\text{segment }[AB]&\text{n'est juste}&\text{diamètre }[AB]\\\hline \end{array}$

4. L'intégrale $\displaystyle\int_{e^2}^{e^3}\left(\dfrac{\ln x-1}{x\ln x}\right)\text{ d}x$ est égale à :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline 1-\ln 3+\ln 2&-1+\ln 3+\ln 2&1-\ln 3-\ln 2&-1-\ln 3+\ln 2\\\hline \end{array}$

5. Soient $g$ et $h$ deux rotations de centres respectifs $A\text{ et }B$ d'angles respectifs $\theta$ et $-\theta$ avec $\theta\neq 0$ . $C$ est le point du plan tel que $h^{-1}(A)=C$ . La composée $h\circ g$ est :

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{Une symétrie de}&\text{Une translation de}&\text{Une translation de}&\text{Un anti déplacement}\\\text{centre }C&\text{vecteur }\overrightarrow{AC}&\text{vecteur }\overrightarrow{CA}&\\\hline \end{array}$

5 points

exercice 2

Isométries de l'espace

Dans l'espace $(\mathcal{E})$ muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on considère les points $E(2;1;1)\text{ , }A\left(-\dfrac{4}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{7}{3}\right)$ et l'application $f$ de l'espace $(\mathcal{E}) \text{ dans } (\mathcal{E})$ d'expression analytique : $\begin{cases} 3x'=x+2y-2z-6\\3y'=2x+y+2z+6\\3z'=-2x+2y+z-6\end{cases}$ .

1. Déterminer $f(A)$ .

2. Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace et $M'(x';y';z')$ son image par $f$ .
a) Démontrer que $\overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}\text{ avec }\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ .
b) Démontrer que l'ensemble $(\pi)$ des points invariants par $f$ est le plan d'équation : $x-y+z+3=0$ .
c) Justifier que la droite $(MM')$ est orthogonale à $(\pi)$ .
d) Démontrer que le milieu $K$ du segment $[MM']$ appartient au plan $(\pi)$ .
e) En déduire la nature de $f$ .

3. Soit $(D)$ la droite passant par $E$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ .
a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de $(D)$ est : $\begin{cases}x=2+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}\enskip (t\in\R)$ .
b) Justifier que la droite $(D)$ est orthogonale au plan $(\pi)$ .
c) Déterminer les coordonnées du point $K$ intersection de $(D)$ et $(\pi)$ .

4. Soit $S_{(D)}$ le demi-tour d'axe $(D)$ .
a) Déterminer l'expression analytique de $S_{(D)}$ .
b) Déterminer la nature de $S_{(D)} \circ f$ , puis montrer que $S_{(D)}\circ f(A)=E$ .

4 points

exercice 3

Arithmétique - Divisibilité par 4 et 17 des termes d'une suite

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de nombres entiers naturels définie par : $\begin{cases} u_0=0\\u_{n+1}=17+3u_n\end{cases}$ .

1-a) Calculer $u_1,u_2,u_3\text{ et }u_4$ .
b) Que peut-on conjecturer quant à la divisibilité par $4$ et $17$ des termes de cette suite ?

2-a) Démontrer que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4]$ .
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4]$ .
c) En déduire que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4]$ .

3. On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+\dfrac{17}{2}$ .
a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
b) En déduire que pour tout entier naturel $n\text{ : }2u_n=17(3^n-1)$ .
c) En utilisant le théorème de Gauss , montrer que pour tout entier naturel $n\text{ : }u_n\equiv 0[17]$ .

4. Conclure sur la divisibilité par $4$ et $17$ des termes de la suite $(u_n)$ .

6 points

exercice 4

Etude d'une famille de fonctions - Calcul intégral

Soit $n$ un entier naturel non nul .
On considère la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par : $f_n(x)=1+xe^{-nx+1}$ .
$(C_n)$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,I,J)$ .

1. Calculer les limites de $f_n$ aux bornes de son ensemble de définition . Si possible , Interpréter graphiquement les résultats .

2. On note $f'_n$ la fonction dérivée de $f_n$ .
a) Montrer que pour tout réel $x\text{ : }f'_n(x)=(1-nx)e^{-nx+1}$ .
b) Calculer $f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)$ puis dresser le tableau de variation de $f_n$ .

3-a) Démontrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $\varphi_n$ sur $\R$ .
b) En déduire le signe de $f_n$ sur $\R$ .

4-a) Démontrer que toutes les courbes $(C_n)$ passent par un point commun $A$ dont on précisera les coordonnées .
b) Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_n)$ en $A$ .

5. Construire $(C_1),(C_2)\text{ et }(T)$ .

6. On pose pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x$ .
a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }1\leq W_n\leq 1+\dfrac{e}{2}$ .
b) Démontrer que la suite $(W_n)$ est décroissante .
c) Déduire alors la convergence de la suite $(W_n)$ .
d) A l'aide d'une intégration par parties , démontrer que pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }W_n=-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1$ .
e) En déduire la limite de la suite $(W_n)$ .

Correction

exercice 1

1) La réponse correcte est C

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2) La réponse correcte est B

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3) La réponse correcte est B

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4) La réponse correcte est A

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5) La réponse correcte est C

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exercice 2

1) Déterminons les coordonnées $(x';y';z')$ du point $f(A)$ , l'image de $A$ par $f\text{ :}$

$\begin{matrix}\begin{cases} 3x'=x_A+2y_A-2z_A-6\\3y'=2x_A+y_A+2z_A+6\\3z'=-2x_A+2y_A+z_A-6\end{cases} &\iff& \begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}(x_A+2y_A-2z_A-6)\\y'=\dfrac{1}{3}(2x_A+y_A+2z_A+6)\\z'=\dfrac{1}{3}(-2x_A+2y_A+z_A-6)\end{cases} \\&\iff& \begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{4}{3}+2\times\dfrac{13}{3}+2\times\dfrac{7}{3}-6\right)\\y'=\dfrac{1}{3}\left(-2\times \dfrac{4}{3}+\dfrac{13}{3}-2\times\dfrac{7}{3}+6\right)\\z'=\dfrac{1}{3}\left(-2\times\dfrac{4}{3}+2\times\dfrac{13}{3}-\dfrac{7}{3}-6\right)\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} x'=2 \\y'=1\\z'=1\end{cases}\\&\iff& \begin{cases} x'=x_E\\y'=y_E\\z'=z_E\end{cases}\end{matrix}$

Conclusion:

$\boxed{f(A)=E}$

2-a) On a:

$\begin{matrix}\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix} x_{M'}-x_M\\y_{M'}-y_M\\z_{M'}-z_M\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6)-x\\\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6)-y\\\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6)-z\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6-3x)\\\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6-3y)\\\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6-3z)\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}(-2x+2y-2z-6)\\\dfrac{1}{3}(2x-2y+2z+6)\\\dfrac{1}{3}(-2x+2y-2z-6)\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\\-\dfrac{2}{3}(-(x-y+z+3))\\-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\end{pmatrix}\\&=&-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix} \end{matrix}$

Donc: $\overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\left(\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\right) \Longrightarrow \boxed{\overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}}$

b) Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace $\text{ et soit } M'(x';y';z') \text{ son image par } f\text{ , alors: }$

$\begin{matrix}M\in(\pi)&\iff& M'=M&\iff& \overrrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MM}\\&\iff& \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{0}&\iff& -\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}=\overrightarrow{0} \\&\iff& x-y+z+3=0&&\text{( En effet : }\vec{u}\neq\vec{0}\text{ )} \end{matrix}$

On en tire que:

$\boxed{\text{L'ensemble }(\pi) \text{ des points invariants par }f \text{ est le plan d'équation : }x-y+z+3=0}$

c) Les coordonnées du vecteur $\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \text{ sont: }\vec{u}\left((1;0;0)-(0;1;0)+(0;0;1)\right)=\blue (1;-1;1)$ .

Donc $\vec{u}$ est un vecteur normal au plan $(\pi)$ car il est d'équation: $x-y+z+3=0\enskip\iff\enskip \blue 1\black\times x+\blue(-1)\black\times y+\blue 1\black\times z+3=0$

Et en sachant que (d'après 2-a) ) le vecteur $\overrightarrow{MM'} \text{ est proportionnel au vecteur }\vec{u}$ , alors le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est aussi un vecteur normal au plan $(\pi)$ .

Ce qui veut dire que:

$\boxed{\text{ La droite }(MM')\text{ est orthogonale au plan }(\pi)}$

d) Les coordonnées du point $K$ milieu du segment $[MM']$ s'écrivent:

$\begin{cases} x_K=\dfrac{x+x'}{2}=\dfrac{3x+3x'}{6}=\dfrac{3x+x+2y-2z-6}{6}=\dfrac{4x+2y-2z-6}{6} \\ y_K=\dfrac{y+y'}{2}=\dfrac{3y+3y'}{6} =\dfrac{3y+2x+y+2z+6}{6}=\dfrac{2x+4y+2z+6}{6}\\ z_K=\dfrac{z+z'}{2}=\dfrac{3z+3z'}{6}=\dfrac{3z-2x+2y+z-6}{6}=\dfrac{-2x+2y+4z-6}{6} \end{cases}$

Si les coordonnées de $K$ vérifient l'équation du plan $(\pi)\text{ , alors }K\in (\pi)$ , calculons alors $x_K-y_K+z_K+3\text{ : }$

$\begin{matrix}x_K-y_K+z_K+3&=& \dfrac{4x+2y-2z-6-(2x+4y+2z+6)+(-2x+2y+4z-6)}{6}+3\\&=& \dfrac{4x+2y-2z-6-2x-4y-2z-6-2x+2y+4z-6}{6}+3\\&=& \dfrac{-3\times 6 }{6}+3\\&=&0\end{matrix}$

On en déduit que $x_K-y_K+z_K+3=0\text{ , et donc }$ les coordonnées de $K$ vérifient l'équation de $(\pi)\text{, d'où : }$

$\boxed{K\in(\pi)}$

e) Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace et $M'(x';y';z')$ son image par $f$ .

D'après ce qui précède:

La droite $(MM')\perp(\pi)$ .

Le point $K$ milieu du segment $[MM']$ appartient à $(\pi)$ .

On en déduit que:

$\boxed{f\text{ est la symétrie orthogonale par rapport à }(\pi)}$

3-a) $(D)$ étant la droite passant par $E(2;1;1)$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace appartenant à la droite $(D)$ .

Donc:

$\exists t\in\R\text{ tel que }\overrightarrow{EM}=t\vec{u}\iff \begin{cases}x-x_E=t \\y-y_E=-t\\z-z_E=t\end{cases}\text{ ; }t\in\R\iff \boxed{ (D)\text{ : }\begin{cases} x=2+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}\text{ ; }t\in\R }$

b) Le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $(D)$ est un vecteur normal au plan $(\pi)$ , d'où:

$\boxed{\text{La droite }(D) \text{ est orthogonale au plan }(\pi) }$

c) Admettons que le point $K(x_K;y_K;z_K)$ est le point d'intersection de $(D)$ et $(\pi)$

Donc ses coordonnées vérifient:

$\begin{cases} x_K=2+t\\y_K=1-t\\z_K=1+t \end{cases}\text{ ; }t\in\R\enskip\enskip\text{ et } \enskip\enskip x_K-y_K+z_K+3=0$

Ce qui permet de trouver le réel $t$ qui convient:

$x_K-y_K+z_K+3=0\iff 2+t-1+t+1+t+3=0 \iff 3t=-5\iff t=-\dfrac{5}{3}$

Et on en tire les coordonnées du point $K$ recherchées:

$\begin{cases} x_K=2-\dfrac{5}{3}=\dfrac{1}{3}\\y_K=1+\dfrac{5}{3}=\dfrac{8}{3}\\z_K=1-\dfrac{5}{3}=-\dfrac{2}{3} \end{cases}\iff \boxed{K\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3};-\dfrac{2}{3}\right) }$

4-a) Soit $S_{(D)}$ le demi-tour d'axe $(D)$ .

Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace $\text{ , soit } M'(x';y';z') \text{ son image par } S_{(D)}\text{ et soit } L\left(\dfrac{x+x'}{2};\dfrac{y+y'}{2};\dfrac{z+z'}{2}\right) \text{ le milieu de }[MM']\text{ , alors: }$

Donc: $(MM')\perp(D) \text{ et }L\in(D)$ .

Et puisque $\vec{u}$ est directeur de $(D)$ , donc: $\begin{cases} \overrightarrow{MM'}\text{ . }\vec{u}=0 \\ L\in(D) \end{cases}$

En sachant que $(D):\begin{cases} x=2+t\\y=1-t\\z=1+t \end{cases}\text{, }t\in\R \enskip\enskip \text{ , }\enskip \vec{u}(1;-1;1)\enskip\text{ et }\enskip \overrightarrow{MM'}(x'-x;y'-y;z'-z) .$

On obtient:

$\begin{matrix}\begin{cases} \overrightarrow{MM'}\text{ . }\vec{u}=0 \\ L\in(D) \end{cases} &\iff& (x'-x)\times 1 +(y'-y)\times(-1)+(z'-z)\times 1 =0 \enskip\text{ et }\enskip\begin{cases} \dfrac{x'+x}{2}=2+t\\\dfrac{y'+y}{2}=1-t\\\dfrac{z'+z}{2}=1+t \end{cases} \\\\&\iff& x'-x-y'+y+z'-z=0\enskip\text{ et }\enskip\begin{cases} x'=4+2t-x\\y'=2-2t-y\\z'=2+2t-z \end{cases} \end{matrix}$

Dès lors, on en tire l'expression de $t$ en fonction de $x\text{ , }y\text{ et }z\text{ : }$

$\begin{matrix} x'-x-y'+y+z'-z=0 &\iff& 4+2t-x-x-(2-2t-y)+y+2+2t-z-z=0 \\\\&\iff& -2x+2y-2z+-t+4=0 \\\\&\iff& -x+y-z+3t+2=0\\\\&\iff& t=\dfrac{1}{3}\left( x-y+z-2\right)\end{matrix}$

Finalement, en remplaçant $t$ par son expresion dans $\begin{cases} x'=4+2t-x\\y'=2-2t-y\\z'=2+2t-z \end{cases}$ .

On déduit $\begin{cases} x'=-x+4+\dfrac{2}{3}(x-y+z-2)\\y'=-y+2-\dfrac{2}{3}(x-y+z-2)\\z'=-z+2+\dfrac{2}{3}(x-y+z-2) \end{cases}$

Donc: $\boxed{\text{L'expression analytique de }S_{(D)}\text{ : }\begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}(-x-2y+2z+8)\\y'=\dfrac{1}{3}(-2x-y-2z+10)\\z'=\dfrac{1}{3}(2x-2y-z+2) \end{cases}}$

b) Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace $\text{ , soit } M'(x';y';z') \text{ son image par } f\text{ et soit } M''(x'';y'';z'') \text{ l'image de }M'\text{ par } S_{(D)}\text{ :}$

On a donc:

$M''=S_{(D)}(M')\iff \begin{cases} x''=\dfrac{1}{3}(-x'-2y'+2z'+8)\\y''=\dfrac{1}{3}(-2x'-y'-2z'+10)\\z''=\dfrac{1}{3}(2x'-2y'-z'+2) \end{cases}$

$M'=f(M)\iff \begin{cases} 3x'=x+2y-2z-6\\3y'=2x+y+2z+6\\3z'=-2x+2y+z-6\end{cases}\iff \begin{cases} x'=\dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6)\\y'=\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6)\\z'=\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6)\end{cases}$

Et on écrit les coordonnées de $M''$ en fonction des coordonnées de $M$ pour trouver l'expression analytique de $S_{(D)}\circ f \text{ : }$

$x''=\dfrac{1}{3}(-x'-2y'+2z'+8) = \dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{3}(x+2y-2z-6)-\dfrac{2}{3}(2x+y+2z+6)+\dfrac{2}{3}(-2x+2y+z-6)+8\right)=-x+\dfrac{2}{3}$

$y''=\dfrac{1}{3}(-2x'-y'-2z'+10) = \dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{2}{3}(x+2y-2z-6)-\dfrac{1}{3}(2x+y+2z+6)-\dfrac{2}{3}(-2x+2y+z-6)+10\right)=-y+\dfrac{16}{3}$

$z''=\dfrac{1}{3}(2x'-2y'-z'+2) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}(x+2y-2z-6)-\dfrac{2}{3}(2x+y+2z+6)-\dfrac{1}{3}(-2x+2y+z-6)+2\right)=-z-\dfrac{4}{3}$

Ainsi:

$M''=S_{(D)}\circ f(M) \iff \begin{cases} x''=-x+\dfrac{2}{3} \\y''=-y+\dfrac{16}{3} \\z''=-z-\dfrac{4}{3}\end{cases}\iff \begin{cases} x''=-x+2\times \dfrac{1}{3} \\y''=-y+2\times \dfrac{8}{3} \\z''=-z+2\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)\end{cases} \iff \begin{cases} x''=-x+2x_K \\y''=-y+2y_K \\z''=-z+2z_K\end{cases}$

Conclusion:

$\boxed{S_{(D)}\circ f \text{ est une symétrie centrale de centre }K }$

Montrons que $S_{(D)}\circ f(A)=E$ :

Puisque $E\in(D)\text{ , alors }S_{(D)}(E)=E \text{ , et d'après 1) }f(A)=E \text{ , donc : }$

$S_{(D)}\circ f(A)=S_{(D)}\left(f(A)\right)=S_{(D)}(E)=E \Longrightarrow \boxed{S_{(D)}\circ f(A)=E}$

exercice 3

1-a) Calcul direct:

$u_1=17+3u_0=17$
$u_2=17+3u_1=17+51=68$
$u_3=17+3u_2=17+3\times 68=221$
$u_4=17+3u_3=17+3\times 221=680$
Récapitulation:

$\boxed{\begin{matrix} u_1=17 & u_2=68 \\ u_3=221& u_4=680\end{matrix}}$

b) On a:

$17/17\Longrightarrow 17/u_1$
$68=4\times 17\Longrightarrow 17/u_2\text{ et }4/u_2$
$221=13\times 17 \Longrightarrow 17/u_3$
$680=68\times 10\Longrightarrow u_2/u_4\Longrightarrow 17/u_4\text{ et }4/u_4$

On peut donc conjecturer que:

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Tous les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }17 \\ \text{ Les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }4\text{ si et seulement si }n\text{ est pair}\end{matrix}}$

2-a) On a, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+2}=17+3u_{n+1}=17+3\left(17+3u_n\right)=9u_n+68$

Et puisque $9\equiv 1[4] \enskip\text{ et }\enskip 68\equiv 0[4]$ , alors:

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{n+2}\equiv u_n[4] }$

b) Démontrons par récurrence que : $\forall n\in\N\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4]$

Initialisation: Pour $n=0\text{ , } u_{2\times 0 }=u_0=0 \text{ , donc }u_0\equiv 0[4] \text{ (évident)}$

Hérédité: Supposons que pour un entier naturel $n$ fixé, on a $u_{2n}\equiv 0[4]\text{, }$ montrons que dans ce cas, on a $u_{2(n+1)}\equiv 0[4]$ .

On a, d'après la question précédente, $u_{2(n+1)}=u_{2n+2}\equiv u_{2n}[4]$

Or, on a supposé que $u_{2n}\equiv 0[4]$ , il s'ensuit que $u_{2(n+1)}\equiv 0[4]$

L'hérédité est donc bien vérifiée.

Conclusion: On déduit par récurrence que:

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4] }$

c) On a, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{2n+1}=17+3u_{2n}$

Et puisque $17\equiv 1[4]\enskip\text{ et }\enskip \forall n\in\N\text{ : }u_{2n}\equiv 0[4]$ , alors:

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{2n+1}\equiv 1[4] }$

3-a) Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+\dfrac{17}{2}$ .

On a, pour tout entier naturel $n\text{ :}$

$v_{n+1}=u_{n+1}+\dfrac{17}{2}=17+3u_n+\dfrac{17}{2}=3u_n+3\times\dfrac{17}{2}=3\left(u_n+\dfrac{17}{2}\right)=3v_n$

De plus: $v_0=u_0+\dfrac{17}{2}=\dfrac{17}{2}$

$\text{ Récapitulons: }\begin{cases}v_0=\dfrac{17}{2} \\\\ \forall n\in\N\text{ : }v_{n+1}=3v_n\end{cases}\text{ , donc: }$

$\boxed{(v_n)_{n\in\N} \text{ est une suite géométrique de raison }q=3\text{ et de premier terme }v_0=\dfrac{17}{2}}$

b) On a trouvé que $(v_n)$ est une suite géoémtrique de raison $q=3$ avec $v_0=\dfrac{17}{2}$ , alors:

$\forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0 q^n=\dfrac{17}{2} \times 3^n$

Il s'ensuit que, pour tout entier naturel $n\text{ : } : u_n+\dfrac{17}{2}=\dfrac{17}{2} \times 3^n \iff u_n= \dfrac{17}{2} \times 3^n -\dfrac{17}{2}\iff u_n =\dfrac{17}{2}\left(3^n-1\right)$

Ou encore:

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }2u_n=17(3^n-1)}$

c) Puisque $\forall n\in\N\text{ : }2u_n=17(3^n-1)$

Donc pour tout entier naturel $n\text{ : } 2/17(3^n-1)$ .

Or, $\text{ pgcd}(2;17)=1$ . Donc d'après le théorème de Gauss: $\forall n\in\N\text{ : }2/3^n-1$

Par suite, il existe un entier naturel $k\text{ tel que, pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_n=17k$

par conséquent:

$\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n\equiv 0[17]}$

d) On sait d'après la 2) que: $\forall n\in\N\text{ : }\begin{cases} u_{2n}\equiv 0[4] \\ u_{2n+1}\equiv 1[4] \end{cases}$ . Et d'après la question précédente: $\forall n\in\N\text{ : }u_n\equiv 0[17]$

Nous avons donc démontrer les conjectures faites en 1-b) , à savoir:

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Tous les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }17 \\ \text{ Les termes de la suite }(u_n)\text{ sont divisibles par }4\text{ si et seulement si }n\text{ est pair}\end{matrix}}$

exercice 4

Pour tout entier naturel non nul $n$ , On considère la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par : $f_n(x)=1+xe^{-nx+1}$

1) Pour tout $n\in\N^*\text{ , }$ la fonction $f_n$ est une fonction en exponentielle, donc l'ensemble de définition est $D_{f_n}=\R=]-\infty;+\infty[$ .

La limite en $+\infty\text{ : }$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=\lim_{x\to +\infty}1+xe^{-nx+1}=\lim_{x\to+\infty} 1+\dfrac{x}{-nx+1} (-nx+1)e^{-nx+1}$

Or, pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to+\infty} -nx+1 =-\infty$

$\text{Donc en posant }t=-nx+1 \text{ , }\enskip \displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-nx+1)e^{-nx+1}=\lim_{t\to-\infty} te^t=0$

De plus: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{-nx+1} =\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{-nx}=-\dfrac{1}{n}$

Dès lors: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=\lim_{x\to+\infty} 1+\dfrac{x}{-nx+1} (-nx+1)e^{-nx+1}=1-\dfrac{1}{n}\times 0 = 1$

$\boxed{\text{ Pour tout }n\in\N^*\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=1} \underbrace{\Longrightarrow}_{\text{ Interprétation graphique }}\boxed{\begin{matrix}\text{ La droite d'équation }y=1\text{ est une asymptote horizontale aux courbes }\\ (C_n) \text{ au voisinage de }+\infty\end{matrix}}$

La limite en $+\infty\text{ : }$

Pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to-\infty} -nx+1 =+\infty$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^{-nx+1} =+\infty$

Il s'ensuit que: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} xe^{-nx+1} =-\infty$

On obtient: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_n(x)=\lim_{x\to-\infty} 1+xe^{-nx+1}=1-\infty = -\infty$

$\boxed{\text{ Pour tout }n\in\N^*\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f_n(x)=-\infty}$

Interprétation graphique: Il faut calculer la limite $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{1+xe^{-nx+1}}{x}=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x}+e^{-nx+1}=0+\infty = +\infty$

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Les courbes } (C_n) \text{ admettent une branche parabolique de la direction celle }\\ \text{ de l'axe des ordonnées au voisinage de }-\infty\end{matrix}}$

2-a) Pour tout entier naturel non nul $n\text{ , }$ la fonction $f_n$ est dérivable sur $\R$ comme produit d'une fonction en exponentielle et d'une fonction polynômiale dérivables sur $\R$ .

Pour tout réel $x\text{ : }$

$\begin{matrix} f'_n(x)&=&\left(1+xe^{-nx+1}\right)'&=& e^{-nx+1}+x(-nx+1)'e^{-nx+1}&=& e^{-nx+1}+-nxe^{-nx+1}&=& (1-nx)e^{-nx+1}\end{matrix}$

$\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'_n(x)=(1-nx)e^{-nx+1}}$

b) Pour tout $n\in\N^{*}\text{ : }e^{-nx+1}>0 \text{ pour tout }x\in\R$ . Donc le signe de $f'_n(x)$ est celui de $(1-nx)$ qui a clairement pour racine $\dfrac{1}{n}$ .

Donc:

$\begin{matrix}\bullet &\forall x\in \left]-\infty; \dfrac{1}{n}\right[\text{ : }1-nx>0 &\Longrightarrow &f'_n(x)>0 \\ \bullet & x=\dfrac{1}{n}\text{ : }1-nx=0&\Longrightarrow& f'_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=0\\ \bullet &\forall x\in \left]\dfrac{1}{n};+\infty \right[\text{ : }1-nx<0 &\Longrightarrow& f'_n(x)<0 \end{matrix}$

D'où:

$\begin{matrix}\bullet &f_n \text{ est strictement croissante sur } \left]-\infty; \dfrac{1}{n}\right[ \\ \bullet & f_n \text{ admet un maximum en }\dfrac{1}{n} \\ \bullet &f_n \text{ est strictement décroissante sur } \left]\dfrac{1}{n};+\infty \right[ \end{matrix}$

Finalement: $f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=1+\dfrac{1}{n}\times e^{-n\times \frac{1}{n}+1}=1+\dfrac{1}{n}e^0=1+\dfrac{1}{n}\Longrightarrow \boxed{f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{n+1}{n}}$

Et on dresse le tableau de variations de $f_n\text{ : }$

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -\infty & & 1/n & & +\infty \\ \hline f_n'(x) & & + &\barre{0} & - & \\ \hline & & & \frac{n+1}{n} & & \\ f_n & &\nearrow& & \searrow & \\ & -\infty & & & & 1 \\ \hline \end{array}}$

3-a) Soit $n$ un entier naturel non nul.

Sur $\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[ \text{ :}$

$f_n$ est continue car dérivable sur cet intervalle, de plus elle est strictement décroissante sur cet intervalle.

Donc $f_n$ réalise une bijection de $\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[$ vers $f_n\left(\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[\right)=\left]1;\dfrac{n+1}{n}\right]$ .

Or $0<1$ $\text{[math]}$ , donc pour tout entier non nul $n\text{ : } 0\notin \left]1;\dfrac{n+1}{n}\right]$

On en déduit que: $f_n(x)=0 \text{ n'admet pas de solution sur l'intervalle }\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[ \enskip (I)$

Sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right] \text{ :}$

$f_n$ est continue car dérivable sur cet intervalle, de plus elle est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc $f_n$ réalise une bijection de $\left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right]$ vers $f_n\left(\left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right]\right)=\left]-\infty;\dfrac{n+1}{n}\right]$ .

Or, pour tout entier non nul $n\text{ : }0<\dfrac{n+1}{n}$ , donc $0\in\left]-\infty;\dfrac{n+1}{n}\right]$

On en déduit que: $f_n(x)=0 \text{ admet une unique solution qu'on note }\varphi_n\text{ sur l'intervalle }\left]-\infty;\dfrac{1}{n}\right] \enskip (II)$

Conclusion: de $(I)\text{ et }(II)\text{ : }$

$\boxed{f_n(x)=0 \text{ admet une unique solution }\varphi_n\text{ sur }\R}$

b) Complétons le tableau de variations de $f_n$ avec les résultats trouvés ci-dessus:

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & &\varphi_n& & 1/n & & +\infty \\ \hline f_n'(x) & & +& \barre{} & + &\barre{0} & - & \\ \hline & && & & \frac{n+1}{n} & & \\ f_n &&& &\nearrow& & \searrow & \\ &&& 0 && & & 1 \\ &&\nearrow& && & & \\ & -\infty & && & & & \\ \hline \end{array}}$

On en tire que, pour tout entier naturel non nul $n\text{ :}$

$\boxed{\begin{matrix}\bullet &\forall x\in \left]-\infty; \varphi_n\right[\text{ : }&f_n(x)<0 \\ \bullet & f_n(\varphi_n)=0&\\ \bullet &\forall x\in \left]\varphi_n;+\infty \right[\text{ : }& 0<f_n(x) \end{matrix}}$

4-a) Toutes les courbes $(C_n)$ passent par un point commun $A$ d'abscisses $x_A$ si et seulement si, pour tout $n_1\text{ et }n_2\in\N^{*}\text{ : }f_{n_{1}}(x_A)=f_{n_{2}}(x_A)$ .

Cela se réalise si pour tout entier $n \neq 0 \text{ : }f_n(x_A)$ est indépendant de $n$ .

On remarque que, pour tout $n\in\N^{*}\text{ : }f_n(0)=1+0\times e =1$

Ce qui implique que:

$\boxed{\text{ Toutes les courbes }(C_n) \text{ passent par le point commun } A(0;1)=J}$

b) Une équation de la tangente $(T)$ à $(C_n)$ en $A(0;1)$ s'écrit:

$(T)\text{ : }y=f_n'(0)(x-0)+f_n(0)$

On a $f_n(0)=1$ , calculons $f'_n(0)\text{ : }f'_n(0)=(1-n\times 0)e^{-n\times 0+1} =e^1=e$

Conclusion:

$\boxed{\text{ Une équation de la tangente aux }(C_n) \text{ au point }A=J\text{ s'écrit : }(T)\text{ : }y=ex+1}$

5) Graphique:

6-a) On a, pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x$ .

Pour tout $x\in[0;1]\text{ : }0< e^{-nx+1} \text{ , donc } 0\leq xe^{-nx+1}\text{ , il s'ensuit que } 1\leq f_n(x)=1+xe^{-nx+1} \enskip (I)$

D'autre part, pour tout entier naturel non nul $n\text{ , } f_n(x)\leq f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)=1+\dfrac{1}{n}$

Or, on a d'une part $e\approx 2,71 \Longrightarrow 1\leq \dfrac{e}{2} \text{ , et d'autre part, pour tout entier }n\in\N^{*}\text{ : } \dfrac{1}{n}\leq 1 \text{ , d'où } \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{e}{2} \Longrightarrow 1+\dfrac{1}{n} \leq 1+\dfrac{e}{2}$

On en tire, pour tout $x\in[0;1]\text{ : }f_n(x)\leq 1+\dfrac{e}{2}\enskip (II)$

De $(I)\text{ et }(II)\text{ : }$

$\forall x\in[0;1]\text{ : }1\leq f_n(x)\leq 1+\dfrac{e}{2}$

On obtient:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\text{ d}x\leq \int_{0}^{1} f_n(x) \text{ d}x\leq \int_{0}^{1}1+\dfrac{e}{2} \text{ d}x$

Ou encore:

$\boxed{\displaytstyle 1\leq W_n \leq 1+\dfrac{e}{2} \text{ , pour tout entier }n\in\N^{*} }$

b) Pour tout entier naturel non nul $n\text{ : }$

$W_{n+1}-W_n=\displaystyle \int_{0}^{1}f_{n+1}(x)\text{ d}x-\int_{0}^{1}f_n(x)\text{ d}x=\int_{0}^{1}(f_{n+1}(x)-f_n(x))\text{ d}x= \int_{0}^{1}xe^{-(n+1)x+1}-xe^{-nx+1}\text{ d}x= \int_{0}^{1}xe^{-nx+1}(e^{-x}-1)\text{ d}x$

Or, pour tout $x\in[0;1]\text{ : }xe^{-nx+1}> 0$ . De plus, $-x\leq 0 \Longrightarrow e^{-x}\leq e^0=1 \Longrightarrow e^{-x}-1\leq 0$

On en déduit que pour tout $x\in[0;1]\text{ : }xe^{-nx+1}(e^{-x}-1)\leq 0 .$

Il s'ensuit alors que: $\forall n\in\N^{*}\text{ : }W_{n+1}-W_n= \displaystyle\int_{0}^{1}xe^{-nx+1}(e^{-x}-1)\text{ d}x\leq 0$

D'où:

$\boxed{(W_n)_{n\in\N^*} \text{ est une suite décroissante}}$

c) La suite $(W_n)$ est minorée par $1$ d'après 6-a) , de plus, elle est décroissante d'après 6-b), donc:

$\boxed{(W_n)_{n\in\N^*} \text{ est une suite convergente}}$

d) Pour tout $n\in\N^*\text{ : }$

$W_n=\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) \text{ d}x=\int_0^1 1+xe^{-nx+1}\text{ d}x =\int_0^1\text{ d}x+\int_0^1 xe^{-nx+1}\text{ d}x=1+\int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x$

Calculons $\displaystyle \int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x$ en utilisant une intégration par parties:

$\text{ On pose } \begin{cases}u(x)=x \\v'(x)=e^{-nx+1} \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=1\\v(x)=-\dfrac{1}{n}e^{-nx+1}\end{cases}$

Donc:

$\begin{matrix} \displaystyle \int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x&=& \displaystyle \left[-\dfrac{x}{n}e^{-nx+1}\right]_{0}^1 + \int_0^1\dfrac{1}{n} e^{-nx+1}\text{ d}x \\\\&=& \displaystyle -\dfrac{1}{n} e^{-n+1} -\dfrac{1}{n^2} \left[e^{-nx+1}\right]_0^1 \\\\&=& -\dfrac{1}{n}e^{-n+1}-\dfrac{1}{n^2} e^{-n+1}+\dfrac{e}{n^2} \\\\&=&-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}\end{matrix}$

On en déduit que:

$\forall n\in\N^*\text{ : }\displaystyle W_n=1+\int_0^1xe^{-nx+1}\text{ d}x \Longrightarrow \boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }W_n=-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1}$

e) Directement:

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}W_n= \lim_{n\to+\infty}-\dfrac{e^{-n+1}}{n^2}(n+1)+\dfrac{e}{n^2}+1=\lim_{n\to+\infty} -\dfrac{1}{n}e^{-n+1}-\dfrac{1}{n^2}e^{-n+1}+\dfrac{e}{n^2}+1 = 0+0+0+1=1$

Conclusion: $\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}W_n=1}$

Publié par malou/Panter le 16-09-2023

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